Jövőérték-kalkulátor

Posted on

Kalkulátor használata

A jövőérték képlete FV=PV(1+i)n, ahol a jelenérték PV minden egyes időszakban a jövőre nézve 1+i tényezővel nő.

A jövőérték-kalkulátor több változót használ a FV számítás során:

  • A jelenérték összege
  • Az időszakok száma, jellemzően évek
  • Kamatláb
  • Kamatozás gyakorisága
  • Kasszafizetések
  • Növekvő járadékok és örökjáradékok

A pénzösszeg jövőbeli értéke a jelenlegi összeg értéke egy jövőbeli időpontban.

Ezzel a jövőérték-kalkulátorral meghatározhatja, hogy a felhalmozott kamatok és a lehetséges pénzáramlások miatt a jövőben egy bizonyos időpontban mennyit fog érni a befektetése.

A kalkulátor használatakor bármelyik változóra, amelyet ki szeretne zárni, 0-t írhat be. Más jövőérték-kalkulátoraink lehetőséget biztosítanak specifikusabb jövőérték-számításokhoz.

Mit tartalmaz a jövőérték-számítás

A jövőérték-kalkulátor a következő változókat használja egy jelenbeli összeg, valamint a kamat- és pénzáramlási kifizetések jövőbeli értékének (FV) kiszámításához:

Jelenérték PV Egy pénzösszeg jelenértéke Időszakok száma t – Az időszakok száma általában évek száma
– Ügyeljen arra, hogy minden inputja ugyanazt az időegységet használja (év, hónap, stb.).)
– Örökös járadék esetén adja meg a p vagy a perpetuity értéket Kamatláb R A nominális kamatláb vagy a megadott kamatláb, százalékban kifejezve Compounding m – A periódusonkénti kamatozás száma
– Írja be az 1-et az éves kamatozáshoz, amely évente egyszer történik
– Írja be a 4-et a negyedéves kamatozáshoz
– Írja be a 12-t a havi kamatozáshoz
– Írja be a 365-öt a napi kamatozáshoz
– Írja be a c vagy folyamatos a folyamatos kamatozáshoz Cash flow annuity payment amount PMT A kifizetés összege periódusonként Growth rate G A járadékfizetések periódusonkénti növekedési rátája százalékban megadva Number of payments q per period – Payment frequency
– Írja be az 1-et az éves kifizetésekhez. azaz évente egyszer
– 4-et adjon meg a negyedéves kifizetésekhez
– 12-t adjon meg a havi kifizetésekhez
– 365-öt adjon meg a napi kifizetésekhez Mikor történnek a járadékfizetések T – Válassza ki a véget, amely egy rendes járadék, amelynél a kifizetések az időszak végén érkeznek
– Válassza ki a kezdetet. amikor a kifizetések az időszak elején esedékesek Jövőbeli érték FV Az FV számítás eredménye bármely jelenértékű összeg jövőbeli értéke plusz a kamatok és a jövőbeli pénzáramlások vagy járadékfizetések

Az alábbi szakaszok bemutatják, hogyan lehet matematikailag levezetni a jövőbeli érték képleteket. Az itt bemutatott képletek listáját lásd a Jövőérték-képletek oldalunkon.

Jövőérték-képlet levezetése

Egy jelenérték (PV) összeg jövőbeli értéke (FV), amely egyetlen időszak alatt i kamatlábbal kamatozik, a jelenérték és az ezen az összegen szerzett kamatok összege. A jövőérték-kalkulátorban használt matematikai egyenlet:

\( FV=PV+PVi \)

vagy

\( FV=PV(1+i) \)

A jövőre nézve minden egyes időszakban a felhalmozott érték további (1 + i) tényezővel nő. Ezért a mondjuk 3 időszak alatt felhalmozott jövőbeni értéket a

\( FV_{3}=PV_{3}(1+i)(1+i)(1+i)(1+i)=PV_{3}(1+i)^{3} \)

vagy általában

\( FV_{n}=PV_{n}(1+i)^{n}\tag{1a} \)

és ugyanígy megoldhatjuk a PV-re, hogy megkapjuk

\( PV_{n}=\dfrac{FV_{n}}{(1+i)^n}\tag{1b} \)

Egyenleteink: (1a) egy jelen összeg jövőbeli értéke és (1b) egy jövőbeli összeg jelenértéke i periodikus kamatláb mellett, ahol n az időszakok száma a jövőben. Általában ezt az egyenletet úgy alkalmazzák, hogy az időszakokat éveknek tekintik, de kevésbé korlátozó, ha tágabb értelemben vett időszakokban gondolkodunk. Ha az (1b)-ből elhagyjuk az indexeket, akkor a következőket kapjuk:

