LieriöleikkauksetEdit
Lieriöleikkaus on sylinterin pinnan ja tason leikkauspiste. Ne ovat yleensä käyriä ja ovat tasoleikkausten erikoistyyppejä. Kaksi sylinterin elementtiä sisältävän tason muodostama sylinterileikkaus on parallelogrammi. Tällainen suoran sylinterin lieriöleikkaus on suorakulmio.
Lieriöleikkausta, jossa leikkaava taso leikkaa kaikki sylinterin elementit ja on kohtisuorassa niitä vastaan, kutsutaan suoraksi leikkaukseksi. Jos sylinterin oikea leikkaus on ympyrä, niin sylinteri on ympyräsylinteri. Yleisemmin, jos sylinterin oikea poikkileikkaus on kartiomainen poikkileikkaus (paraabeli, ellipsi, hyperbeli), sanotaan, että kiinteä sylinteri on parabolinen, elliptinen ja hyperbolinen.
Oikeaoppisen ympyräsylinterin kohdalla tasot voivat osua sylinteriin usealla eri tavalla. Ensinnäkin tasot, jotka leikkaavat pohjan korkeintaan yhdessä pisteessä. Taso on sylinterin tangentti, jos se kohtaa sylinterin yhdessä elementissä. Oikeat leikkaukset ovat ympyröitä ja kaikki muut tasot leikkaavat lieriön pinnan ellipsissä. Jos taso leikkaa sylinterin pohjan täsmälleen kahdessa pisteessä, näitä pisteitä yhdistävä suoran osa on osa sylinterin leikkausta. Jos tällaisessa tasossa on kaksi elementtiä, se on suorakulmio lieriön leikkauksena, muuten lieriön leikkauksen sivut ovat ellipsin osia. Lopuksi, jos tasossa on enemmän kuin kaksi peruslohkon pistettä, se sisältää koko peruslohkon ja sylinterileikkaus on ympyrä.
Tapauksessa, jossa oikeanpuoleisen ympyränmuotoisen sylinterin sylinterileikkaus on ellipsi, sylinterileikkauksen eksentrisyys e ja sylinterileikkauksen puolittainen pääakseli a riippuvat sylinterin säteestä r ja sekanttitason ja sylinterin akselin välisestä kulmasta α seuraavalla tavalla:
e = cos α ,
a = r sin α . {\displaystyle a={\frac {r}{\sin \alpha }.}
TilavuusEdit
Jos ympyränmuotoisen sylinterin pohjan säde on r ja sylinterin korkeus h, niin sen tilavuus saadaan
V = πr2h.
Tämä kaava pätee riippumatta siitä, onko sylinteri suorakulmainen sylinteri vai ei.
Tämä kaava voidaan todeta käyttämällä Cavalierin periaatetta.
Yleisemmällä tasolla saman periaatteen mukaan minkä tahansa sylinterin tilavuus on pohjan pinta-alan ja korkeuden tulo. Esimerkiksi elliptisen sylinterin, jonka pohjalla on puolisuurakseli a, puolisuurakseli b ja korkeus h, tilavuus on V = Ah, missä A on pohjan ellipsin pinta-ala (= πab). Tämä tulos oikealle elliptiselle sylinterille saadaan myös integroimalla, jolloin sylinterin akseliksi otetaan positiivinen x-akseli ja A(x) = A kunkin elliptisen poikkileikkauksen pinta-ala, jolloin:
V = ∫ 0 h A ( x ) d x = ∫ 0 h π a b d x = π a b ∫ 0 h d x = π a b h . {\displaystyle V=\int _{0}^{h}A(x)dx=\int _{0}^{h}\pi abdx=\pi ab\int _{0}^{h}dx=\pi abh.}
Käytetään sylinterikoordinaatteja, oikean ympyränmuotoisen sylinterin tilavuus voidaan laskea integroimalla yli
= ∫ 0 h ∫ 0 2 π ∫ 0 r s d s d ϕ d z {\displaystyle =\int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}s\,\,ds\,d\phi \,dz}
= π r 2 h . {\displaystyle =\pi \,r^{2}\,h.}
Pinta-alaMuokkaa
Säteen r ja korkeuden (korkeuden) h omaavan suoran ympyränmuotoisen sylinterin, joka on suunnattu siten, että sen akseli on pystysuorassa, pinta-ala muodostuu kolmesta osasta:
- yläpohjan pinta-ala: πr2
- alapohjan pinta-ala: πr2
- sivun pinta-ala: 2πrh
Ylä- ja alapohjan pinta-ala on sama, ja sitä sanotaan pohjapinta-alaksi, B. Sivun pinta-alaa kutsutaan sivupinta-alaksi, L.
