Tässä jaksossa peruskonstruktio on pistetuotto, joka mittaa vektoreiden välisiä kulmia ja laskee vektorin pituuden.
Esimerkiksi,
Huomaa, että kahden vektorin pistetuotto on skalaari.
Voit tehdä aritmeettisia laskutoimituksia pistepotentiaalilla enimmäkseen tavalliseen tapaan, kunhan muistat, että voit vain pisteyttää kaksi vektoria yhteen ja että tulos on skalaari.
Pistepotentiaalin ominaisuudet
Olkoot x,y,z vektorit Rn:ssä ja olkoon c skalaari.
- Kommutatiivisuus: x-y=y-x.
- Distributiivisuus yhteenlaskun kanssa: (x+y)-z=x-z+y-z.
- Distributiivisuus skalaarisella kertolaskulla: (cx)-y=c(x-y).
Vektorin pistetuotto itsensä kanssa on tärkeä erikoistapaus:
Siten mille tahansa vektorille x on:
- x-x≥0
- x-x=0⇐⇒x=0.
Tästä seuraa hyvä pituuden määritelmä.
Fakta
Vektorin x pituus Rn:ssä on luku
On helppo nähdä, miksi tämä pätee R2:ssa oleville vektoreille Pythagoraan lauseen avulla.
R3:ssa oleville vektoreille voidaan tarkistaa, että AxA on todella x:n pituus, vaikka nyt tämä vaatii kaksi Pythagoraan lauseen soveltamista.
Huomaa, että vektorin pituus on nuolen pituus; jos ajattelemme pisteinä, niin pituus on sen etäisyys origosta.
Fakta
Jos x on vektori ja c on skalaari, niin AcxA=|c|-AxA.
Tämä sanoo, että vektorin skaalautuminen c:llä skaalautuu sen pituudeksi |c|. Esimerkiksi,
Nyt kun meillä on hyvä käsitys pituudesta, voimme määritellä pisteiden välisen etäisyyden Rn:ssä. Muistutetaan, että kahden pisteen x,y välinen ero on luonnollisesti vektori, nimittäin vektori y-x, joka osoittaa x:stä y:hen.
Määritelmä
Kahden pisteen x,y välinen etäisyys Rn:ssä on x:stä y:hen kulkevan vektorin pituus:
Pituudeltaan 1:n pituiset vektorit ovat hyvin yleisiä sovelluskohteissamme, joten annamme niille nimen.
Määritelmä
Yksikkövektori on vektori x, jonka pituus on AxA=Bx-x=1.
Vakiokoordinaattivektorit e1,e2,e3,…. ovat yksikkövektoreita:
Mille tahansa nollasta poikkeavalle vektorille x on olemassa yksikäsitteinen samaan suuntaan osoittava yksikkövektori. Se saadaan jakamalla x:n pituudella.
Fakta
Olkoon x nollasta poikkeava vektori Rn:ssä. Yksikkövektori x:n suunnassa on vektori x/AxA.
Tämä on itse asiassa yksikkövektori (huomaa, että AxA on positiivinen luku, joten CC1/AxACC=1/AxA):