Näytä mobiili-ilmoitus Näytä kaikki muistiinpanot Piilota kaikki muistiinpanot
Kohta 7-7 : Äärettömyyden tyypit
Vähän kaikki opiskelijat ovat törmänneet äärettömyyteen jossain vaiheessa ennen laskutunnin alkua. Kun he ovat kuitenkin käsitelleet sitä, se on ollut vain symboli, jota on käytetty kuvaamaan todella, todella suurta positiivista tai todella, todella suurta negatiivista lukua, ja siihen se on jäänyt. Kun oppilaat pääsevät matematiikan tunnille, heitä pyydetään tekemään perusalgebraa äärettömyyden kanssa, ja tässä kohtaa he joutuvat vaikeuksiin. Äärettömyys EI ole luku, eikä se suurimmaksi osaksi käyttäydy kuin luku. Tästä huolimatta ajattelemme tässä jaksossa ääretöntä todella, todella, todella, todella suurena lukuna, joka on niin suuri, ettei ole toista sitä suurempaa lukua. Tämä ei tietenkään pidä paikkaansa, mutta se voi auttaa tässä jaksossa käytävää keskustelua. Huomaa myös, että kaikki tässä jaksossa käsittelemämme asiat koskevat vain reaalilukuja. Jos siirrytään esimerkiksi kompleksilukuihin, asiat voivat muuttua ja muuttuvatkin.
Aloitetaan siis miettimään yhteenlaskua äärettömyyden kanssa. Kun lisäät kaksi nollasta poikkeavaa lukua, saat uuden luvun. Esimerkiksi \(4 + 7 = 11\). Äärettömyydellä tämä ei pidä paikkaansa. Äärettömyydellä saadaan seuraavaa.
\
Muulla sanoen todella, todella suuri positiivinen luku (\(\(\infty \)) plus mikä tahansa positiivinen luku, sen koosta riippumatta, on edelleen todella, todella suuri positiivinen luku. Samoin voit lisätä negatiivisen luvun (eli \(a < 0\)) todella, todella suureen positiiviseen lukuun ja se pysyy todella, todella suurena ja positiivisena. Äärettömyyteen liittyvää yhteenlaskemista voidaan siis käsitellä intuitiivisesti, jos ollaan varovaisia. Huomaa myös, että \(a\) EI saa olla negatiivinen ääretön. Jos se on, on joitakin vakavia ongelmia, joita meidän on käsiteltävä, kuten näemme kohta.
Subtraktio negatiivisen äärettömyyden kanssa voidaan myös käsitellä intuitiivisesti useimmissa tapauksissa. Todella, todella suuri negatiivinen luku miinus mikä tahansa positiivinen luku, riippumatta sen koosta, on edelleen todella, todella suuri negatiivinen luku. Negatiivisen luvun vähentäminen (eli \(a < 0\)) todella, todella suuresta negatiivisesta luvusta on edelleen todella, todella suuri negatiivinen luku. Tai,
\
Jälleen, \(a\) ei saa olla negatiivinen ääretön, jotta vältytään joiltakin potentiaalisesti vakavilta vaikeuksilta.
Kertolaskua voidaan käsitellä myös melko intuitiivisesti. Todella, todella suuri luku (positiivinen tai negatiivinen) kerrottuna millä tahansa luvulla, koosta riippumatta, on edelleen todella, todella suuri luku, meidän on vain oltava varovaisia merkkien kanssa. Kertolaskun tapauksessa meillä on
\
Mitä tiedät positiivisten ja negatiivisten lukujen tuloista, pätee myös tässä tapauksessa.
Joitakin jakamisen muotoja voidaan käsitellä myös intuitiivisesti. Todella, todella suuri luku jaettuna luvulla, joka ei ole liian suuri, on edelleen todella, todella suuri luku.
