Az előző, lebegő Szaturnuszról szóló bejegyzésemben utaltam arra, hogy írhatnék arról, milyen módszerekkel találhatjuk meg a Szaturnusz sűrűségét. Ja, és még egyszer: a Szaturnusz sűrűsége kisebb, mint a víz sűrűsége a Földön – de nem lebegne.
Emlékeztetőül: a sűrűséget a következőképpen határozzuk meg:
Ez azt jelenti, hogy valójában két dolgot kell meghatározni. Először is szükségünk van a Szaturnusz tömegére. Másodszor, szükségünk van a térfogatára. A térfogatot akkor kaphatjuk meg, ha ismerjük a Szaturnusz sugarát.
Térfogat
Technikailag a Szaturnusz nem tökéletesen gömb alakú. A középpont és az egyenlítő közötti távolság nagyobb, mint a középpont és a pólus közötti távolság. Ez azért van, mert a Szaturnusz forog, és nem egy merev objektum. Gondoljunk a forgó pizzatésztára – ugyanez a helyzet, kivéve, hogy ez a Szaturnusz. Valójában a sarki és az egyenlítői sugarat is megmérheted ugyanezzel az ötlettel – de most úgy teszek, mintha a Szaturnusz egy gömb lenne.
Ha gömb, akkor a térfogata:
De hogyan kapod meg a sugarat (vagy átmérőt). Az első lépés, hogy megnézzük a szögméretet. Ha ismered egy tárgy szögméretét és a tárgy távolságát, akkor meg tudod találni a méretet. Itt van egy kép, amelyet már többször használtam, és amely ezt az összefüggést mutatja.
Ha tehát a tárgy elég messze van, vagy elég kicsi, akkor a magasság (vagy hosszúság) megközelítőleg egy olyan kör ívhossza lesz, amelynek sugara megegyezik a távolsággal. Az objektum mérete csak a szögméret lesz, megszorozva az objektum távolságával.
De hogyan mérjük egyáltalán a szögméretet? Nos, ha van egy képed, akkor tudnod kell a kamerád szögletes látómezejét – én ezt kísérletileg egy iPhone-nal csináltam. A fényképezőgépek előtti időkben elég volt egy távcsövet használni. Nem túl nehéz mérni a szögméretet egy objektívvel. Csak meg kell határoznod az objektív szögletes látómezejét, majd fel kell tenned rá néhány jelölést, hogy meg tudd becsülni a mező töredékét az objektum szögletes méretéhez.”
Ez nagyszerű, de valami elég fontos dologtól függ. Milyen messze van a Szaturnusz? Itt jön a képbe Johannes Kepler. A rendelkezésre álló adatok felhasználásával Kepler három modellt dolgozott ki a Naprendszerben lévő objektumok mozgására.
- A Naprendszerben egy objektum pályája egy ellipszis, amelynek gyújtópontja a Nap.
- Amint egy objektum közelebb kerül a Naphoz, annál gyorsabban halad. Kepler még tovább ment, és azt mondta, hogy egy adott időintervallumban az objektum ugyanazt a területet söpri ki, függetlenül attól, hogy a pályáján hol helyezkedik el.
- A keringési idő a keringési távolsággal (félnagytengellyel) függ össze. Valójában a periódus négyzete arányos (de nem egyenlő) a félnagytengely kockájával.
Kepler bolygómozgási törvényei nem új fizika. Ha akarod, ugyanezeket a törvényeket megkaphatod a lendület elvével és a távolság négyzetével eggyel arányos gravitációs erővel is. A törvények azonban működnek, és itt az utolsó törvény az, ami hasznos. Ha ismerem a Szaturnusz és a Föld keringési idejét, akkor felírhatom:
A T az időszak általános fizikai szimbóluma, és az időegységek nem igazán számítanak. Az arányossági állandó, a k eltörlődik, ha az egyik egyenletet elosztom a másikkal. Végeredményben van egy kifejezésem a Szaturnusz fél nagytengelyére. Ha a Szaturnusz körpályán lenne, akkor ez lenne a sugara és a távolsága a Naptól. Ah ha! De valójában nincs meg a Föld és a Szaturnusz távolsága. A Szaturnusz távolságát a Nap és a Föld távolsága alapján tudom megadni. A könnyebbség kedvéért ezt a Föld-Nap távolságot 1 csillagászati egységnek (AU) nevezzük. Ez nagyszerű meg minden, de ha ezt az egységet (AU) használnám a Szaturnusz méretére, akkor a sűrűséget valami furcsa egységben – kg/AU3 – kapnám. Ahhoz, hogy összehasonlíthassuk a Szaturnusz sűrűségét a vízzel, szükségünk van a távolságra valami használható mértékegységben – például méterben vagy talán méterben.
