Mobil értesítés megjelenítése Minden jegyzet megjelenítése Minden jegyzet elrejtése
7-7. szakasz : A végtelen típusai
A legtöbb diák a számtanórák előtt valamikor már találkozott a végtelennel. Amikor azonban már foglalkoztak vele, akkor csak egy nagyon-nagyon nagy pozitív vagy nagyon-nagyon nagy negatív szám jelölésére használt szimbólum volt, és ennyi volt a dolog. Amint bekerülnek a matematikaórára, a diákoknak alapvető algebrai feladatokat kell megoldaniuk a végtelennel, és itt kerülnek bajba. A végtelen NEM egy szám, és többnyire nem is viselkedik úgy, mint egy szám. Ennek ellenére ebben a fejezetben a végtelenre úgy fogunk gondolni, mint egy nagyon-nagyon-nagyon-nagyon nagy számra, amely olyan nagy, hogy nincs nála nagyobb szám. Ez természetesen nem helyes, de segíthet az ebben a szakaszban folytatott vitában. Vegyük észre azt is, hogy mindaz, amit ebben a szakaszban tárgyalni fogunk, csak a valós számokra vonatkozik. Ha például áttérünk a komplex számokra, a dolgok megváltozhatnak, és meg is változnak.
Ezért kezdjünk el gondolkodni az összeadásról a végtelennel. Ha két nem nulla számot összeadunk, akkor egy új számot kapunk. Például \(4 + 7 = 11\). A végtelennel ez nem igaz. A végtelennel a következőket kapjuk.
\
Más szóval, egy nagyon-nagyon nagy pozitív szám (\(\(\infty \)) plusz bármely pozitív szám, függetlenül a nagyságától, még mindig nagyon-nagyon nagy pozitív szám. Hasonlóképpen, egy nagyon-nagyon nagy pozitív számhoz hozzáadhatunk egy negatív számot (azaz \(a < 0\)), és az nagyon-nagyon nagy és pozitív marad. Tehát a végtelenséget érintő összeadás intuitív módon kezelhető, ha óvatosak vagyunk. Figyeljük meg azt is, hogy az \(a\) NEM lehet negatív végtelen. Ha az, akkor van néhány komoly probléma, amivel foglalkoznunk kell, ahogy azt mindjárt látni fogjuk.
A negatív végtelennel való kivonás is intuitív módon kezelhető a legtöbb esetben. Egy nagyon-nagyon nagy negatív szám mínusz bármilyen pozitív szám, függetlenül annak nagyságától, még mindig egy nagyon-nagyon nagy negatív szám. Ha egy nagyon-nagy negatív számot kivonunk (azaz \(a < 0\)) egy nagyon-nagy negatív számból, az még mindig egy nagyon-nagy negatív szám marad. Vagy,
\
Az \(a\) nem lehet negatív végtelen, hogy elkerüljünk néhány potenciálisan komoly nehézséget.
A szorzás is elég intuitívan kezelhető. Egy nagyon-nagy szám (pozitív, vagy negatív) szorozva bármilyen számmal, függetlenül a nagyságától, még mindig nagyon-nagy szám, csak a jelekkel kell vigyáznunk. A szorzás esetében
\
Az, amit a pozitív és negatív számok szorzatáról tudunk, itt is igaz.
Az osztás egyes formái is intuitívan kezelhetők. Egy nagyon-nagy szám osztva egy nem túl nagy számmal még mindig nagyon-nagy szám.
\
A szám osztása a végtelennel némileg intuitív, de van néhány finomság, amivel tisztában kell lennünk. Amikor a végtelennel való osztásról beszélünk, akkor valójában egy olyan korlátozó folyamatról beszélünk, amelyben a nevező a végtelen felé halad. Tehát egy szám, amely nem túl nagy, osztva egy egyre nagyobb számot, egyre kisebb számot jelent. Más szavakkal, a határértékben van,
\
Szóval, szinte minden alapvető algebrai művelettel foglalkoztunk, ami a végtelennel kapcsolatos. Van két olyan eset, amivel még nem foglalkoztunk. Ezek a következők:
\
A probléma ezzel a két esettel az, hogy az intuíció itt nem igazán segít. Egy nagyon-nagy szám mínusz egy nagyon-nagy szám lehet bármi (\( – \infty \), egy konstans, vagy \(\infty \)). Hasonlóképpen, egy nagyon-nagy szám osztva egy nagyon-nagy számmal szintén lehet bármi (\( \pm \infty \) – ez az előjelkérdésektől függ, 0, vagy egy nem nulla konstans).
Azt kell megjegyeznünk, hogy vannak nagyon-nagy számok és vannak nagyon-nagyon-nagy számok. Más szóval, egyes végtelenek nagyobbak, mint más végtelenek. Az összeadás, a szorzás és az osztás első csoportjainál, amelyekkel dolgoztunk, ez nem volt probléma. A végtelen általános mérete egyszerűen nem befolyásolja a választ ezekben az esetekben. A fentebb felsorolt kivonási és osztási eseteknél azonban igenis számít, amint azt látni fogjuk.
