Fizika

Tanulmányi célok

A szakasz végére képes leszel:

• a foton lineáris impulzusát az energiájához vagy a hullámhosszához viszonyítani, és alkalmazni a lineáris impulzus megőrzését egyszerű folyamatokra, amelyek a fotonok kibocsátásával, elnyelésével vagy visszaverődésével járnak.
• Magyarázza el minőségileg a foton hullámhosszának megfigyelhető növekedését, és magyarázza meg a Compton-hullámhossz jelentőségét.

1. ábra. A Hale-Bopp üstökös csóvája a Naptól elfelé mutat, ami bizonyíték arra, hogy a fénynek impulzusa van. Az üstökös testéből kiáramló por alkotja ezt a csóvát. A porszemcséket a róluk visszaverődő fény taszítja el a Naptól. A kék színű ionizált gázcsóvát szintén az üstökös anyagában lévő atomokkal kölcsönhatásba lépő fotonok hozzák létre. (credit: Geoff Chester, U.S. Navy, via Wikimedia Commons)

Kapcsolatok létrehozása:

A fizika minden területén nem csak az impulzus marad meg, hanem minden típusú részecskéről kiderül, hogy rendelkezik impulzussal. Elvárjuk, hogy a tömeggel rendelkező részecskéknek is legyen impulzusuk, de most már látjuk, hogy a tömeg nélküli részecskék, köztük a fotonok is hordoznak impulzust.

2. ábra. Compton-effektusnak nevezik a foton elektron általi szóródását. Az energia és az impulzus megőrződik, ami a szórt foton esetében mindkettő csökkenését eredményezi. Ezt a hatást tanulmányozva Compton igazolta, hogy a fotonoknak van impulzusuk.

1. példa. Az elektron és a foton impulzusának összehasonlítása

1. Kalkulálja ki egy 500 nm hullámhosszúságú, látható foton impulzusát.
2. Következtesse az azonos impulzusú elektron sebességét.
3. Mi az elektron energiája, és hogyan viszonyul a foton energiájához?

Stratégia

A foton impulzusának kiszámítása a definíció egyszerű alkalmazása: p=\frac{h}{\lambda}\\. Ha azt találjuk, hogy a fotonimpulzus kicsi, akkor feltételezhetjük, hogy egy azonos impulzusú elektron nemrelativisztikus lesz, így a klasszikus képletekből könnyen megtalálhatjuk a sebességét és a kinetikus energiáját.

Megoldás az 1. részhez

A fotonimpulzust a következő egyenlet adja meg: p=\frac{h}{\lambda}\\\.

A megadott foton hullámhosszát megadva

\displaystyle{p}=\frac{6.63\times10^{-34}\text{ J }\cdot\text{ s}}{500\times10^{-9}\text{ m}}=1.33\times10^{-27}\text{ kg}\cdot\text{ m/s}\\\

A 2. rész megoldása

Mivel ez az impulzus valóban kicsi, a p = mv klasszikus kifejezéssel fogjuk megtalálni az ilyen impulzusú elektron sebességét. Ha megoldjuk v-re és felhasználjuk az elektron tömegének ismert értékét, akkor

\displaystyle{v}=\frac{p}{m}=\frac{1.33\times10^{-27}\text{ kg}\cdot\text{ m/s}}{9.11\times10^{-31}\text{ kg}}=1460\text{ m/s}\\approx1460\text{ m/s}\\\

A 3. rész megoldása

Az elektron mozgási energiája, amelyet klasszikusan \text{KE}_e=\frac{1}{2}mv^2\\\\ ad meg.

Így \text{KE}_e=\frac{1}{2}\left(9.11\times10^{-3}\text{ kg}\right)\left(1455\text{ m/s}\right)^2=9.64\times10^{-25}\text{ J}\\\.

Ezt eV-ra átszámítva \frac{1\text{ eV}}{1.602\times10^{-19}\text{ J}}\\\ megszorozva KEe = 6,02 × 10-6 eV.

A foton energiája E

E=\frac{hc}{\lambda}=\frac{1240\text{ eV}\cdot\text{ nm}}{500\text{ nm}}=2.48\text{ eV}\\,

amely körülbelül öt nagyságrenddel nagyobb.

