Edellisessä viestissäni kelluvasta Saturnuksesta vihjasin, että voisin kirjoittaa menetelmistä, joilla voimme löytää Saturnuksen tiheyden. Niin, ja vielä kerran, Saturnuksen tiheys on pienempi kuin veden tiheys Maassa – mutta se ei kelluisi.
Muistutukseksi, määrittelemme tiheyden seuraavasti:
Tämä tarkoittaa sitä, että meidän täytyy oikeastaan määrittää kaksi asiaa. Ensinnäkin tarvitsemme Saturnuksen massan. Toiseksi tarvitsemme tilavuuden. Voimme saada tilavuuden, jos tiedämme Saturnuksen säteen.
Tilavuus
Teknisesti Saturnus ei ole täydellisen pallomainen. Etäisyys keskipisteestä päiväntasaajalle on suurempi kuin etäisyys keskipisteestä navalle. Tämä johtuu siitä, että Saturnus pyörii eikä se ole jäykkä kappale. Ajattele pyörivää pizzataikinaa – sama juttu, paitsi että se on Saturnus. Voit itse asiassa mitata sekä napa- että päiväntasaajan säteen käyttämällä samaa ajatusta – mutta aion vain teeskennellä, että Saturnus on pallo.
Jos se on pallo, niin tilavuus olisi:
Mutta miten saat säteen (tai halkaisijan). Ensimmäinen askel on tarkastella kulmakokoa. Jos tiedät kohteen kulmakoon ja etäisyyden kyseiseen kohteeseen, voit löytää koon. Tässä on kuva, jota olen käyttänyt useita kertoja ja joka osoittaa tämän suhteen.
Jos siis kohde on tarpeeksi kaukana tai tarpeeksi pieni, korkeus (tai pituus) on suunnilleen sellaisen ympyrän kaaren pituus, jonka säde on sama kuin etäisyys. Esineen koko on vain kulmakerroin kerrottuna esineen etäisyydellä.
Mutta miten kulmakerroin edes mitataan? No, jos sinulla on kuva, sinun on tiedettävä kamerasi kulmakoko – tein tämän kokeellisesti iPhonella. Aikoinaan ennen kameroita saattoi vain käyttää kaukoputkea. Ei ole kovin vaikeaa mitata kulmakokoa objektiivilla. Täytyy vain määrittää objektiivin kulmanäkökenttä ja sitten laittaa sinne jotain merkintöjä, jotta voi arvioida kentän osuuden kohteen kulmakokoa varten.
Tämä on hieno juttu, mutta riippuu jostain melko tärkeästä asiasta. Kuinka kaukana Saturnus on? Tässä kohtaa Johannes Kepler astuu kuvaan mukaan. Käytettävissä olevien tietojen avulla Kepler keksi kolme mallia kappaleiden liikkeelle aurinkokunnassa.
- Kappaleen rata aurinkokunnassa on ellipsi, jonka polttopisteessä on Aurinko.
- Kun kappale liikkuu lähemmäs Aurinkoa, se kulkee nopeammin. Kepler meni vielä pidemmälle ja sanoi, että tietyllä aikaväliajalla kappale pyyhkäisee saman alueen riippumatta siitä, missä kohtaa kiertorataa se on.
- Kiertoradan kesto on verrannollinen kiertoradan etäisyyteen (semi-major-akseli). Itse asiassa jakson neliö on verrannollinen (mutta ei yhtä suuri) semi-major-akselin kuutioon.
Keplerin lait planeettojen liikkeestä eivät ole uutta fysiikkaa. Halutessasi voisit saada saman lakisarjan käyttämällä momenttiperiaatetta ja gravitaatiovoimaa, joka on verrannollinen yhteen etäisyyden neliöllä. Lait kuitenkin toimivat, ja juuri viimeinen laki on tässä hyödyllinen. Jos tiedän Saturnuksen ja Maan kiertoradan jakson, voin kirjoittaa:
T on yleinen fysiikan symboli jaksolle, eikä aikayksiköillä ole väliä. Suhteellisuusvakio, k kumoaa, kun jaan yhden yhtälön toisella. Lopulta minulla on lauseke Saturnuksen semi-suurakselille. Jos Saturnus olisi ympyränmuotoisella radalla, tämä olisi säde ja etäisyys Auringosta. Minulla ei kuitenkaan ole tietoa etäisyydestä Maasta Saturnukseen. Voin saada etäisyyden Saturnukseen Auringon ja Maan välisen etäisyyden avulla. Helpottaaksemme asiaa kutsumme tätä Maan ja Auringon välistä etäisyyttä 1 astronomiseksi yksiköksi (AU). Se on hienoa, mutta jos käytän tätä yksikköä (AU) Saturnuksen koon määrittämiseen, saan tiheyden oudoissa yksiköissä – kg/AU3. Jotta voisimme verrata Saturnuksen tiheyttä veteen, tarvitsemme etäisyyden jossakin käyttökelpoisessa yksikössä – kuten metreinä tai ehkä metreinä.