Az egyik módja annak, hogy elgondolkodjunk ezen az elképzelésen, miszerint egyes végtelenek nagyobbak, mint mások. Ez egy meglehetősen száraz és technikai módja ennek a gondolkodásnak, és a matematikai problémáidban valószínűleg soha nem fogod használni ezt a dolgot, de ez egy szép módja a szemléletnek. Továbbá kérlek, vedd figyelembe, hogy itt nem próbálok pontos bizonyítékot adni semmire. Csak egy kis betekintést próbálok nyújtani a végtelenséggel kapcsolatos problémákba, és abba, hogy egyes végtelenségeket hogyan lehet nagyobbnak gondolni, mint másokat. Egy sokkal jobb (és mindenképpen pontosabb) értekezést lásd,
http://www.math.vanderbilt.edu/~schectex/courses/infinity.pdf
Kezdjük azzal, hogy megnézzük, hány egész szám van. Nyilvánvaló, remélem, hogy végtelen sok van belőlük, de próbáljuk meg jobban megragadni ennek a végtelenségnek a “méretét”. Válasszunk tehát teljesen véletlenszerűen két tetszőleges egész számot. Kezdjük a kettő közül a kisebbiknél, és soroljuk fel növekvő sorrendben az utána következő egész számokat. Végül eljutunk a két választott egész szám közül a nagyobbikhoz.
A két egész szám relatív méretétől függően nagyon-nagyon sokáig tarthat az összes köztük lévő egész szám felsorolása, és nem igazán van értelme ezt megtenni. De meg lehetne csinálni, ha akarnánk, és ez a fontos része.
Mert mivel két véletlenszerűen kiválasztott egész szám között fel tudnánk sorolni az összes egész számot, azt mondjuk, hogy az egész számok megszámlálhatóan végtelenek. Ismétlem, nincs valódi okunk arra, hogy ezt ténylegesen megtegyük, ez egyszerűen olyasmi, amit megtehetünk, ha úgy döntünk, hogy megtesszük.
A számok egy halmazát általában megszámlálhatóan végtelennek nevezzük, ha találunk módot arra, hogy mindet felsoroljuk. Pontosabb matematikai környezetben ezt általában egy bijekciónak nevezett speciális függvénytípussal érjük el, amely a halmaz minden egyes számát pontosan egy pozitív egész számhoz társítja. Ennek további részleteit lásd a fent megadott pdf-ben.
Azt is meg lehet mutatni, hogy az összes tört halmaza szintén megszámlálhatóan végtelen, bár ezt egy kicsit nehezebb megmutatni, és nem is célja ennek a beszélgetésnek. Ennek bizonyítását lásd a fent megadott pdf-ben. Ez egy nagyon szép bizonyítást tartalmaz erre a tényre.
Ezzel szemben próbáljuk meg kitalálni, hogy hány szám van az \( \left(0,1\right) \) intervallumban. Számok alatt az összes lehetséges törtet értem, ami nulla és egy között van, valamint az összes lehetséges tizedes számot (ami nem tört), ami nulla és egy között van. A következő hasonló a fenti pdf-ben található bizonyításhoz, de elég szép és egyszerű volt (remélem) ahhoz, hogy ide is beillesszem.
Kezdésként tegyük fel, hogy az \( \left(0,1\right) \) intervallumban lévő összes szám megszámlálhatóan végtelen. Ez azt jelenti, hogy léteznie kell egy módnak arra, hogy mindegyiket felsoroljuk. Valami ilyesmi lehet a következő,
\
Most válasszuk ki az \(i\)-edik tizedesjegyet az \({x_i}\)-ből az alábbiak szerint
\
és alkossunk egy új számot ezekből a számjegyekből. Tehát a példánkban a szám
\
Az új tizedesjegyben az összes 3-ast 1-esre cseréljük, és minden más számot 3-asra cserélünk. A példánk esetében ez az új számot
\
eredményezné.Vegyük észre, hogy ez a szám a \( \left(0,1\right) \) intervallumban van, és vegyük észre azt is, hogy a szám szám számjegyeinek megválasztásával ez a szám nem lesz egyenlő a listánk első számával, \({x_1}\), mert az első számjegyük garantáltan nem azonos. Hasonlóképpen, ez az új szám nem lesz azonos a listánk második számával, \({x_2}\), mert mindegyiknek a második számjegye garantáltan nem azonos. Ha így folytatjuk, láthatjuk, hogy ez az általunk konstruált új szám, \(\overline x \), garantáltan nem szerepel a listánkon. Ez azonban ellentmond annak a kezdeti feltételezésnek, hogy az \( \left(0,1\right) \) intervallumban lévő összes számot fel tudjuk sorolni. Ezért nem lehet felsorolni az \( \left(0,1\right) \) intervallum összes számát.
Azokat a számhalmazokat, például az \( \left(0,1\right) \) intervallum összes számát, amelyeket nem tudunk felsorolásba foglalni, megszámlálhatatlanul végtelennek nevezzük.
Az ok, amiért ezt végigvesszük, a következő. Egy megszámlálhatatlanul végtelen végtelen lényegesen nagyobb, mint egy csak megszámlálhatóan végtelen végtelen. Ha tehát két végtelenség különbségét vesszük, akkor több lehetőségünk is van.
\
Megjegyezzük, hogy nem két azonos típusú végtelenség különbségét írtuk le. A kontextustól függően még mindig lehet némi kétértelműség azzal kapcsolatban, hogy ebben az esetben mi lenne a válasz, de ez egy teljesen más téma.
A végtelen számok kvótájára is tehetünk valami hasonlót.
\
Még itt is elkerültük két azonos típusú végtelen szám hányadosát, mivel – ismét a kontextustól függően – még mindig lehet kétértelműség az értékével kapcsolatban.
Szóval, ennyi, és reméljük, hogy tanultál valamit ebből a beszélgetésből. A végtelen egyszerűen nem szám, és mivel a végtelennek különböző fajtái vannak, általában nem úgy viselkedik, mint egy szám. Légy óvatos, amikor a végtelennel foglalkozol.