Fysiikka

Oppimistavoitteet

Tämän osion lopussa osaat:

• Suhteuttaa fotonin lineaarisen impulssin sen energiaan tai aallonpituuteen ja soveltaa lineaarisen impulssin säilymistä yksinkertaisiin prosesseihin, joihin liittyy fotonien emittoituminen, absorboituminen tai heijastuminen.
• selittää laadullisesti havaitun fotonin aallonpituuden kasvun ja selittää Comptonin aallonpituuden merkitys.

Kuva 1. Hale-Bopp-komeetan pyrstöt osoittavat poispäin Auringosta, mikä todistaa, että valolla on impulssi. Komeetan rungosta lähtevä pöly muodostaa tämän pyrstön. Siitä heijastuva valo työntää pölyhiukkasia poispäin Auringosta. Sininen ionisoituneen kaasun pyrstö syntyy myös komeetan aineen atomien kanssa vuorovaikutuksessa olevista fotoneista. (luotto: Geoff Chester, U.S. Navy, via Wikimedia Commons)

Yhteyksien luominen: Conservation of Momentum

Ei ainoastaan momentti säily kaikilla fysiikan osa-alueilla, vaan kaikentyyppisillä hiukkasilla havaitaan olevan momentti. Odotamme, että hiukkasilla, joilla on massa, on momentti, mutta nyt näemme, että myös massattomilla hiukkasilla, kuten fotoneilla, on momentti.

Kuva 2. Comptonin efekti on nimitys fotonin sironnalle elektroniin. Energia ja impulssi säilyvät, jolloin molemmat pienenevät sironneen fotonin osalta. Tätä efektiä tutkimalla Compton todisti, että fotoneilla on momentti.

Esimerkki 1. Elektronin ja fotonin momentin vertailu

1. Laskekaa näkyvän fotonin momentti, jonka aallonpituus on 500 nm.
2. Laskekaa saman momentin omaavan elektronin nopeus.
3. Mikä on elektronin energia ja miten se vertautuu fotonin energiaan?

Strategia

Fotonin impulssin laskeminen on suoraviivainen sovellus sen määritelmästä: p=\frac{h}{\lambda}\\\. Jos havaitsemme fotonin impulssin olevan pieni, voimme olettaa, että elektroni, jolla on sama impulssi, on ei-relativistinen, jolloin sen nopeus ja liike-energia on helppo löytää klassisista kaavoista.

Ratkaisu osaan 1

Fotonin impulssi saadaan yhtälöstä: p=\\frac{h}{\lambda}\\\.

Syöttämällä annettu fotonin aallonpituus saadaan

\displaystyle{p}=\frac{6.63\times10^{-34}\text{ J }\cdot\text{ s}}{500\times10^{-9}\text{ m}}=1.33\times10^{-27}\text{ kg}\cdot\text{ m/s}\\\

Ratkaisu osaan 2

Koska tämä impulssi on todellakin pieni, käytämme klassista lauseketta p = mv löytääksemme elektronin nopeuden, jolla on tämä impulssi. Ratkaisemalla v ja käyttämällä tunnettua arvoa elektronin massalle saadaan

\displaystyle{v}=\frac{p}{m}=\frac{1.33\times10^{-27}\text{ kg}\cdot\text{ m/s}}{9.11\times10^{-31}\text{ kg}}=1460\text{ m/s}\\approx1460\text{ m/s}\\\

Ratkaisu osaan 3

Elektronilla on liike-energia, joka klassisesti annetaan \text{KE}_e=\frac{1}{2}mv^2\\\.

Siten \text{KE}_e=\frac{1}{2}\left(9.11\times10^{-3}\text{ kg}\right)\left(1455\text{ m/s}\right)^2=9.64\times10^{-25}\text{ J}\\\.

Muunnettaessa tämä eV:ksi kertomalla \frac{1\text{ eV}}{1.602\times10^{-19}\text{ J}}\\\ saadaan KEe = 6.02 × 10-6 eV.

Fotonin energia E on

E=\frac{hc}{\lambda}=\frac{1240\text{ eV}\cdot\text{ nm}}{500\text{ nm}}=2.48\text{ eV}\\,

joka on noin viisi suuruusluokkaa suurempi.

