Calcolatrice del valore futuro

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Uso della calcolatrice

La formula del valore futuro è FV=PV(1+i)n, dove il valore attuale PV aumenta per ogni periodo nel futuro di un fattore 1 + i.

Il calcolatore del valore futuro usa più variabili nel calcolo del FV:

  • La somma del valore attuale
  • Numero di periodi di tempo, tipicamente anni
  • Tasso d’interesse
  • Frequenza di capitalizzazione
  • Pagamenti del flusso di cassa
  • Redditi crescenti e perpetui

Il valore futuro di una somma di denaro è il valore della somma attuale in una data futura.

Puoi usare questa calcolatrice del valore futuro per determinare quanto il tuo investimento varrà in un certo momento nel futuro a causa degli interessi accumulati e dei potenziali flussi di cassa.

Puoi inserire 0 per qualsiasi variabile che vuoi escludere quando usi questa calcolatrice. Le nostre altre calcolatrici di valore futuro forniscono opzioni per calcoli di valore futuro più specifici.

Cosa c’è nel calcolo del valore futuro

La calcolatrice di valore futuro usa le seguenti variabili per trovare il valore futuro FV di una somma presente più i pagamenti degli interessi e dei flussi di cassa:

Valore attuale PV Valore attuale di una somma di denaro Numero di periodi di tempo t – I periodi di tempo sono tipicamente un numero di anni
– Assicurati che tutti i tuoi input usino la stessa unità di periodo di tempo (anni, mesi, ecc.).)
– Inserire p o perpetuo per una rendita perpetua Tasso di interesse R Il tasso di interesse nominale o il tasso dichiarato, come percentuale Composta m – Il numero di volte in cui si verifica la capitalizzazione per periodo
– Inserire 1 per la capitalizzazione annuale che è una volta all’anno
– Inserire 4 per la capitalizzazione trimestrale
– Inserire 12 per la capitalizzazione mensile
– Inserire 365 per la capitalizzazione giornaliera
– Inserire c o continuous per la capitalizzazione continua Importo del pagamento della rendita del flusso di cassa PMT L’importo del pagamento per ogni periodo Tasso di crescita G Il tasso di crescita dei pagamenti della rendita per periodo inserito come percentuale Numero di pagamenti q per periodo – Frequenza di pagamento
– Inserire 1 per pagamenti annuali che è una volta all’anno
– Inserire 4 per pagamenti trimestrali
– Inserire 12 per pagamenti mensili
– Inserire 365 per pagamenti giornalieri Quando avvengono i pagamenti della rendita T – Selezionare fine che è una rendita ordinaria con pagamenti ricevuti alla fine del periodo
– Selezionare inizio quando i pagamenti sono dovuti all’inizio del periodo Valore Futuro FV Il risultato del calcolo del FV è il valore futuro di qualsiasi somma di valore attuale più gli interessi e i flussi di cassa futuri o i pagamenti delle rendite

Le sezioni seguenti mostrano come derivare matematicamente le formule del valore futuro. Per una lista delle formule qui presentate, vedi la nostra pagina Formule del valore futuro.

Derivazione della formula del valore futuro

Il valore futuro (FV) di una somma di valore presente (PV) che accumula interessi al tasso i in un singolo periodo di tempo è il valore presente più gli interessi guadagnati su quella somma. L’equazione matematica usata nel calcolatore di valore futuro è

\( FV=PV+PVi \)

o

\( FV=PV(1+i) \)

Per ogni periodo nel futuro il valore accumulato aumenta di un ulteriore fattore (1 + i). Pertanto, il valore futuro accumulato su, diciamo, 3 periodi, è dato da

\( FV_{3}=PV_{3}(1+i)(1+i)(1+i)=PV_{3}(1+i)^{3} \4277>

o in generale

\( FV_{n}=PV_{n}(1+i)^{n}{ tag{1a}

e allo stesso modo possiamo risolvere per PV per ottenere

\( PV_{n}=dfrac{FV_{n}}{(1+i)^n}tag{1b}

Le equazioni che abbiamo sono (1a) il valore futuro di una somma presente e (1b) il valore attuale di una somma futura ad un tasso di interesse periodico i dove n è il numero di periodi nel futuro. Comunemente questa equazione viene applicata con i periodi come anni, ma è meno restrittivo pensare in termini più ampi di periodi. Togliendo i pedici da (1b) abbiamo:

Valore Futuro di una Somma Presente

\( FV=PV(1+i)^{n}tag{1}

Derivazione della formula del valore futuro della rendita

Una rendita è una somma di denaro pagata periodicamente, (a intervalli regolari). Supponiamo di avere una serie di valori attuali uguali che chiameremo pagamenti (PMT) e sono pagati una volta ogni periodo per n periodi ad un tasso di interesse costante i. Il calcolatore di valore futuro calcolerà FV della serie di pagamenti da 1 a n usando la formula (1) per sommare i singoli valori futuri.

\( FV=PMT+PMT(1+i)^1+PMT(1+i)^2+…+PMT(1+i)^{n-1}\tag{2a}

Nella formula (2a), i pagamenti vengono effettuati alla fine dei periodi. Il primo termine sul lato destro dell’equazione, PMT, è l’ultimo pagamento della serie effettuato alla fine dell’ultimo periodo che è allo stesso tempo del valore futuro. Pertanto, non c’è alcun interesse applicato a questo pagamento. L’ultimo termine sul lato destro dell’equazione, PMT(1+i)n-1, è il primo pagamento della serie fatto alla fine del primo periodo che è solo n-1 periodi lontano dal tempo del nostro valore futuro.

moltiplicare entrambi i lati di questa equazione per (1 + i) per ottenere

\( FV(1+i)=PMT(1+i)^1+PMT(1+i)^2+PMT(1+i)^3+…+PMT(1+i)^{n}tag{2b}

sottraendo l’equazione (2a) dalla (2b) la maggior parte dei termini si annulla e ci rimane

\( FV(1+i)-FV=PMT(1+i)^n-PMT \)

prendendo i termini simili su entrambi i lati

\( FV((1+i)-1)=PMT((1+i)^n-1) \)

cancellando gli 1 a sinistra e dividendo per i, il valore futuro di una rendita ordinaria, con pagamenti effettuati alla fine di ogni periodo, è

\( FV=dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1)\tag{2c} \4277>

Per una rendita dovuta, i pagamenti vengono effettuati all’inizio di ogni periodo invece che alla fine, quindi i pagamenti sono ora 1 periodo più lontani dal FV. Dobbiamo aumentare la formula di 1 periodo di crescita degli interessi. Questo potrebbe essere scritto come

\( FV_{n}=PV_{n}(1+i)^{(n+1)}

Ma fattorizzando il (1 + i)

\( FV_{n}=PV_{n}(1+i)^{n}(1+i) \)

Così, moltiplicando ogni pagamento nell’equazione (2a), o il lato destro dell’equazione (2c), per il fattore (1 + i) ci darà l’equazione di FV per una rendita dovuta. Questo può essere scritto più generalmente come

Valore Futuro di una rendita

\( FV=dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1)(1+iT)\tag{2} \4277>

dove T rappresenta il tipo. (simile alle formule di Excel) Se i pagamenti sono alla fine del periodo è una rendita ordinaria e impostiamo T = 0. Se i pagamenti sono all’inizio del periodo è una rendita dovuta e impostiamo T = 1.

Valore Futuro di una rendita ordinaria

se T = 0, i pagamenti sono alla fine di ogni periodo e abbiamo la formula per il valore futuro di una rendita ordinaria

\( FV=dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1)\tag{2.1}

Valore Futuro di una rendita dovuta

se T = 1, i pagamenti sono all’inizio di ogni periodo e abbiamo la formula per il valore futuro di una rendita dovuta

\( FV=dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1)(1+i)\tag{2,2}

Future Value Growing Annuity Formula Derivation

Puoi anche calcolare una rendita crescente con questo calcolatore di valore futuro. In una rendita crescente, ogni valore futuro risultante, dopo il primo, aumenta di un fattore (1 + g) dove g è il tasso di crescita costante. Modificando l’equazione (2a) per includere la crescita otteniamo