A jelenösszeg jövőbeli értéke

\( FV=PV(1+i)^{n}\tag{1} \)

Jövőérték járadékképlet levezetése

A járadék egy periodikusan, (rendszeres időközönként) kifizetett pénzösszeg. Tegyük fel, hogy van egy sor egyenlő jelenérték, amelyet kifizetéseknek (PMT) fogunk nevezni, és minden időszakban egyszer fizetnek ki n időszakon keresztül, állandó kamatláb mellett i. A jövőérték-kalkulátor kiszámítja a kifizetések sorozatának FV-jét 1-től n-ig az (1) képlet segítségével, hogy összeadja az egyes jövőértékeket.

\( FV=PMT+PMT(1+i)^1+PMT(1+i)^2+…+PMT(1+i)^{n-1}\tag{2a} \)

A (2a) képletben a kifizetések az időszakok végén történnek. Az egyenlet jobb oldalán lévő első kifejezés, a PMT, a sorozat utolsó kifizetése, amelyet az utolsó időszak végén teljesítettek, ami a jövőbeli értékkel egy időben van. Ezért erre a kifizetésre nem vonatkozik kamat. Az egyenlet jobb oldalán található utolsó kifejezés, a PMT(1+i)n-1, a sorozat első kifizetése az első időszak végén, amely csak n-1 periódusnyira van a jövőbeli értékünk időpontjától.

szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát (1 + i)-vel, hogy megkapjuk

\( FV(1+i)=PMT(1+i)^1+PMT(1+i)^2+PMT(1+i)^3+…+PMT(1+i)^{n}\tag{2b} \)

ha kivonjuk a (2a) egyenletet a (2b)-ből, akkor a legtöbb kifejezés megszűnik, és marad

\( FV(1+i)-FV=PMT(1+i)^n-PMT \)

húzzuk ki a két oldalon lévő hasonló kifejezéseket

\( FV((1+i)-1)=PMT((1+i)^n-1) \)

a bal oldali 1-eseket töröljük, majd elosztjuk i-vel, egy közönséges járadék jövőbeni értéke, minden időszak végén történő kifizetésekkel,

\( FV=\dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1)\tag{2c} \)

Egy esedékes járadék esetében a kifizetések nem az egyes időszakok végén, hanem az elején történnek, ezért a kifizetések most 1 időszakkal távolabb vannak az FV-től. A képletet meg kell növelnünk a kamatnövekedés 1 periódusával. Ezt így írhatjuk fel:

\( FV_{n}=PV_{n}(1+i)^{(n+1)} \)

de az (1 + i)

\( FV_{n}=PV_{n}(1+i)^{n}(1+i) \)

Az (2a) egyenletben, illetve a (2c) egyenlet jobb oldalán szereplő minden kifizetést megszorozva az (1 + i) tényezővel megkapjuk az FV egyenletét egy esedékes járadékra. Ez általánosabban így írható fel:

Egy járadék jövőbeli értéke

\( FV=\dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1)(1+iT)\tag{2} \)

ahol T a típust jelöli. (hasonlóan az Excel képletekhez) Ha a kifizetések az időszak végén történnek, akkor közönséges járadékról van szó, és T = 0-t állítunk be. Ha a kifizetések az időszak elején történnek, akkor esedékes járadékról van szó, és T = 1-t állítunk be.

A rendes járadék jövőbeli értéke

ha T = 0, a kifizetések minden időszak végén vannak, és megvan a rendes járadék jövőbeli értékének képlete

\( FV=\dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1)\tag{2.1} \)

Egy esedékes járadék jövőbeli értéke

ha T = 1, a kifizetések minden időszak elején történnek, és megvan az esedékes járadék jövőbeli értékére vonatkozó képlet

\( FV=\dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1)(1+i)\tag{2,2} \)

Jövőérték növekvő járadék képlet levezetése

A növekvő járadékot ezzel a jövőérték kalkulátorral is kiszámíthatja. Egy növekvő járadékban az első után minden egyes eredő jövőbeli érték (1 + g) tényezővel növekszik, ahol g az állandó növekedési ütem. A (2a) egyenletet a növekedés figyelembevételével módosítva megkapjuk

