La costruzione di base in questa sezione è il prodotto punto, che misura gli angoli tra i vettori e calcola la lunghezza di un vettore.
Definizione
Il prodotto di punto di due vettori x,y in Rn è
Pensando a x,y come vettori colonna, questo è uguale a xTy.
Per esempio,
Nota che il prodotto di punti di due vettori è uno scalare.
Si può fare aritmetica con i prodotti di punti quasi sempre come al solito, purché ci si ricordi che si possono mettere insieme solo due vettori e che il risultato è uno scalare.
Proprietà del prodotto di punti
Lasciamo che x,y,z siano vettori in Rn e che c sia uno scalare.
- Commutatività: x-y=y-x.
- Distributività con addizione: (x+y)-z=x-z+y-z.
- Distributività con moltiplicazione scalare: (cx)-y=c(x-y).
Il prodotto di punto di un vettore con se stesso è un caso speciale importante:
Pertanto, per qualsiasi vettore x, abbiamo:
- x-x≥0
- x-x=0⇐⇒x=0.
Questo porta ad una buona definizione di lunghezza.
Fatto
La lunghezza di un vettore x in Rn è il numero
È facile vedere perché questo è vero per i vettori in R2, per il teorema di Pitagora.
Per i vettori in R3, si può verificare che AxA è davvero la lunghezza di x, anche se ora questo richiede due applicazioni del teorema di Pitagora.
Nota che la lunghezza di un vettore è la lunghezza della freccia; se pensiamo in termini di punti, allora la lunghezza è la sua distanza dall’origine.
Fatto
Se x è un vettore e c è uno scalare, allora AcxA=|c|-AxA.
Questo dice che scalando un vettore di c si scala la sua lunghezza di |c|. Per esempio,
Ora che abbiamo una buona nozione di lunghezza, possiamo definire la distanza tra punti in Rn. Ricordiamo che la differenza tra due punti x,y è naturalmente un vettore, cioè il vettore y-x che punta da x a y.
Definizione
La distanza tra due punti x,y in Rn è la lunghezza del vettore da x a y:
I vettori di lunghezza 1 sono molto comuni nelle applicazioni, quindi diamo loro un nome.
Definizione
Un vettore unitario è un vettore x di lunghezza AxA=Bx-x=1.
I vettori coordinate standard e1,e2,e3,… sono vettori unitari:
Per ogni vettore x non nullo, esiste un unico vettore unitario che punta nella stessa direzione. Si ottiene dividendo per la lunghezza di x.
Fatto
Lascia che x sia un vettore non nullo in Rn. Il vettore unitario nella direzione di x è il vettore x/AxA.
Questo è infatti un vettore unitario (notando che AxA è un numero positivo, quindi CC1/AxACC=1/AxA):