Henger

Hengeres szakaszokSzerkesztés

Hengeres szakasz

A hengeres szakasz egy henger felületének és egy síknak a metszéspontja. Ezek általában görbék, és a síkmetszetek speciális típusai. A henger két hengerelemét tartalmazó sík által alkotott hengermetszet a párhuzamos. Egy derékszögű henger ilyen hengermetszete téglalap.

Az olyan hengermetszetet, amelyben a metsző sík metszi a henger minden elemét és merőleges rá, derékszögmetszetnek nevezzük. Ha egy henger derékszögű metszete kör, akkor a henger körhenger. Általánosabban fogalmazva, ha a henger egy derékszögű szakasza kúpszög (parabola, ellipszis, hiperbola), akkor a tömör hengert parabolikusnak, elliptikusnak, illetve hiperbolikusnak nevezzük.

Egy derékszögű körhenger hengeres szakaszai

Egy derékszögű körhenger esetében a síkok többféleképpen találkozhatnak a hengerrel. Először is olyan síkok, amelyek legfeljebb egy pontban metszik az alapot. Egy sík akkor érinti a hengert, ha egyetlen elemében találkozik a hengerrel. A derékszögű metszetek körök, az összes többi sík pedig ellipszisben metszi a hengerfelületet. Ha egy sík pontosan két pontban metszi a henger alapját, akkor az ezeket a pontokat összekötő egyenes szakasz a hengeres szakasz része. Ha egy ilyen sík két elemet tartalmaz, akkor egy téglalap a hengeres szakasza, egyébként a hengeres szakasz oldalai egy ellipszis részei. Végül, ha egy sík kettőnél több alappontot tartalmaz, akkor az egész alapot tartalmazza, és a hengeres szakasz egy kör.

Egy derékszögű körhenger esetében, amelynek hengeres szakasza ellipszis, a hengeres szakasz e excentricitása és a hengeres szakasz a félnagytengelye a henger r sugarától és a szekáns sík és a henger tengelye közötti α szögtől függ, a következő módon:

e = cos α , {\displaystyle e=\cos \alpha ,}

a = r sin α . {\displaystyle a={\frac {r}{\sin \alpha }}.}

TérfogatEdit

Ha egy körhenger alapjának sugara r és a henger magassága h, akkor a henger térfogata

V = πr2h.

Ez a képlet attól függetlenül érvényes, hogy a henger derékszögű henger-e vagy sem.

Ezt a képletet a Cavalieri elv segítségével állíthatjuk fel.

Egy tömör elliptikus henger, amelynek a és b féltengelyei az alapellipszis és h magassága

Általánosabban, ugyanezen elv alapján bármely henger térfogata az alapterület és a magasság szorzata. Például egy olyan ellipszis alakú henger, amelynek alapjának a nagytengelye, b félkisebb tengelye és h magassága van, térfogata V = Ah, ahol A az alapellipszis területe (= πab). Ez az eredmény a derékszögű elliptikus hengerekre integrálással is megkapható, ahol a henger tengelyét pozitív x-tengelynek vesszük, és A(x) = A az egyes elliptikus keresztmetszetek területe, tehát:

V = ∫ 0 h A ( x ) d x = ∫ 0 h π a b d x = π a b ∫ 0 h d x = π a b h . {\displaystyle V=\int _{0}^{h}A(x)dx=\int _{0}^{h}\pi abdx=\pi ab\int _{0}^{h}dx=\pi abh.}

Hengeres koordinátákat használva, egy derékszögű körhenger térfogata kiszámítható integrálással

= ∫ 0 h ∫ 0 2 π ∫ 0 r s d s d ϕ d z {\displaystyle =\int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}s\,\,ds\,d\phi \,dz}

= π r 2 h . {\displaystyle =\pi \,r^{2}\,h.}

FelületSzerkesztés

Ha r sugara és h magassága (magassága) van, akkor egy függőleges tengelyűre tájolt derékszögű körhenger felülete három részből áll:

• a felső alap területe: πr2
• az alsó alap területe: πr2
• az oldal területe: 2πrh

A felső és az alsó alap területe megegyezik, ezt nevezzük alapterületnek, B-nek. Az oldal területét oldalfelületnek, L-nek nevezzük.

A nyitott henger nem tartalmaz sem felső, sem alsó elemet, ezért felülete (oldalfelülete)

L = 2πrh.

A tömör derékszögű körhenger felületét mindhárom összetevő: a felső, az alsó és az oldalsó alkotóelemek összege alkotja. Felülete tehát,

A = L + 2B = 2πrh + 2πr2 = 2πr(h + r) = πd(r + h),

ahol d = 2r a kör alakú felső vagy alsó átmérője.

Adott térfogat esetén a legkisebb felületű jobb oldali körhenger h = 2r. Ezzel egyenértékű, hogy adott felület esetén a legnagyobb térfogatú derékszögű körhenger h = 2r, azaz a henger kényelmesen befér egy olyan kockába, amelynek oldalhossza = magasság ( = az alapkör átmérője).

A körhenger oldalfelülete, L, amely nem feltétlenül derékszögű henger, általánosabban a következő:

L = e × p,

ahol e egy elem hossza és p a henger derékszögű szakaszának kerülete. Ez adja az oldalfelületre vonatkozó előző képletet, ha a henger egy derékszögű körhenger.

Üreges henger

Jobb oldali kör alakú üreges henger (hengerhéj)Edit

A jobb oldali kör alakú üreges henger (vagy hengerhéj) olyan háromdimenziós terület, amelyet két azonos tengelyű jobb oldali kör alakú henger és a hengerek közös tengelyére merőleges két párhuzamos gyűrűs alap határol, mint az ábrán.

Legyen a magasság h, a belső sugár r és a külső sugár R. A térfogatot a

V = π ( R 2 – r 2 ) h = 2 π ( R + r 2 ) h ( R – r ) adja meg. {\displaystyle V=\pi (R^{2}-r^{2})h=2\pi \left({\frac {R+r}{2}}}\right)h(R-r).}

.

Egy hengeres héj térfogata tehát egyenlő 2π(átlagos sugár)(magasság)(vastagság).

A felületet, beleértve a tetejét és az alját is, a

A = 2 π ( R + r ) h + 2 π ( R 2 – r 2 ) adja . {\displaystyle A=2\pi (R+r)h+2\pi (R^{2}-r^{2}).}

.

A hengerhéjakat a forgástestek térfogatának meghatározására szolgáló általános integrációs technikában használják.

A gömbről és a hengerrőlSzerkesztés

A gömb térfogata és felülete 2/3-a a körülíró hengerének, beleértve az alapjait is

A Kr. e. 225 körül írt, e nevet viselő értekezésében Arkhimédész elérte azt az eredményt, amelyre a legbüszkébb volt, nevezetesen, hogy a gömb és az azonos magasságú és átmérőjű körülírt derékszögű körhenger közötti összefüggést kihasználva megkapta a gömb térfogatára és felületére vonatkozó képleteket. A gömb térfogata kétharmada a körülírt hengerének, felülete pedig kétharmada a hengerének (az alapokkal együtt). Mivel a hengerre vonatkozó értékek már ismertek voltak, először kapta meg a gömbre vonatkozó megfelelő értékeket. Az r sugarú gömb térfogata 4/3πr3 = 2/3 (2πr3). A gömb felülete 4πr2 = 2/3 (6πr2). Arkhimédész sírjára egy szoborszerű gömböt és egy hengert helyeztek el, az ő kérésére.