\( FV=PMT(1+g)^{n-1}+PMT(1+i)^1(1+g)^{n-2}+PMT(1+i)^2(1+g)^{n-3}+…+PMT(1+i)^{n-1}(1+g)^{n-n}\tag{3a} \)

A (3a) képletben a kifizetések az időszakok végén történnek. Az egyenlet jobb oldalán lévő első kifejezés, a PMT(1+g)n-1, a sorozat utolsó kifizetése az utolsó időszak végén történt, ami a jövőbeli értékkel egy időben van. Ha átszorozzuk (1 + g-vel), akkor ebben az időszakban a növekedés növekedését (n – 1) alkalommal alkalmazzuk. Az egyenlet jobb oldalán lévő utolsó kifejezés, a PMT(1+i)n-1(1+g)n-n, a sorozat első kifizetése az első időszak végén történt, és a növekedést nem alkalmazzák az első PMT-re vagy (n-n) alkalommal.

Multiplikáljuk FV-t (1+i)/(1+g)-vel, hogy megkapjuk

\( FV\dfrac{(1+i)}{(1+g)}=PMT(1+i)^1(1+g)^{n-2}+PMT(1+i)^2(1+g)^{n-3}+PMT(1+i)^3(1+g)^{n-4}+…+PMT(1+i)^{n}(1+g)^{n-n-1}\tag{3b} \)

kivonva a (3a) egyenletet a (3b) egyenletből, a legtöbb kifejezés megszűnik és marad

\( FV\dfrac{(1+i)}{(1+g)}-FV=PMT(1+i)^{n}(1+g)^{n-n-1}-PMT(1+g)^{n-1} \)

némi algebrai manipulációval, mindkét oldalt megszorozva (1+g)-vel megkapjuk

\( FV(1+i)-FV(1+g)=PMT(1+i)^{n}-PMT(1+g)^{n} \)

húzva a hasonló kifejezéseket mindkét oldalról

\( FV(1+i-1-g)=PMT((1+i)^{n}-(1+g)^{n}) \)

a bal oldali 1-eseket törölve, majd osztva (i-g) kapjuk végül

A növekvő járadék jövőbeli értéke (g ≠ i)

\( FV=\dfrac{PMT}{(i-g)}((1+i)^{n}-(1+g)^{n}) \)

A (2. egyenlethez hasonlóan, annak figyelembevételéhez, hogy növekvő esedékes járadékról vagy növekvő rendes járadékról van-e szó, megszorozzuk a (1 + iT)

\( FV=\dfrac{PMT}{(i-g)}((1+i)^{n}-(1+g)^{n})(1+iT)\tag{3}) tényezővel. \)

A növekvő járadék jövőbeli értéke (g = i)

Ha g = i, akkor g-t i-vel helyettesíthetjük, és észrevehetjük, hogy ha a (3a) egyenletben az (1 + g) kifejezéseket (1 + i)-vel helyettesítjük, akkor

\( FV=PMT(1+i)^{n-1}+PMT(1+i)^1(1+i)^{n-2}+PMT(1+i)^2(1+i)^{n-3}+…+PMT(1+i)^{n-1}(1+i)^{n-n} \)

a kifejezések kombinálásával megkapjuk

\( FV=PMT(1+i)^{n-1}+PMT(1+i)^{n-1}+PMT(1+i)^{n-1}+…+PMT(1+i)^{n-1} \)

mivel most már n példánya van a PMT(1+i)n-1-nek, redukálhatjuk az egyenletet. Az esedékes járadékot vagy rendes járadékot is figyelembe véve szorozzuk meg (1 + iT), és megkapjuk

\( FV=PMTn(1+i)^{n-1}(1+iT)\tag{4} \)

Egy örökjáradék vagy növekvő örökjáradék jövőbeli értéke (t → ∞)

G < i, örökjáradék, örökös járadék vagy növekvő örökjáradék esetén a t időszakok száma a végtelenbe megy, ezért n a végtelenbe megy, és logikusan a (2), (3) és (4) egyenletekben szereplő jövőbeli érték is a végtelenbe megy, így nem adunk egyenleteket. Bármely örökjáradék jövőbeli értéke a végtelenbe megy.

Jövőérték-képlet kombinált jövőérték-összegre és pénzáramlásra (járadékra):

Az (1) és (2) egyenleteket kombinálva olyan jövőérték-képletet kapunk, amely magában foglalja a jövőérték-összeg és a járadékot is. Ez az egyenlet összehasonlítható az Excelben a pénz időértékének alapul szolgáló egyenleteivel.

