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Sezione 7-7 : Tipi di infinito
La maggior parte degli studenti si è imbattuta nell’infinito in qualche momento prima di una lezione di calcolo. Tuttavia, quando hanno avuto a che fare con esso, era solo un simbolo usato per rappresentare un numero positivo molto, molto grande o un numero negativo molto, molto grande e questo era tutto. Una volta che entrano in una classe di calcolo agli studenti viene chiesto di fare un po’ di algebra di base con l’infinito ed è qui che hanno dei problemi. L’infinito NON è un numero e per la maggior parte non si comporta come un numero. Tuttavia, nonostante ciò penseremo all’infinito in questa sezione come ad un numero molto, molto, molto grande che è così grande che non esiste un altro numero più grande di esso. Questo non è corretto, naturalmente, ma può aiutare la discussione in questa sezione. Notate anche che tutto ciò di cui parleremo in questa sezione si applica solo ai numeri reali. Se si passa ai numeri complessi, per esempio, le cose possono cambiare e lo fanno.
Così, cominciamo a pensare all’addizione con l’infinito. Quando si aggiungono due numeri non nulli si ottiene un nuovo numero. Per esempio, \(4 + 7 = 11\). Con l’infinito questo non è vero. Con l’infinito si ha quanto segue.
\2124>In altre parole, un numero positivo molto, molto grande (\(\infty \)) più qualsiasi numero positivo, indipendentemente dalla dimensione, è ancora un numero positivo molto, molto grande. Allo stesso modo, si può aggiungere un numero negativo (cioè \(a < 0\)) a un numero positivo molto, molto grande e rimanere molto, molto grande e positivo. Quindi, l’addizione che coinvolge l’infinito può essere trattata in modo intuitivo se si sta attenti. Notate anche che \(a\) NON deve essere infinito negativo. Se lo è, ci sono alcuni problemi seri che dobbiamo affrontare come vedremo tra un po’.
Anche la sottrazione con infinito negativo può essere trattata in modo intuitivo nella maggior parte dei casi. Un numero negativo molto, molto grande meno qualsiasi numero positivo, indipendentemente dalla sua dimensione, è ancora un numero negativo molto, molto grande. Sottraendo un numero negativo (cioè \(a < 0\)) da un numero negativo molto, molto grande sarà ancora un numero negativo molto, molto grande. Oppure,
\
Ancora una volta, \(a\) non deve essere infinito negativo per evitare alcune difficoltà potenzialmente gravi.
Anche la moltiplicazione può essere trattata in modo abbastanza intuitivo. Un numero molto, molto grande (positivo o negativo) per qualsiasi numero, indipendentemente dalla grandezza, è ancora un numero molto, molto grande, dobbiamo solo fare attenzione ai segni. Nel caso della moltiplicazione abbiamo
Quello che sai sui prodotti di numeri positivi e negativi è ancora vero qui.
Anche alcune forme di divisione possono essere trattate intuitivamente. Un numero molto, molto grande diviso per un numero che non è troppo grande è ancora un numero molto, molto grande.
La divisione di un numero per l’infinito è in qualche modo intuitiva, ma ci sono un paio di sottigliezze di cui devi essere consapevole. Quando parliamo di divisione per l’infinito stiamo davvero parlando di un processo limitante in cui il denominatore sta andando verso l’infinito. Quindi, un numero che non è troppo grande diviso un numero sempre più grande è un numero sempre più piccolo. In altre parole, nel limite abbiamo,
\
Quindi, abbiamo trattato quasi tutte le operazioni algebriche di base che coinvolgono l’infinito. Ci sono due casi che non abbiamo ancora affrontato. Questi sono
\
Il problema con questi due casi è che l’intuizione non aiuta molto. Un numero molto, molto grande meno un numero molto, molto grande può essere qualsiasi cosa (\( – \infty \), una costante, o \(\infty \)). Allo stesso modo, un numero molto, molto grande diviso per un numero molto, molto grande può anche essere qualsiasi cosa (\( \pm \infty \) – questo dipende dai problemi di segno, 0, o una costante non zero).
Quello che dobbiamo ricordare qui è che ci sono numeri molto, molto grandi e poi ci sono numeri molto, molto, molto grandi. In altre parole, alcuni infiniti sono più grandi di altri infiniti. Con l’addizione, la moltiplicazione e i primi gruppi di divisione che abbiamo lavorato questo non era un problema. La dimensione generale dell’infinito semplicemente non influenza la risposta in quei casi. Tuttavia, con i casi di sottrazione e divisione elencati sopra, ha importanza come vedremo.