Hogyan találod meg az 1 AU értékét méterben? Többféleképpen is lehet. Az egyik módja ennek a távolságnak a megtalálására a görög módszer. Igen, a görög csillagászok ezt valamikor i.e. 500 körül csinálták. Íme egy rövid változat arról, hogyan csinálták:
- A Föld különböző pontjain lévő árnyékok segítségével határozzuk meg a Föld sugarát.
- Tegyük fel, hogy a Hold körkörösen mozog a Föld körül. Határozza meg a számított (a Föld középpontja alapján számított) és a tényleges (a felszíntől mért) pozíció közötti különbséget a Hold távolságának (és méretének) meghatározásához.
- Mérje meg a Nap és a Hold közötti szöget, amikor a Hold fázisa negyedfázisú. Ez egy derékszögű háromszöget alkot. Ha már ismerjük a Föld és a Hold távolságát, akkor megkaphatjuk a Hold távolságát (és méretét).
Itt van egy régebbi bejegyzés, amely több részletet mutat be ezekből a mérésekből. Talán már látod a problémát ezzel a módszerrel. Ha a méréseid hibásak a Föld méretét illetően, akkor minden más is hibás. A görögök Nap távolságának meghatározása nem volt túl pontos.
A Föld-Nap távolság meghatározásának jobb módja a Vénusz-átvonulás. Ennek során a Vénusz a Föld és a Nap között halad át. Ha a Föld különböző pontjairól megmérjük a kezdő és a befejező időpontot, akkor megkaphatjuk a Föld-Nap távolság értékét. Íme egy példa modern adatokkal.
A Szaturnusztávolság meghatározásának fenti módjai azért tetszenek, mert elméletileg magad is meg tudod csinálni. Persze vannak még jobb (pontosabb) módszerek is, de a lényeg az, hogy valóban meg tudnád találni a Szaturnusz távolságát és így a méretét is. A sugárral meg tudnád találni a térfogatot.
Tömeg
A tömeg megállapításához nem használhatjuk egyszerűen a Kepler-törvényeket. Nem, valami alapvetőbb fizikát kell használnunk. Röviden, a Szaturnusz tömegét úgy találhatjuk meg, hogy megnézzük a Szaturnusz egyik holdját. Ha ismerjük az egyik hold keringési távolságát és keringési idejét, meg tudjuk találni a tömegét. Vegyük észre, hogy ez más, mint amit fentebb a térfogat meghatározásához tettünk. Abban az esetben a Szaturnusz Nap körüli keringési idejét használtuk a távolság meghatározásához. Itt mind a távolságra, mind a hold periódusára szükségünk van.
Kezdjük néhány alapvető fizikai ismerettel. Íme egy diagram a Szaturnusz legnagyobb holdjáról, a Titánról, ahogyan kering.
A gravitációs erő függ mind a Szaturnusz és a Titán tömegétől, mind a köztük lévő távolságtól. A nagysága a következőképpen írható fel:
Ahol G éppen az egyetemes gravitációs állandó. A lendület elve azt mondja, hogy ez a gravitációs erő megváltoztatja a lendületet. Mivel ez az erő merőleges a lendületre (p), ezért az erő csak a lendület irányát változtatja meg, nem pedig a nagyságát. Kiderült, hogy a lendületelvet fel tudom írni a gravitációs erő és a Titán keringési szögsebessége alapján.
Tudom, hogy kihagytam néhány lépést, de a lényeg az, hogy van összefüggés a Szaturnusz tömege, a keringési mérete és a keringési sebessége között. Ha a szögsebesség helyett a periódust adom meg (periódus = 2π/ω), akkor meg tudom oldani a Szaturnusz tömegét.
Most már csak három dologra van szükség: G, a pálya mérete és a Titán pályájának periódusa. A periódus elég egyszerű. Csak meg kell figyelned a bolygót egy ideig egy távcsövön keresztül, és meg kell számolnod a napokat, amíg a Titán teljes kört tesz a Szaturnusz bolygó körül (kb. 16 nap). A pályaméretet sem túl nehéz megtudni. Lényegében ugyanazt csinálod ezzel is, mint a Szaturnusz méretével – használd a távolságot és a szögméretet.
A gravitációs állandót a Cavendish-kísérlettel lehet megtalálni. Alapvetően néhány kis tömeg egy forgó rúdon nagyobb álló tömegeket vonz. A rúd csavarodását megnézve meghatározható a gravitációs erő és így a G.
Ez az. Ha megvan a tömeg és a térfogat, akkor kiszámíthatod a sűrűséget. Látod, ez egyszerű.