Jövőérték

\( FV=PV(1+i)^{n}+\dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1)(1+iT)\tag{5} \)

Amint a (2.1) képletben, ha T = 0, kifizetések minden időszak végén, akkor a jövőbeni értékre vonatkozó képletet kapjuk rendes járadékkal

\( FV=PV(1+i)^{n}+\dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1) \)

Mint a képletben (2.2), ha T = 1, kifizetések minden időszak elején, akkor a jövőbeli érték képletét kapjuk egy esedékes járadékkal

\( FV=PV(1+i)^{n}+\dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1)(1+i) \)

Jövőérték, ha i = 0

Az i = 0 esetben g is 0 kell legyen, és visszatekintve az (1) és (2a) egyenletekre láthatjuk, hogy a kombinált jövőbeli érték képlet redukálható

\( FV=PV+PMTn(1+iT) \)

Jövőérték növekvő járadékkal (g < i)

a (3)

\( FV=PV(1+i)^{n}+\dfrac{PMT}{(i-g)}((1+i)^{n}-(1+g)^{n})(1+iT)\tag{6} \)

Jövőbeli érték növekvő járadékkal (g = i)

a (4. képletből átírva)

\( FV=PV(1+i)^{n}+PMTn(1+i)^{n-1}(1+iT)\tag{7} \)

Megjegyzés a kamatozásra m, a t időre és az r rátára

A (5) képlet kibővíthető a kamatozás figyelembevételével.

\( FV=PV(1+\frac{r}{m})^{mt}+\dfrac{PMT}{\frac{r}{m}}((1+\frac{r}{m})^{mt}-1)(1+(\frac{r}{m})T)\tag{8} \)

ahol n = mt és i = r/m. t az időszakok száma, m az időszakonkénti kamatozási időközök és r a t időszakonkénti kamatláb. (ez könnyen érthető, ha a t-t években, r az évenkénti nominális kamatlábat és m az évenkénti kamatozási időközöket alkalmazzuk) Ha i-vel és n-nel írjuk fel, i az egy kamatozási időközre eső kamatláb, n pedig az összes kamatozási időköz, bár ez még mindig úgy is megfogalmazható, hogy “i az időszakonkénti kamatláb és n az időszakok száma”, ahol időszak = kamatozási időköz. Az “időszak” egy tág fogalom.

A számológép bemeneteihez kapcsolódóan r = R/100 és g = G/100. Ha a kamatozás és a kifizetések gyakorisága nem esik egybe ezekben a számításokban, akkor r-t és g-t átváltjuk egy egyenértékű rátára, hogy egybeessen a kifizetésekkel, majd n-t és i-t újraszámoljuk a kifizetési gyakoriság, q szempontjából. Az egyenlet első része a jelenösszeg jövőbeli értéke, a második része pedig az évjáradék jövőbeli értéke.

Jövőérték örökjáradékkal vagy növekvő örökjáradékkal (t → ∞ és n = mt → ∞)

Egy örökjáradék, örökös járadék esetében a t periódusok száma a végtelenbe megy, ezért n a végtelenbe megy, és logikusan az (5) egyenletben szereplő jövőérték is a végtelenbe megy, ezért nem adunk egyenletet. Bármely örökjáradék jövőbeli értéke a végtelenbe megy.

Folyamatos kamatozás (m → ∞)

A jövőbeli érték kiszámítása folyamatos kamatozással, ismét a jelenértékre vonatkozó (8) képletet tekintve, ahol m a t időszakonkénti kamatozás, t az időszakok száma és r a kamatos kamatláb, i = r/m és n = mt.

\( FV=PV(1+\frac{r}{m})^{mt}+\dfrac{PMT}{\frac{r}{m}}((1+\frac{r}{m})^{mt}-1)(1+(\frac{r}{m})T)\tag{8} \)

A tényleges ráta ieff = ( 1 + ( r / m ) )m – 1 az időszakonként m-szer kamatoztatott r ráta esetén. Matematikailag bizonyítható, hogy ahogy m → ∞, az effektív r ráta folyamatos kamatozással eléri az er – 1-gyel egyenlő felső határt. Ha az m-t eltávolítjuk, és r-t az r effektív r rátájára, er – 1-re változtatjuk:

az (5) vagy (8) képletből

\( FV=PV(1+e^r-1)^{t}+\dfrac{PMT}{e^r-1}((1+e^r-1)^{t}-1)(1+(e^r-1)T) lesz

\( FV=PV(1+e^r-1)^{t}-1)(1+(e^r-1)T) \)

kitörölve az 1-eseket, ahol lehetséges, megkapjuk a végső képletet a jövőértékre folyamatos kamatozással