Miten löydät 1 AU:n arvon metreinä? On olemassa useita tapoja. Yksi tapa löytää tämä etäisyys on kreikkalainen tapa. Kyllä, kreikkalaiset tähtitieteilijät tekivät tämän joskus 500 eaa. tienoilla. Tässä on lyhyt versio siitä, miten he tekivät sen:
- Käyttäkää varjoja eri paikoissa maapallolla Maan säteen määrittämiseksi.
- Asettakaa, että kuu liikkuu ympyrää maapallon ympäri. Määritä lasketun sijainnin (joka perustuu Maan keskipisteeseen) ja todellisen sijainnin (mitattuna maan pinnalta) välinen ero kuun etäisyyden (ja koon) määrittämiseksi.
- Mittakaa Auringon ja kuun välinen kulma, kun kuun vaihe on neljännes. Tämä muodostaa suorakulmaisen kolmion. Kun etäisyys Maasta Kuuhun on jo tiedossa, voit saada Kuun etäisyyden (ja koon).
Tässä on vanhempi viesti, jossa näytetään enemmän yksityiskohtia näistä mittauksista. Ehkä näet jo tämän menetelmän ongelman. Jos mittauksesi ovat pielessä Maan koon osalta, niin silloin kaikki muukin on pielessä. Kreikkalaisten määritys Auringon etäisyydestä ei ollut kovin tarkka.
Parempi tapa saada Maan ja Auringon välinen etäisyys on käyttää Venuksen kauttakulkua. Tämän tapahtuman aikana Venus kulkee Maan ja Auringon välistä. Jos mittaat alku- ja loppuajan eri paikoista maapallolla, voit saada arvon Maan ja Auringon väliselle etäisyydelle. Tässä on esimerkki nykyaikaisilla tiedoilla.
Pidän edellä mainituista tavoista löytää Saturnuksen etäisyys, koska teoriassa voisit tehdä sen itse. Toki on olemassa vielä parempia (tarkempia) tapoja, mutta pointti on se, että voisit tosiaan löytää etäisyyden Saturnukseen ja siten sen koon. Säteen avulla voisit löytää tilavuuden.
Massa
Massan löytämiseen ei voi käyttää vain Keplerin lakeja. Ei, meidän on käytettävä jotain perustavampaa fysiikkaa. Lyhyesti sanottuna voimme löytää Saturnuksen massan katsomalla yhtä Saturnuksen kuista. Jos tiedämme yhden kuun kiertoradan etäisyyden ja kiertoaikajakson, voimme selvittää sen massan. Huomaa, että tämä on eri asia kuin se, mitä teimme edellä tilavuuden löytämiseksi. Siinä tapauksessa käytimme etäisyyden määrittämiseen Saturnuksen kiertoaikaa sen liikkuessa Auringon ympäri. Tässä tarvitsemme sekä etäisyyden että kuun jakson.
Aloitetaan fysiikan perusasioista. Tässä on kaavio Saturnuksen suurimman kuun Titanin kiertoradasta.
Gravitaatiovoima riippuu sekä Saturnuksen ja Titanin massasta että niiden välisestä etäisyydestä. Voiman suuruus voidaan kirjoittaa seuraavasti:
Jossa G on vain yleinen gravitaatiovakio. Momenttiperiaate sanoo, että tämä gravitaatiovoima muuttaa momenttia. Koska tämä voima on kohtisuorassa momenttiin (p) nähden, niin voima muuttaa vain momentin suuntaa eikä suuruutta. Kävi ilmi, että voin kirjoittaa momentumperiaatteen gravitaatiovoiman ja Titanin kiertoradan kulmanopeuden avulla.
Tiedän, että ohitin joitain vaiheita, mutta pointtina on se, että Saturnuksen massan, kiertoradan koon ja kiertonopeuden välillä on suhde. Jos laitan kulmanopeuden sijasta jakson (jakso = 2π/ω), voin ratkaista Saturnuksen massan.
Nyt tarvitaan vain kolme asiaa: G, radan koko ja Titanin radan jakso. Periodi on melko helppo. Sinun tarvitsee vain tarkkailla planeettaa kaukoputkella jonkin aikaa ja laskea päivät, kunnes Titan tekee täydellisen matkan Saturnus-planeetan ympäri (noin 16 päivää). Kiertoradan kokoa ei myöskään ole kovin vaikea saada selville. Pohjimmiltaan teet tälle saman kuin Saturnuksen koolle – käytät etäisyyttä ja kulmakokoa.
Gravitaatiovakio löytyy Cavendishin kokeella. Periaatteessa jotkut pienet massat pyörivällä tangolla vetävät puoleensa suurempia paikallaan olevia massoja. Katsomalla tangon kiertymää voidaan määrittää gravitaatiovoima ja siten G.
Ja siinä se. Kun sinulla on massa ja tilavuus, voit laskea tiheyden. Näetkö, se on yksinkertaista.