\( FV=PMT(1+g)^{n-1}+PMT(1+i)^1(1+g)^{n-2}+PMT(1+i)^2(1+g)^{n-3}+…+PMT(1+i)^{n-1}(1+g)^{n-n}\tag{3a}

Nella formula (3a), i pagamenti vengono effettuati alla fine dei periodi. Il primo termine sul lato destro dell’equazione, PMT(1+g)n-1, è l’ultimo pagamento della serie effettuato alla fine dell’ultimo periodo che è allo stesso tempo del valore futuro. Quando moltiplichiamo per (1 + g) questo periodo ha l’aumento di crescita applicato (n – 1) volte. L’ultimo termine sul lato destro dell’equazione, PMT(1+i)n-1(1+g)n-n, è il primo pagamento della serie effettuato alla fine del primo periodo e la crescita non è applicata al primo PMT o (n-n) volte.

Moltiplicare FV per (1+i)/(1+g) per ottenere

\( FV\dfrac{(1+i)}{(1+g)}=PMT(1+i)^1(1+g)^{n-2}+PMT(1+i)^2(1+g)^{n-3}+PMT(1+i)^3(1+g)^{n-4}+…+PMT(1+i)^{n}(1+g)^{n-n-1}\tag{3b}

sottraendo l’equazione (3a) da (3b) la maggior parte dei termini si annulla e ci rimane

\( FV\dfrac{(1+i)}{(1+g)}-FV=PMT(1+i)^{n}(1+g)^{n-n-1}-PMT(1+g)^{n-1} \)

con qualche manipolazione algebrica, moltiplicando entrambi i lati per (1 + g) abbiamo

\( FV(1+i)-FV(1+g)=PMT(1+i)^{n}-PMT(1+g)^{n} \4277>

prendendo termini simili da entrambi i lati

\( FV(1+i-1-g)=PMT((1+i)^{n}-(1+g)^{n})

cancellando gli 1 a sinistra e dividendo per (i-g) otteniamo finalmente

Valore Futuro di una Rendita Crescente (g ≠ i)

( FV=dfrac{PMT}{(i-g)}((1+i)^{n}-(1+g)^{n}) \4277>

Similmente all’equazione (2), per tener conto del fatto che abbiamo una rendita crescente dovuta o una rendita ordinaria crescente moltiplichiamo per il fattore (1 + iT)

\( FV=\dfrac{PMT}{(i-g)}((1+i)^{n}-(1+g)^{n})(1+iT)\tag{3}

Valore Futuro di una Rendita Crescente (g = i)

Se g = i possiamo sostituire g con i e noterete che se sostituiamo (1 + g) termini nell’equazione (3a) con (1 + i) otteniamo

\( FV=PMT(1+i)^{n-1}+PMT(1+i)^1(1+i)^{n-2}+PMT(1+i)^2(1+i)^{n-3}+…+PMT(1+i)^{n-1}(1+i)^{n-n} \4277>

combinando i termini abbiamo

\( FV=PMT(1+i)^{n-1}+PMT(1+i)^{n-1}+PMT(1+i)^{n-1}+…+PMT(1+i)^{n-1} \)

poiché ora abbiamo n casi di PMT(1+i)n-1 possiamo ridurre l’equazione. Considerando anche una rendita dovuta o una rendita ordinaria, moltiplicare per (1 + iT), e otteniamo

\( FV=PMTn(1+i)^{n-1}(1+iT)\tag{4}

Valore Futuro di una Perpetua o Perpetua Crescente (t → ∞)

Per g < i, per una perpetua, rendita perpetua, o perpetua crescente, il numero di periodi t va all’infinito quindi n va all’infinito e, logicamente, il valore futuro nelle equazioni (2), (3) e (4) va all’infinito quindi non sono fornite equazioni. Il valore futuro di qualsiasi perpetuità va all’infinito.

Formula del valore futuro per la somma combinata di valore futuro e flusso di cassa (rendita):

Possiamo combinare le equazioni (1) e (2) per avere una formula di valore futuro che include sia una somma forfettaria di valore futuro che una rendita. Questa equazione è paragonabile alle sottostanti equazioni del valore temporale del denaro in Excel.