Keskustelu

Fotonimomentti on todellakin pieni. Vaikka niitä olisi valtava määrä, niiden kokonaisimpulssi on pieni. Saman impulssin omaavalla elektronilla on 1460 m/s nopeus, joka on selvästi ei-relativistinen. Vielä massiivisemmalla hiukkasella, jolla olisi sama impulssi, olisi vielä pienempi nopeus. Tämän vahvistaa se, että tarvitaan paljon vähemmän energiaa antamaan elektronille sama impulssi kuin fotonille. Mutta kvanttimekaanisessa mittakaavassa, erityisesti suurienergisille fotoneille, jotka ovat vuorovaikutuksessa pienten massojen kanssa, fotonin impulssi on merkittävä. Jopa suuressa mittakaavassa fotonien impulssilla voi olla vaikutusta, jos niitä on riittävästi ja jos mikään ei estä aineen hidasta rekyyliä. Komeetan pyrstöt ovat yksi esimerkki, mutta on myös ehdotuksia rakentaa avaruuspurjeita, joissa käytetään valtavia pienimassaisia peilejä (aluminoidusta Mylarista) auringonvalon heijastamiseen. Avaruuden tyhjiössä peilit palaisivat vähitellen takaisin ja voisivat itse asiassa kuljettaa avaruusaluksia paikasta toiseen aurinkokunnassa. (Katso kuva 3.)

Kuva 3. (a) On ehdotettu avaruuspurjeita, jotka käyttävät jättimäisistä pienimassaisista purjeista heijastuvan auringonvalon vauhtia kuljettamaan avaruusaluksia ympäri aurinkokuntaa. Tällainen venäläinen testimalli (Cosmos 1) laukaistiin vuonna 2005, mutta se ei päässyt kiertoradalle rakettivian vuoksi. (b) Yhdysvaltalainen LightSail-1-versio on tarkoitus laukaista koekäyttöön tämän vuosikymmenen alkupuolella. Siinä on 40 m2:n purje. (luotto: Kim Newton/NASA)

Fotoni-ilmaisimet

Vähän kaikki tähän mennessä puhutut havaitsemisjärjestelmät – silmät, valokuvauslevyt, mikroskooppien valomonistinputket ja CCD-kamerat – perustuvat herkän alueen kanssa vuorovaikuttavien fotonien hiukkasmaisiin ominaisuuksiin. Muutos aiheutuu ja joko muutos kaskadoituu tai ziljoonat pisteet tallentuvat ja muodostavat kuvan, jonka havaitsemme. Näitä ilmaisimia käytetään biolääketieteellisissä kuvantamisjärjestelmissä, ja jatkuvasti tutkitaan fotonien vastaanottotehokkuuden parantamista erityisesti jäähdyttämällä ilmaisimia ja vähentämällä lämpövaikutuksia.

Esimerkki 2. Fotonin energia ja momentti

Osoita, että p=\frac{E}{c}\\\ esimerkissä 1 tarkastellulle fotonille.

Strategia

Otetaan esimerkissä 1 löydetty energia E, jaetaan se valonnopeudella ja katsotaan, saadaanko sama momentti kuin aiemmin.

Ratkaisu

Jos fotonin energia on 2,48 eV ja muunnetaan tämä jouleiksi, saadaan

p=\frac{E}{c}=\frac{\left(2.48\text{ eV}\right)\left(1.60\times10^{-16}\text{ J/eV}\right)}{3.00\times10^8\text{ m/s}}=1.33\times10^{-27}\text{ kg }\cdot\text{ m/s}\\\\

Keskustelu

Tämä impulssin arvo on sama kuin aiemmin löydetty (huomaa, että kaikissa laskelmissa käytetään pyöristämättömiä arvoja pientenkin pyöristysvirheiden välttämiseksi), mikä on odotettu vahvistus suhteelle p=\frac{E}{c}\\\. Tämä tarkoittaa myös sitä, että energian, impulssin ja massan välinen suhde E2 = (pc)2 + (mc)2 pätee sekä aineeseen että fotoneihin. Huomaa jälleen kerran, että p ei ole nolla, vaikka m olisikin.

Ongelmanratkaisuehdotus

Huomaa, että vakioiden h = 4,14 × 10-15 eV ⋅ s ja hc = 1240 eV ⋅ nm muodot voivat olla erityisen käyttökelpoisia tämän jakson ongelmissa ja harjoituksissa.

Käsitteellisiä kysymyksiä

1. Mitä kaavaa voidaan käyttää kaikkien hiukkasten impulssille, massalla tai ilman massaa?
2. Onko fotonin impulssilla ja aineen impulssilla mitattavissa oleva ero?
3. Miksi emme tunne auringonvalon impulssia ollessamme rannalla?