Diszkusszió

A fotonimpulzus valóban kicsi. Még ha nagy számban is van belőlük, az általuk hordozott teljes impulzus kicsi. Egy azonos impulzusú elektron sebessége 1460 m/s, ami egyértelműen nemrelativisztikus. Egy nagyobb tömegű részecske ugyanolyan impulzussal még kisebb sebességgel rendelkezne. Ezt az a tény is alátámasztja, hogy sokkal kevesebb energiára van szükség ahhoz, hogy egy elektron ugyanolyan impulzust adjon, mint egy foton. Kvantummechanikai léptékben azonban, különösen a kis tömeggel kölcsönhatásba lépő nagy energiájú fotonok esetében, a fotonimpulzus jelentős. Még nagy léptékben is lehet hatása a fotonimpulzusnak, ha elég sok van belőlük, és ha nincs semmi, ami megakadályozná az anyag lassú visszahatását. Az üstökösök csóvája az egyik példa erre, de vannak olyan űrvitorlák építésére vonatkozó javaslatok is, amelyek hatalmas, kis tömegű tükröket használnak (alumíniumozott mirilből) a napfény visszaverésére. Az űr vákuumában a tükrök fokozatosan visszapördülnének, és ténylegesen elvihetnék az űrhajókat egyik helyről a másikra a Naprendszerben. (Lásd a 3. ábrát.)

3. ábra. (a) Olyan űrvitorlákat javasoltak, amelyek az óriási, kis tömegű vitorlákról visszaverődő napfény lendületét használják fel arra, hogy űrhajókat mozdítsanak el a Naprendszerben. Ennek egy orosz tesztmodelljét (a Kozmosz 1) 2005-ben indították el, de a rakéta meghibásodása miatt nem jutott pályára. (b) Ennek LightSail-1 elnevezésű amerikai változatát a tervek szerint az évtized első felében fogják próbakilövésre bocsátani. Ennek 40 négyzetméteres vitorlája lesz. (credit: Kim Newton/NASA)

Fotódetektorok

Majdnem minden eddig tárgyalt detektáló rendszer – szemek, fényképészeti lemezek, mikroszkópok fotomultiplier csövei és CCD kamerák – az érzékeny területtel kölcsönhatásba lépő fotonok részecske-szerű tulajdonságaira támaszkodik. Változást idéznek elő, és vagy a változás kaszkádszerűen történik, vagy pontok zillióit rögzítik, hogy egy általunk érzékelt képet alkossanak. Ezeket a detektorokat használják az orvosbiológiai képalkotó rendszerekben, és folyamatosan kutatják a fotonok fogadásának hatékonyságát, különösen a detektáló rendszerek hűtésével és a hőhatások csökkentésével.

2. példa. Foton energia és impulzus

Mutassuk meg, hogy p=\frac{E}{c}\\\ az 1. példában vizsgált fotonra.

Stratégia

Vegyük az 1. példában talált E energiát, osszuk el a fénysebességgel, és nézzük meg, hogy ugyanazt az impulzust kapjuk-e, mint korábban.

megoldás

Mivel a foton energiája 2,48 eV, és ezt joule-ra átszámítva megkapjuk

p=\frac{E}{c}=\frac{\left(2.48\text{ eV}\right)\left(1.60\times10^{-16}\text{ J/eV}\right)}{3.00\times10^8\text{ m/s}}=1.33\times10^{-27}\text{ kg }\cdot\text{ m/s}\\\

Discussion

A lendületnek ez az értéke megegyezik a korábban talált értékkel (megjegyzendő, hogy minden számításban kerekítetlen értékeket használunk, hogy elkerüljük a kis kerekítési hibákat is), ami a p=\frac{E}{c}\\\ összefüggés várható igazolása. Ez azt is jelenti, hogy az E2 = (pc)2 + (mc)2 által megadott energia, impulzus és tömeg közötti kapcsolat mind az anyagra, mind a fotonokra érvényes. Ismét megjegyezzük, hogy p nem nulla, még akkor sem, ha m az.

Problémamegoldási javaslat

Megjegyezzük, hogy a h = 4,14 × 10-15 eV ⋅ s és hc = 1240 eV ⋅ nm állandók formái különösen hasznosak lehetnek e szakasz feladataihoz és gyakorlataihoz.

Fogalmi kérdések

1. Melyik képlet használható minden részecske impulzusára, tömeggel vagy anélkül?
2. Mérhető különbség van a foton és az anyag impulzusa között?
3. Miért nem érezzük a napfény impulzusát, amikor a tengerparton vagyunk?

