A szakasz alapkonstrukciója a ponttétel, amely a vektorok közötti szögeket méri és kiszámítja a vektor hosszát.
Definíció
Két x,y vektor pontszorzata Rn-ben
Az x,y-ra oszlopvektorokként gondolva ez megegyezik az xTy-vel.
Például,
Megjegyezzük, hogy két vektor pontproduktuma skalár.
Pontprodukcióval többnyire a szokásos módon számolhatunk, ha nem felejtjük el, hogy csak két vektorra tehetünk pontot, és hogy az eredmény skalár.
A pontproduktum tulajdonságai
Legyen x,y,z vektorok Rn-ben, és legyen c egy skalár.
- Kommutativitás: x-y=y-x.
- Distributivitás összeadással: (x+y)-z=x-z+y-z.
- Distributivitás skaláris szorzással: (cx)-y=c(x-y).
Egy vektor önmagával való pontszorzata egy fontos speciális eset:
Ezért bármely x vektorra érvényes:
- x-x≥0
- x-x=0⇐⇒x=0.
Ez egy jó hosszdefinícióhoz vezet.
Tény
Egy x vektor hossza az Rn-ben az a szám
Az R2-ben lévő vektorokra a Pitagorasz-tétel alapján könnyen belátható, hogy ez miért igaz.
Az R3-ban lévő vektorokra ellenőrizhetjük, hogy AxA valóban x hossza, bár ehhez most a Pitagorasz-tétel két alkalmazása szükséges.
Megjegyezzük, hogy egy vektor hossza a nyíl hossza; ha pontokban gondolkodunk, akkor a hossza az origótól való távolsága.
Tény
Ha x egy vektor és c egy skalár, akkor AcxA=|c|-AxA.
Ez azt mondja, hogy egy vektor c-vel való skálázása a hosszát |c|-vel skálázza. Például,
Most, hogy van egy jó fogalmunk a hosszról, definiálhatjuk az Rn pontjai közötti távolságot. Emlékezzünk vissza, hogy két x,y pont közötti különbség természetesen egy vektor, mégpedig az x-ből y-ra mutató y-x vektor.
Definíció
Az Rn két x,y pontja közötti távolság az x-ből y-ra mutató vektor hossza:
Az 1 hosszúságú vektorok nagyon gyakoriak az alkalmazásokban, ezért adunk nekik nevet.
Definíció
Egy egységvektor az AxA=Bx-x=1 hosszúságú x vektor.
A szabványos koordinátavektorok e1,e2,e3,…. egységvektorok:
Minden nem nulla x vektorhoz létezik egy egyedi, ugyanabba az irányba mutató egységvektor. Ezt úgy kapjuk meg, hogy elosztjuk x hosszával.
Tény
Legyen x egy nem nulla vektor Rn-ben. Az x irányában lévő egységvektor az x/AxA vektor.
Ez valójában egy egységvektor (megjegyezzük, hogy AxA pozitív szám, tehát CC1/AxACC=1/AxA):
DDDDDxAxADDDD=1AxAAxA=1.