Valore Futuro

( FV=PV(1+i)^{n}+\dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1)(1+iT)\tag{5} \4277>

Come nella formula (2.1) se T = 0, pagamenti alla fine di ogni periodo, abbiamo la formula per il valore futuro con una rendita ordinaria

\( FV=PV(1+i)^{n}+dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1) \)

Come nella formula (2.2) se T = 1, pagamenti all’inizio di ogni periodo, abbiamo la formula per il valore futuro con una rendita dovuta

\( FV=PV(1+i)^{n}+\dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1)(1+i) \)

Valore futuro quando i = 0

Nel caso in cui i = 0, anche g deve essere 0, e torniamo alle equazioni (1) e (2a) per vedere che la formula combinata del valore futuro può ridursi a

\( FV=PV+PMTn(1+iT) \)

Valore Futuro con Rendita Crescente (g < i)

riscritto dalla formula (3)

\( FV=PV(1+i)^{n}+\dfrac{PMT}{(i-g)}((1+i)^{n}-(1+g)^{n})(1+iT)\tag{6} \4277>

Valore Futuro con Rendita Crescente (g = i)

riscritto dalla formula (4)

\( FV=PV(1+i)^{n}+PMTn(1+i)^{n-1}(1+iT)\tag{7}

Nota sulla capitalizzazione m, sul tempo t e sul tasso r

La formula (5) può essere ampliata per tenere conto della capitalizzazione.

\( FV=PV(1+\frac{r}{m})^{mt}+\dfrac{PMT}{\frac{r}{m}}((1+\frac{r}{m})^{mt}-1)(1+(\frac{r}{m})T)\tag{8}

dove n = mt e i = r/m. t è il numero di periodi, m sono gli intervalli di capitalizzazione per periodo e r è il tasso per periodo t. (questo è facilmente comprensibile se applicato con t in anni, r il tasso nominale per anno e m gli intervalli di capitalizzazione per anno) Quando scritto in termini di i e n, i è il tasso per intervallo di capitalizzazione e n è il totale degli intervalli di capitalizzazione, anche se questo può ancora essere dichiarato come “i è il tasso per periodo e n è il numero di periodi” dove periodo = intervallo di capitalizzazione. “Periodo” è un termine generico.

Relativamente agli input della calcolatrice, r = R/100 e g = G/100. Se le frequenze di composizione e di pagamento non coincidono in questi calcoli, r e g sono convertiti in un tasso equivalente per coincidere con i pagamenti, poi n e i sono ricalcolati in termini di frequenza di pagamento, q. La prima parte dell’equazione è il valore futuro di una somma presente e la seconda parte è il valore futuro di una rendita.

Valore futuro con perpetuità o perpetuità crescente (t → ∞ e n = mt → ∞)

Per una perpetuità, una rendita perpetua, il numero di periodi t va all’infinito quindi n va all’infinito e, logicamente, il valore futuro nell’equazione (5) va all’infinito quindi non sono fornite equazioni. Il valore futuro di qualsiasi perpetuità va all’infinito.

Composizione continua (m → ∞)

Calcolo del valore futuro con la composizione continua, ancora una volta guardando la formula (8) per il valore attuale dove m è la composizione per periodo t, t è il numero di periodi e r è il tasso composto con i = r/m e n = mt.

\( FV=PV(1+\frac{r}{m})^{mt}+\dfrac{PMT}{\frac{r}{m}}((1+\frac{r}{m})^{mt}-1)(1+(\frac{r}{m})T)\tag{8}

Il tasso effettivo è ieff = ( 1 + ( r / m )m – 1 per un tasso r composto m volte per periodo. Si può dimostrare matematicamente che come m → ∞, il tasso effettivo di r con capitalizzazione continua raggiunge il limite superiore pari a er – 1. Togliendo la m e cambiando r al tasso effettivo di r, er – 1:

la formula (5) o (8) diventa

\( FV=PV(1+e^r-1)^{t}+\dfrac{PMT}{e^r-1}((1+e^r-1)^{t}-1)(1+(e^r-1)T)

cancellando gli 1 dove possibile otteniamo la formula finale per il valore futuro con capitalizzazione continua