Ecco un modo per pensare a questa idea che alcuni infiniti sono più grandi di altri. Questo è un modo abbastanza asciutto e tecnico di pensare a questo e i vostri problemi di calcolo probabilmente non useranno mai questa roba, ma è un bel modo di vedere la cosa. Inoltre, si prega di notare che non sto cercando di dare una prova precisa di qualcosa qui. Sto solo cercando di darvi un’idea dei problemi con l’infinito e di come alcuni infiniti possono essere pensati come più grandi di altri. Per una discussione molto migliore (e decisamente più precisa) vedi,
http://www.math.vanderbilt.edu/~schectex/courses/infinity.pdf
Cominciamo a guardare quanti numeri interi ci sono. Chiaramente, spero, ce ne sono un numero infinito, ma cerchiamo di capire meglio la “dimensione” di questa infinità. Quindi, scegliete due numeri interi completamente a caso. Iniziate dal più piccolo dei due ed elencate, in ordine crescente, tutti i numeri interi che vengono dopo. Alla fine raggiungeremo il più grande dei due numeri interi che hai scelto.
A seconda della dimensione relativa dei due numeri interi, potrebbe volerci molto, molto tempo per elencare tutti i numeri interi tra di loro e non c’è davvero uno scopo per farlo. Ma, potrebbe essere fatto se volessimo e questa è la parte importante.
Perché potremmo elencare tutti questi numeri interi tra due numeri interi scelti a caso, diciamo che i numeri interi sono considerevolmente infiniti. Di nuovo, non c’è una vera ragione per farlo davvero, è semplicemente qualcosa che può essere fatto se dovessimo scegliere di farlo.
In generale, un insieme di numeri è detto considerevolmente infinito se possiamo trovare un modo per elencarli tutti. In un ambiente matematico più preciso, questo è generalmente fatto con un tipo speciale di funzione chiamata biiezione che associa ogni numero nell’insieme con esattamente uno dei numeri interi positivi. Per vedere alcuni dettagli di questo vedere il pdf dato sopra.
Si può anche dimostrare che l’insieme di tutte le frazioni sono anche considerevolmente infinite, anche se questo è un po’ più difficile da dimostrare e non è davvero lo scopo di questa discussione. Per vedere una prova di questo vedere il pdf dato sopra. Ha una prova molto bella di questo fatto.
Contrastiamo questo cercando di capire quanti numeri ci sono nell’intervallo \( \sinistra(0,1\destra) \). Per numeri, intendo tutte le possibili frazioni che stanno tra zero e uno e tutti i possibili decimali (che non sono frazioni) che stanno tra zero e uno. La seguente è simile alla dimostrazione data nel pdf qui sopra, ma era abbastanza carina e facile (spero) che ho voluto includerla qui.
Per iniziare assumiamo che tutti i numeri nell’intervallo \( \sinistra(0,1\destra) \) siano considerevolmente infiniti. Questo significa che ci dovrebbe essere un modo per elencarli tutti. Potremmo avere qualcosa come il seguente,
\
Ora, seleziona il \(i)° decimale di \({x_i}\) come mostrato sotto
\
e forma un nuovo numero con queste cifre. Così, per il nostro esempio avremmo il numero
\
In questo nuovo decimale sostituiamo tutti i 3 con un 1 e sostituiamo ogni altro numero con un 3. Nel caso del nostro esempio questo produrrebbe il nuovo numero
\
Nota che questo numero è nell’intervallo \( \sinistra(0,1\destra) \) e nota anche che dato come scegliamo le cifre del numero questo numero non sarà uguale al primo numero della nostra lista, \({x_1}\), perché la prima cifra di ognuno è garantita non essere la stessa. Allo stesso modo, questo nuovo numero non sarà uguale al secondo della nostra lista, \({x_2}}), perché è garantito che la seconda cifra di ciascuno non è la stessa. Continuando in questo modo possiamo vedere che questo nuovo numero che abbiamo costruito, \(\overline x \), è garantito per non essere nella nostra lista. Ma questo contraddice l’ipotesi iniziale di poter elencare tutti i numeri nell’intervallo \( \sinistra(0,1\destra) \). Quindi, non deve essere possibile elencare tutti i numeri nell’intervallo \( \sinistra(0,1\destra) \).
Insiemi di numeri, come tutti i numeri in \( \sinistra(0,1\destra) \), che non possiamo scrivere in una lista si chiamano infiniti non numerabili.
Il motivo per cui ci occupiamo di questo è il seguente. Un infinito non numerabile è significativamente più grande di un infinito che è solo numerabilmente infinito. Quindi, se prendiamo la differenza di due infiniti abbiamo un paio di possibilità.
Nota che non abbiamo messo la differenza di due infiniti dello stesso tipo. A seconda del contesto ci potrebbe essere ancora qualche ambiguità su quale sarebbe la risposta in questo caso, ma questo è un argomento completamente diverso.
Potremmo anche fare qualcosa di simile per i quozienti di infiniti.
Ancora una volta, abbiamo evitato un quoziente di due infiniti dello stesso tipo poiché, di nuovo a seconda del contesto, ci potrebbe essere ancora ambiguità sul suo valore.
Quindi, questo è tutto e speriamo che abbiate imparato qualcosa da questa discussione. L’infinito semplicemente non è un numero e poiché ci sono diversi tipi di infinito, generalmente non si comporta come un numero. Fate attenzione quando avete a che fare con l’infinito.