\ \
Luvun jakaminen äärettömyydellä on jokseenkin intuitiivista, mutta siinä on pari hienojakoista yksityiskohtaa, jotka sinun on tiedostettava. Kun puhumme jakamisesta äärettömyydellä, puhumme oikeastaan rajaprosessista, jossa nimittäjä kulkee kohti ääretöntä. Niinpä luku, joka ei ole liian suuri jaettuna yhä suuremmalla luvulla, on yhä pienempi luku. Toisin sanoen, raja-arvossa meillä on,
\
Olemme siis käsitelleet lähes kaikki algebralliset perusoperaatiot, joihin liittyy ääretön. On kaksi tapausta, joita emme ole vielä käsitelleet. Nämä ovat
\
Ongelmana näissä kahdessa tapauksessa on se, että intuitio ei oikein auta tässä. Todella, todella suuri luku miinus todella, todella suuri luku voi olla mitä tahansa (\( – \infty \), vakio tai \(\infty \)). Samoin todella, todella suuri luku jaettuna todella, todella suurella luvulla voi myös olla mitä tahansa (\( \pm \infty \) – tämä riippuu merkkikysymyksistä, 0 tai nollasta poikkeava vakio).
Meidän on muistettava, että on olemassa todella, todella suuria lukuja ja sitten on todella, todella, todella suuria lukuja. Toisin sanoen jotkut äärettömyydet ovat suurempia kuin toiset äärettömyydet. Yhteenlaskun, kertolaskun ja ensimmäisten jakolaskujen kanssa tämä ei ollut ongelma. Äärettömyyden yleinen koko ei vain vaikuta vastaukseen näissä tapauksissa. Edellä luetelluissa vähennys- ja jakotapauksissa sillä on kuitenkin merkitystä, kuten tulemme näkemään.
Tässä on yksi tapa ajatella tätä ajatusta, että jotkut äärettömyydet ovat suurempia kuin toiset. Tämä on melko kuiva ja tekninen tapa ajatella asiaa, ja laskutehtävissänne ei luultavasti koskaan käytetä näitä asioita, mutta se on mukava tapa tarkastella asiaa. Huomaa myös, etten yritä antaa tarkkaa todistusta mistään. Yritän vain antaa sinulle pienen käsityksen äärettömyyteen liittyvistä ongelmista ja siitä, miten joidenkin äärettömyyksien voidaan ajatella olevan suurempia kuin toisten. Paljon parempaa (ja varmasti tarkempaa) keskustelua löydät osoitteesta,
http://www.math.vanderbilt.edu/~schectex/courses/infinity.pdf
Aloitetaan tarkastelemalla, kuinka monta kokonaislukua on olemassa. Toivottavasti on selvää, että niitä on ääretön määrä, mutta yritetään saada parempi käsitys tämän äärettömyyden ”koosta”. Valitaan siis kaksi täysin satunnaista kokonaislukua. Aloitetaan kahdesta pienemmästä ja luetellaan nousevassa järjestyksessä kaikki sen jälkeen tulevat kokonaisluvut. Lopulta päästään suurempaan valitsemistasi kahdesta kokonaisluvusta.
Kahden kokonaisluvun suhteellisesta koosta riippuen voi kestää hyvin, hyvin kauan luetella kaikki niiden välissä olevat kokonaisluvut, eikä sen tekemisellä ole oikeastaan mitään tarkoitusta. Mutta se voitaisiin tehdä, jos haluttaisiin, ja se on tärkeintä.
Koska voisimme luetella kaikki nämä kokonaisluvut kahden satunnaisesti valitun kokonaisluvun välillä, sanomme, että kokonaisluvut ovat laskennallisesti äärettömiä. Jälleen kerran, ei ole mitään todellista syytä tehdä tätä itse asiassa, se on vain jotain, joka voidaan tehdä, jos niin halutaan tehdä.
Yleisesti lukujoukkoa sanotaan laskennallisesti äärettömäksi, jos löydämme tavan luetella ne kaikki. Tarkemmassa matemaattisessa ympäristössä tämä tehdään yleensä erityisellä funktiolla, jota kutsutaan bijektioksi ja joka liittää joukon jokaisen luvun täsmälleen yhteen positiivisista kokonaisluvuista. Tarkempia yksityiskohtia tästä löytyy edellä mainitusta pdf-tiedostosta.