Avoin sylinteri ei sisällä ylä- eikä alaosia, joten sen pinta-ala (sivupinta-ala)
L = 2πrh.
Ympyränmuotoisen oikeanpuoleisen umpisuoran sylinterin pinta-ala muodostuu kaikkien kolmen komponentin: ylä-, ala- ja sivukomponenttien summasta. Sen pinta-ala on siis,
A = L + 2B = 2πrh + 2πr2 = 2πr(h + r) = πd(r + h),
joissa d = 2r on ympyrän ylä- tai alapuolen halkaisija.
Tietyn tilavuuden kannalta oikeanmuotoisen ympyräsylinterin, jonka pinta-ala on pienin, pinta-ala on h = 2r. Vastaavasti tietyllä pinta-alalla suurimman tilavuuden omaavalla oikeanpuoleisella ympyräsylinterillä on h = 2r, eli sylinteri mahtuu hyvin kuutioon, jonka sivun pituus = korkeus ( = perusympyrän halkaisija).
Ympyränmuotoisen sylinterin, jonka ei tarvitse olla oikeanpuoleinen sylinteri, sivupinta-ala L saadaan yleisemminkin kaavalla:
L = e × p,
missä e on elementin pituus ja p sylinterin oikeanpuoleisen poikkileikkauksen ympärys. Näin saadaan edellinen kaava sivupinta-alalle, kun sylinteri on suorakulmainen ympyräsylinteri.
Suoraan ympyränmuotoinen ontto sylinteri (sylinterikuori)Edit
Suoraan ympyränmuotoinen ontto sylinteri (tai sylinterikuori) on kahden suoran ympyränmuotoisen, saman akselin omaavan ympyränmuotoisen sylinterin ja kahden samansuuntaisen rengasmaisen pohjapisteen, joka on kohtisuorassa sylinterien yhteiseen akseliin verrattuna, rajama kolmioalue, niin kuin kuviossa.
Olkoon korkeus h, sisäsäde r ja ulkosäde R. Tilavuus saadaan
V = π ( R 2 – r 2 ) h = 2 π ( R + r 2 ) h ( R – r ) . {\displaystyle V=\pi (R^{2}-r^{2})h=2\pi \left({\frac {R+r}{2}}}\right)h(R-r).}
.
Siten sylinterimäisen kuoren tilavuus on yhtä suuri kuin 2π(keskisäde)(korkeus)(paksuus).
Pinta-ala, mukaan lukien ylä- ja alaosa, saadaan
A = 2 π ( R + r ) h + 2 π ( R 2 – r 2 ) . {\displaystyle A=2\pi (R+r)h+2\pi (R^{2}-r^{2}).}
.
Lieriökuoria käytetään yleisessä integrointitekniikassa kiertokappaleiden tilavuuksien löytämiseksi.
Pallosta ja sylinteristäEdit
Nimimerkillä varustetussa, n. 225 eaa. kirjoitetussa tutkielmassa Arkhimedes sai aikaan tuloksen, josta hän oli eniten ylpeä, nimittäin pallon tilavuuden ja pinta-alan kaavojen saamisen hyödyntämällä pallon ja sen ympärille piirretyn oikeanmuotoisen ympyränmuotoisen sylinterin, jolla on sama korkeus ja halkaisija, välistä suhdetta. Pallon tilavuus on kaksi kolmasosaa ympyröidyn sylinterin tilavuudesta ja pinta-ala kaksi kolmasosaa sylinterin pinta-alasta (pohjat mukaan lukien). Koska sylinterin arvot olivat jo tiedossa, hän sai ensimmäistä kertaa vastaavat arvot pallolle. Pallon, jonka säde on r, tilavuus on 4/3πr3 = 2/3 (2πr3). Tämän pallon pinta-ala on 4πr2 = 2/3 (6πr2). Arkhimedeen haudalle asetettiin hänen pyynnöstään veistetty pallo ja sylinteri.