La funzione lavoro
L’effetto fotoelettrico fu spiegato nel 1905 da A. Einstein. Einstein ragionò che se l’ipotesi di Planck sui quanti di energia era corretta per descrivere lo scambio di energia tra la radiazione elettromagnetica e le pareti della cavità, doveva funzionare anche per descrivere l’assorbimento di energia dalla radiazione elettromagnetica da parte della superficie di un fotoelettrodo. Ha postulato che un’onda elettromagnetica trasporta la sua energia in pacchetti discreti. Il postulato di Einstein va oltre l’ipotesi di Planck perché afferma che la luce stessa consiste di quanti di energia. In altre parole, afferma che le onde elettromagnetiche sono quantizzate.
Nell’approccio di Einstein, un fascio di luce monocromatica di frequenza \(f\) è fatto di fotoni. Un fotone è una particella di luce. Ogni fotone si muove alla velocità della luce e porta un quantum di energia \(E_f\). L’energia di un fotone dipende solo dalla sua frequenza \(f\). Esplicitamente, l’energia di un fotone è
dove \(h\) è la costante di Planck. Nell’effetto fotoelettrico, i fotoni arrivano alla superficie metallica e ogni fotone cede tutta la sua energia a un solo elettrone sulla superficie metallica. Questo trasferimento di energia dal fotone all’elettrone è del tipo “tutto o niente”, e non ci sono trasferimenti frazionati in cui un fotone perderebbe solo una parte della sua energia e sopravviverebbe. L’essenza di un fenomeno quantistico è che o un fotone trasferisce tutta la sua energia e cessa di esistere o non c’è nessun trasferimento. Questo è in contrasto con l’immagine classica, dove sono permessi trasferimenti di energia frazionari. Avendo questa comprensione quantistica, il bilancio energetico per un elettrone sulla superficie che riceve l’energia \(E_f\) da un fotone è
dove \(K_max\) è l’energia cinetica, data dall’equazione \ref{PEexpt}, che un elettrone ha nel preciso istante in cui si stacca dalla superficie. In questa equazione del bilancio energetico, \(\phi\) è l’energia necessaria per staccare un fotoelettrone dalla superficie. Questa energia \(\phi\) è chiamata funzione di lavoro del metallo. Ogni metallo ha la sua funzione di lavoro caratteristica, come illustrato nella tabella \PageIndex{1}. Per ottenere l’energia cinetica dei fotoelettroni sulla superficie, invertiamo semplicemente l’equazione del bilancio energetico e usiamo l’equazione \ref{planck} per esprimere l’energia del fotone assorbito. Questo ci dà l’espressione per l’energia cinetica dei fotoelettroni, che dipende esplicitamente dalla frequenza della radiazione incidente:
L’equazione \ref{PEeffect} ha una forma matematica semplice ma la sua fisica è profonda. Possiamo ora elaborare il significato fisico dietro questa equazione.
Nell’interpretazione di Einstein, le interazioni avvengono tra singoli elettroni e singoli fotoni. L’assenza di un tempo di ritardo significa che queste interazioni uno a uno avvengono istantaneamente. Questo tempo di interazione non può essere aumentato abbassando l’intensità della luce. L’intensità della luce corrisponde al numero di fotoni che arrivano alla superficie metallica per unità di tempo. Anche a intensità di luce molto basse, l’effetto fotoelettrico si verifica ancora perché l’interazione è tra un elettrone e un fotone. Finché c’è almeno un fotone con abbastanza energia da trasferirla ad un elettrone legato, un fotoelettrone apparirà sulla superficie del fotoelettrodo.
La frequenza di spegnimento dipende solo dalla funzione di lavoro del metallo ed è direttamente proporzionale ad essa. Quando la funzione di lavoro è grande (quando gli elettroni sono legati velocemente alla superficie del metallo), l’energia del fotone di soglia deve essere grande per produrre un fotoelettrone, e quindi la frequenza di soglia corrispondente è grande. I fotoni con frequenze maggiori della frequenza di soglia \(f_c\) producono sempre fotoelettroni perché hanno \(K_{max} > 0\). I fotoni con frequenze inferiori a \(f_c\) non hanno abbastanza energia per produrre fotoelettroni. Pertanto, quando la radiazione incidente ha una frequenza inferiore alla frequenza di taglio, l’effetto fotoelettrico non si osserva. Poiché la frequenza \(f\) e la lunghezza d’onda \(\lambda\) delle onde elettromagnetiche sono correlate dalla relazione fondamentale \(\lambda f = c\) (dove cc è la velocità della luce nel vuoto), la frequenza di taglio ha la sua corrispondente lunghezza d’onda di taglio \(\lambda_c\):
\
In questa equazione, \(hc = 1240 \, eV \cdot nm\). Le nostre osservazioni possono essere riformulate nel seguente modo equivalente: Quando la radiazione incidente ha lunghezze d’onda superiori alla lunghezza d’onda di taglio, l’effetto fotoelettrico non si verifica.
L’equazione \ref{Effetto PE} nel modello di Einstein ci dice che la massima energia cinetica dei fotoelettroni è una funzione lineare della frequenza della radiazione incidente, che è illustrata nella figura \(\PageIndex{3}). Per qualsiasi metallo, la pendenza di questo grafico ha un valore della costante di Planck. L’intercetta con l’asse \(K_{max})- ci dà un valore della funzione lavoro che è caratteristica per il metallo. D’altra parte, \(K_{max}) può essere misurato direttamente nell’esperimento misurando il valore del potenziale di arresto \(\delta V_s\) (vedi Equazione \ref{PEexpt}) al quale la fotocorrente si ferma. Queste misure dirette ci permettono di determinare sperimentalmente il valore della costante di Planck, così come le funzioni di lavoro dei materiali.
Il modello di Einstein dà anche una spiegazione diretta per i valori di fotocorrente mostrati nella figura \(\PageIndex{3}). Per esempio, raddoppiando l’intensità della radiazione si raddoppia il numero di fotoni che colpiscono la superficie per unità di tempo. Più grande è il numero di fotoni, più grande è il numero di fotoelettroni, che porta ad una maggiore fotocorrente nel circuito. Ecco come l’intensità della radiazione influenza la fotocorrente. La fotocorrente deve raggiungere un plateau ad un certo valore della differenza di potenziale perché, nell’unità di tempo, il numero di fotoelettroni è uguale al numero di fotoni incidenti e il numero di fotoni incidenti non dipende affatto dalla differenza di potenziale applicata, ma solo dall’intensità della radiazione incidente. Il potenziale di arresto non cambia con l’intensità della radiazione perché l’energia cinetica dei fotoelettroni (vedi Equazione \ref{PEeffetto}) non dipende dall’intensità della radiazione.