Voidaan myös osoittaa, että kaikkien murtolukujen joukko on myös laskennallisesti ääretön, vaikka tätä on hieman vaikeampi osoittaa eikä se ole tämän keskustelun tarkoitus. Todistus tästä löytyy yllä annetusta pdf:stä. Siinä on erittäin hieno todistus tästä tosiasialle.
Kohdistetaan tämä vastakkain yrittämällä selvittää, kuinka monta lukua on välillä \( \left(0,1\right) \). Luvuilla tarkoitan kaikkia mahdollisia murtolukuja, jotka ovat nollan ja yhden välissä, sekä kaikkia mahdollisia desimaaleja (jotka eivät ole murtolukuja), jotka ovat nollan ja yhden välissä. Seuraava on samankaltainen kuin yllä olevassa pdf:ssä esitetty todistus, mutta se oli sen verran mukava ja helppo (toivottavasti), että halusin sisällyttää sen tähän.
Aloitetaan olettamalla, että kaikki luvut välillä \( \left(0,1\right) \) ovat laskennallisesti äärettömiä. Tämä tarkoittaa, että pitäisi olla jokin tapa luetella ne kaikki pois. Voisimme saada jotakin seuraavanlaista,
\
Valitaan nyt \(i\)n kymmenesosa \({x_i}\):stä alla olevan kuvan mukaisesti
\
ja muodostetaan uusi luku näiden numeroiden avulla. Esimerkissämme olisi siis luku
\
Tässä uudessa desimaaliluvussa kaikki 3:t korvataan 1:llä ja kaikki muut numerot korvataan 3:lla. Esimerkkimme tapauksessa tämä antaisi uuden luvun
\
Huomaa, että tämä luku on välillä \( \left(0,1\right) \), ja huomaa myös, että kun otetaan huomioon, miten valitsemme luvun numerot, tämä luku ei ole yhtä suuri kuin luettelomme ensimmäinen luku \({x_1}\), koska kummankin luvun ensimmäinen numero ei taatusti ole sama. Samoin tämä uusi luku ei saa samaa lukua kuin listamme toinen luku \({x_2}\), koska kummankin luvun toinen numero ei taatusti ole sama. Jatkamalla tällä tavalla voimme nähdä, että tämä rakentamamme uusi luku, \(\overline x \), ei taatusti ole luettelossamme. Tämä on kuitenkin ristiriidassa alkuperäisen oletuksen kanssa, jonka mukaan voisimme luetella kaikki luvut välillä \( \left(0,1\right) \). Näin ollen ei saa olla mahdollista luetella kaikkia lukuja intervallista \( \left(0,1\right) \).
Lukujoukkoja, kuten kaikkia lukuja intervallista \( \left(0,1\right) \), joita emme voi kirjoittaa luetteloon, sanotaan lukumäärältään äärettömiksi (uncountably infinite).
Syy tämän asian läpikäymiseen on seuraava. Lukemattomasti ääretön ääretön on huomattavasti suurempi kuin vain laskennallisesti ääretön ääretön. Jos siis otamme kahden äärettömyyden erotuksen, meillä on pari mahdollisuutta.
\
Huomaa, ettemme kirjoittaneet kahden samantyyppisen äärettömyyden erotusta. Asiayhteydestä riippuen saattaa vielä olla epäselvyyttä siitä, mikä vastaus tässä tapauksessa olisi, mutta se on aivan eri aihe.
Voisimme tehdä jotain vastaavaa myös äärettömyyksien kvotienteille.
\
Jälleen kerran vältimme kahden samantyyppisen äärettömyyden osamäärää, koska taas asiayhteydestä riippuen sen arvosta saattaisi olla epäselvyyksiä.
Siinä kaikki, ja toivottavasti opit jotakin tästä keskustelusta. Äärettömyys ei yksinkertaisesti ole luku ja koska äärettömyyttä on erilaisia, se ei yleensä käyttäydy kuten luku. Ole varovainen, kun olet tekemisissä äärettömyyden kanssa.