Jövőérték folyamatos kamatozással (m → ∞)

\( FV=PVe^{rt}+\dfrac{PMT}{e^r-1}(e^{rt}-1)(1+(e^r-1)T)\tag{9} \)

egy rendes járadékra

\( FV=PVe^{rt}+\dfrac{PMT}{e^r-1}(e^{rt}-1)\tag{9.1} \)

az esedékes járadékra

\( FV=PVe^{rt}+\dfrac{PMT}{e^r-1}(e^{rt}-1)e^r\tag{9.2} \)

Növekvő járadék jövőbeli értéke (g ≠ i) és folyamatos kamatozás (m → ∞)

Módosíthatjuk a (3a) egyenletet a folyamatos kamatozásra, ha i-t er – 1-re cseréljük, és megkapjuk:

\( FV=PMT(1+g)^{n-1}+PMT(1+e^{r}-1)^1(1+g)^{n-2}+PMT(1+e^{r}-1)^2(1+g)^{n-3}+…+PMT(1+e^{r}-1)^{n-1}(1+g)^{n-n} \)

which reduces to

\( FV=PMT(1+g)^{n-1}+PMTe^{r}(1+g)^{n-2}+PMTe^{2r}(1+g)^{n-3}+PMTe^{3r}(1+g)^{n-4}+…+PMT(e^{(n-1)r})(1+g)^{n-n}\tag{10a} \)

Multiplikálva (10a) er/(1+g)

\( \dfrac{FVe^{r}}{1+g}=PMTe^{r}(1+g)^{n-2}+PMTe^{2r}(1+g)^{n-3}+PMTe^{3r}(1+g)^{n-4}+PMTe^{4r}(1+g)^{n-5}+…+PMT(e^{nr})(1+g)^{n-n-1}\tag{10b} \)

kivonva (10a) és (10b) értékét, a legtöbb tag kiürül, így marad

\( \dfrac{FVe^{r}}{1+g}-FV=PMT(e^{nr})(1+g)^{n-n-1}-PMT(1+g)^{n-1} \)

a (1+g)

\( FVe^{r}-FV(1+g)=PMTe^{nr}-PMT(1+g)^{n} \)

mindkét oldalon a hasonló tagok kihúzásával, majd FV megoldásával mindkét oldalt elosztva (er – (1+g)) kapjuk

\( FV=\dfrac{PMT}{e^{r}-(1+g)}(e^{nr}-(1+g)^{n}) \)

Azt a kifejezést hozzáadva, hogy figyelembe vegyük, hogy növekvő esedékes járadékról vagy növekvő rendes járadékról van-e szó, megszorozzuk a (1 + (er-1)T) tényezővel.

\( FV=\dfrac{PMT}{e^{r}-(1+g)}(e^{nr}-(1+g)^{n})(1+(e^{r}-1)T)\tag{10} \)

Növekvő járadék jövőbeli értéke (g = i) és folyamatos kamatozás (m → ∞)

A (4. egyenletből kiindulva, i-t er – 1-re cserélve és egyszerűsítve megkapjuk:

\( FV=PMTne^{r(n-1)}(1+(e^{r}-1)T)\tag{11} \)

Példa a jövőérték-számításokra:

Egy példa, amelyet a jövőérték-kalkulátorban használhatunk. Önnek 15 000 dollár megtakarítása van, és elkezd havonta 100 dollárt megtakarítani egy olyan számlára, amely évente 1,5%-os hozamot hoz havonta kamatoztatva. A befizetéseket minden hónap végén fogod megtenni. Szeretnéd tudni a befektetésed értékét 10 év múlva, vagy, a megtakarítási számlád jövőbeli értékét.

  • 1 időszak = 1 év
  • jelenérték befektetés PV = 15 000
  • időszakok száma t = 10 (év)
  • kamatláb per időszak R = 1.5% (r = 0,015)
  • Kamatozás 12-szer per időszak (havonta) m = 12
  • Növekedési ráta per időszak G = 0
  • Fizetési összeg PMT = 100,00
  • Fizetések per időszak q = 12 (havonta)

A (7) egyenletet használva megkapjuk

.

Vélemény, hozzászólás?

Az e-mail-címet nem tesszük közzé.