Tehtävät & Harjoitukset

1. (a) Etsi 4,00 cm:n aallonpituuden mikroaaltofotonin impulssi. (b) Pohdi, miksi oletat, että vastaus kohtaan (a) on hyvin pieni.
2. (a) Mikä on 0,0100 nm:n aallonpituuden fotonin impulssi, jolla voitaisiin havaita atomin yksityiskohtia? (b) Mikä on sen energia MeV:nä?
3. (a) Mikä on sellaisen fotonin aallonpituus, jonka impulssi on 5.00 × 10-29 kg – m/s? (b) Etsi sen energia eV:nä.
4. (a) γ-säteilyfotonin impulssi on 8,00 × 10-21 kg – m/s. Mikä on sen aallonpituus? (b) Laske sen energia yksikkönä MeV.
5. (a) Laske sellaisen fotonin impulssi, jonka aallonpituus on 2,50 μm. (b) Laske saman impulssin omaavan elektronin nopeus. (c) Mikä on elektronin liike-energia, ja miten se vertautuu fotonin liike-energiaan?
6. Toista edellinen tehtävä 10,0 nm:n aallonpituuden omaavalle fotonille.
7. (a) Laske sellaisen fotonin aallonpituus, jolla on sama impulssi kuin protonilla, joka liikkuu 1,00 % valonnopeudesta. (b) Mikä on fotonin energia MeV:nä? (c) Mikä on protonin liike-energia MeV:nä?
8. (a) Etsi 100 keV:n röntgenfotonin impulssi. (b) Etsi saman impulssin omaavan neutronin vastaava nopeus. (c) Mikä on neutronin liike-energia keV:nä?
9. Valitaan relativistisen lepoenergian, E = γmc2, ja relativistisen impulssin, p = γmu, suhde ja osoitetaan, että siinä raja-arvossa, jossa massa lähestyy nollaa, saadaan \frac{E}{p}=c\\\\.
10. Konstruoi oma ongelmasi. Tarkastellaan esimerkissä 1 mainitun kaltaista avaruuspurjetta. Rakenna ongelma, jossa lasket auringonvalon heijastumisesta purjeeseen kohdistuvan valopaineen (N/m2). Laske myös voima, joka voisi syntyä, ja kuinka suuri vaikutus sillä olisi avaruusalukseen. Huomioon otettavia asioita ovat muun muassa auringonvalon voimakkuus, sen keskimääräinen aallonpituus, tästä johtuva fotonien määrä neliömetriä kohti, avaruuspurjeen pinta-ala ja kiihdytettävän systeemin massa.
11. Kohtuuttomat tulokset. Auto tuntee ajovalojensa lähettämästä valosta johtuvan pienen voiman, joka on yhtä suuri kuin valon impulssimomentti jaettuna ajalla, jonka aikana se säteilee. (a) Laske kunkin ajovalon voima, jos ne kohdistavat autoon yhteensä 2,00 × 10-2 N:n voiman taaksepäin. (b) Mikä tässä tuloksessa on kohtuutonta? (c) Mitkä oletukset ovat kohtuuttomia tai epäjohdonmukaisia?

Valittuja ratkaisuja ongelmiin & Tehtäviä

1. (a) 1,66 × 10-32 kg ⋅ m/s; (b) Mikroaaltofotonien aallonpituus on suuri, joten niiden kuljettama impulssi on hyvin pieni.

3. (a) 13,3 μm; (b) 9,38 × 10-2 eV

5. (a) 2,65 × 10-28 kg – m/s; (b) 291 m/s; (c) elektroni 3,86 × 10-26 J, fotoni 7,96 × 10-20 J, suhde 2,06 × 106

7. (a) 1,32 × 10-13 m; (b) 9,39 MeV; (c) 4,70 × 10-2 MeV

9. E = γmc2 ja P = γmu, joten

\displaystyle\frac{E}{P}=\frac{{{\gamma{mc}}^{2}}{\gamma{mu}}=\frac{c^2}{u}\\\

Hiukkasen massan lähestyessä nollaa sen nopeus u lähestyy c , joten energian ja impulssin suhde tässä raja-arvossa on

\displaystyle\lim_{m\to0}\frac{E}{P}=\frac{{c}^{2}}{c}=c\\\

joka on sopusoinnussa fotonin energian yhtälön kanssa.

11. (a) 3,00 × 106 W; (b) ajovalot ovat aivan liian kirkkaat; (c) voima on liian suuri.