Valore futuro con capitalizzazione continua (m → ∞)

\( FV=PVe^{rt}+dfrac{PMT}{e^r-1}(e^{rt}-1)(1+(e^r-1)T)\tag{9} \4277>

per una rendita ordinaria

\( FV=PVe^{rt}+dfrac{PMT}{e^r-1}(e^{rt}-1)\tag{9.1}

per una rendita dovuta

\( FV=PVe^{rt}+dfrac{PMT}{e^r-1}(e^{rt}-1)e^rtag{9.2}

Valore futuro di una rendita crescente (g ≠ i) e capitalizzazione continua (m → ∞)

Possiamo modificare l’equazione (3a) per la capitalizzazione continua, sostituendo i con er – 1 e otteniamo:

\( FV=PMT(1+g)^{n-1}+PMT(1+e^{r}-1)^1(1+g)^{n-2}+PMT(1+e^{r}-1)^2(1+g)^{n-3}+…+PMT(1+e^{r}-1)^{n-1}(1+g)^{n-n} \)

which reduces to

\( FV=PMT(1+g)^{n-1}+PMTe^{r}(1+g)^{n-2}+PMTe^{2r}(1+g)^{n-3}+PMTe^{3r}(1+g)^{n-4}+…+PMT(e^{(n-1)r})(1+g)^{n-n}\tag{10a}

Moltiplicando (10a) per er/(1+g)

\( \dfrac{FVe^{r}}{1+g}=PMTe^{r}(1+g)^{n-2}+PMTe^{2r}(1+g)^{n-3}+PMTe^{3r}(1+g)^{n-4}+PMTe^{4r}(1+g)^{n-5}+…+PMT(e^{nr})(1+g)^{n-n-1}\tag{10b} \4277>

sottraendo (10a) da (10b) la maggior parte dei termini si annulla lasciando

\( \dfrac{FVe^{r}}{1+g}-FV=PMT(e^{nr})(1+g)^{n-n-1}-PMT(1+g)^{n-1} \)

moltiplicando per (1+g)

\( FVe^{r}-FV(1+g)=PMTe^{nr}-PMT(1+g)^{n}

factoring out like terms on both sides then solving for FV by dividing both sides by (er – (1 + g)) we have

\( FV=\dfrac{PMT}{e^{r}-(1+g)}(e^{nr}-(1+g)^{n})

Aggiungendo il termine per tener conto del fatto che abbiamo una rendita crescente dovuta o una rendita ordinaria crescente, moltiplichiamo per il fattore (1 + (er-1)T)

\( FV=\dfrac{PMT}{e^{r}-(1+g)}(e^{nr}-(1+g)^{n})(1+(e^{r}-1)T)\tag{10}

Valore Futuro di una Rendita Crescente (g = i) e Compounding Continuo (m → ∞)

Partendo dall’equazione (4) sostituendo i con er – 1 e semplificando si ottiene:

\( FV=PMTne^{r(n-1)}(1+(e^{r}-1)T)\tag{11}

Esempio di calcolo del valore futuro:

Un esempio che puoi usare nel calcolatore di valore futuro. Avete 15.000 dollari di risparmi e inizierete a risparmiare 100 dollari al mese in un conto che rende l’1,5% all’anno composto mensilmente. Farete i vostri depositi alla fine di ogni mese. Vuoi conoscere il valore del tuo investimento tra 10 anni o il valore futuro del tuo conto di risparmio.

  • 1 Periodo = 1 Anno
  • Valore attuale Investimento PV = 15.000
  • Numero di Periodi t = 10 (anni)
  • Tasso per periodo R = 1.5% (r = 0,015)
  • Compounding 12 volte per periodo (mensile) m = 12
  • Tasso di crescita per periodo G = 0
  • Importo di pagamento PMT = 100,00
  • Pagamenti per periodo q = 12 (mensile)

Utilizzando l’equazione (7) abbiamo

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