Problémák & Gyakorlatok

1. (a) Határozzuk meg egy 4,00 cm hullámhosszú mikrohullámú foton impulzusát. (b) Beszéljétek meg, miért várjátok, hogy az (a) pontra adott válasz nagyon kicsi lesz.
2. (a) Mekkora egy 0,0100 nm hullámhosszúságú foton impulzusa, amellyel egy atom részleteit lehetne érzékelni? (b) Mekkora az energiája MeV-ban kifejezve?
3. (a) Mekkora egy olyan foton hullámhossza, amelynek impulzusa 5,00 × 10-29 kg – m/s? (b) Határozza meg az energiáját eV-ban.
4. (a) Egy γ-sugaras foton impulzusa 8,00 × 10-21 kg – m/s. Mekkora a hullámhossza? (b) Számítsuk ki az energiáját MeV-ban.
5. (a) Számítsuk ki egy 2,50 μm hullámhosszúságú foton impulzusát. (b) Határozza meg egy ugyanilyen impulzussal rendelkező elektron sebességét. (c) Mekkora az elektron mozgási energiája, és hogyan viszonyul a foton mozgási energiájához?
6. Ismételjük meg az előző feladatot egy 10,0 nm hullámhosszú fotonra.
7. (a) Számítsuk ki egy olyan foton hullámhosszát, amelynek a fénysebesség 1,00%-ával mozgó proton lendületével megegyező az impulzusa. (b) Mekkora a foton energiája MeV-ban kifejezve? (c) Mekkora a proton mozgási energiája MeV-ban?
8. (a) Határozza meg egy 100 keV-os röntgenfoton impulzusát! (b) Határozza meg az azonos impulzusú neutron ekvivalens sebességét. (c) Mekkora a neutron mozgási energiája keV-ban?
9. Vegyük a relativisztikus nyugalmi energia, E = γmc2, és a relativisztikus impulzus, p = γmu, arányát, és mutassuk meg, hogy abban a határértékben, amikor a tömeg a nullához közelít, \frac{E}{p}=c\\\.
10. Konstruáljunk saját feladatot. Tekintsünk egy olyan űrvitorlát, mint amilyet az 1. példában említettünk. Állítson össze egy feladatot, amelyben kiszámítja a napfény visszaverődése által a vitorlára gyakorolt fénynyomást N/m2 -ben. Számítsd ki a keletkező erőt is, és azt, hogy ez mekkora hatással lenne az űrhajóra. A figyelembe veendő dolgok között szerepel a napfény intenzitása, átlagos hullámhossza, az ebből adódó négyzetméterenkénti fotonok száma, az űrvitorla területe és a felgyorsított rendszer tömege.
11. Ésszerűtlen eredmények. Egy autó a fényszóróiból kibocsátott fény hatására egy kis erőt érez, ami egyenlő a fény impulzusának és a kibocsátási időnek a hányadosával. (a) Számítsuk ki az egyes fényszórók erejét, ha azok összesen 2,00 × 10-2 N erőt gyakorolnak hátrafelé az autóra. (b) Mi az ésszerűtlen ebben az eredményben? (c) Mely feltételezések ésszerűtlenek vagy következetlenek?

Válogatott feladatmegoldások & Gyakorlatok

1. (a) 1,66 × 10-32 kg ⋅ m/s; (b) A mikrohullámú fotonok hullámhossza nagy, ezért az általuk szállított impulzus nagyon kicsi

3. (a) 13,3 μm; (b) 9,38 × 10-2 eV

5. (a) 2,65 × 10-28 kg – m/s; (b) 291 m/s; (c) elektron 3,86 × 10-26 J, foton 7,96 × 10-20 J, hányados 2,06 × 106

7. (a) 1,32 × 10-13 m; (b) 9,39 MeV; (c) 4,70 × 10-2 MeV

9. E = γmc2 és P = γmu, tehát

\displaystyle\frac{E}{P}=\frac{{\gamma{mc}}^{2}}{\gamma{mu}}=\frac{c^2}{u}\\\

Amint a részecske tömege a nullához közelít, sebessége u közelíteni fog c-hez , így az energia és a lendület aránya ebben a határértékben

\displaystyle\lim_{m\to0}\frac{E}{P}=\frac{{{c}^{2}}}{c}=c\\\

amely összhangban van a foton energiájának egyenletével.

11. (a) 3,00 × 106 W; (b) A fényszórók túl fényesek; (c) Az erő túl nagy.