Válcové výsečeUpravit
Válcová výseč je průsečík povrchu válce s rovinou. Jsou to obecně křivky a jsou zvláštním typem rovinných řezů. Válcový řez rovinou, která obsahuje dva prvky válce, je rovnoběžník. Takovým válcovým řezem pravého válce je obdélník.
Válcový řez, v němž protínající rovina protíná všechny prvky válce a je na ně kolmá, se nazývá pravý řez. Je-li pravým řezem válce kružnice, pak je válec kruhový válec. Obecněji řečeno, je-li pravý řez válce kuželosečkou (parabola, elipsa, hyperbola), pak se o tělesu válce říká, že je parabolické, eliptické, resp. hyperbolické.
Pro pravý kruhový válec existuje několik způsobů, jak se roviny mohou setkat s válcem. Za prvé roviny, které protínají podstavu nejvýše v jednom bodě. Rovina je tečnou k válci, jestliže se s válcem setkává v jediném prvku. Pravými úsečkami jsou kružnice a všechny ostatní roviny protínají válcovou plochu v elipse. Pokud rovina protíná podstavu válce přesně ve dvou bodech, pak úsečka spojující tyto body je součástí válcového řezu. Pokud taková rovina obsahuje dva prvky, má jako výseč válce obdélník, jinak jsou strany výseče válce částmi elipsy. A konečně, pokud rovina obsahuje více než dva body podstavy, obsahuje celou podstavu a její válcová výseč je kružnice.
V případě pravého kruhového válce s válcovou výsečí, která je elipsou, závisí excentricita e válcové výseče a poloosa válcové výseče na poloměru válce r a úhlu α mezi sekantovou rovinou a osou válce takto:
e = cos α , {\displaystyle e=\cos \alpha ,}
a = r sin α . {\displaystyle a={\frac {r}{\sin \alfa }}.}.
ObjemEdit
Má-li podstava kruhového válce poloměr r a válec má výšku h, pak je jeho objem dán vztahem
V = πr2h.
Tento vzorec platí bez ohledu na to, zda je válec pravý či nikoliv.
Tento vzorec lze stanovit pomocí Cavalieriho principu.
V obecnější rovině je podle stejného principu objem libovolného válce součinem plochy podstavy a výšky. Například eliptický válec s podstavou o poloměrné ose a, poloměrné ose b a výšce h má objem V = Ah, kde A je plocha podstavy elipsy (= πab). Tento výsledek pro pravé eliptické válce lze získat také integrací, kde osu válce bereme jako kladnou osu x a A(x) = A je plocha každého eliptického průřezu, tedy:
V = ∫ 0 h A ( x ) d x = ∫ 0 h π a b d x = π a b ∫ 0 h d x = π a b h . {\displaystyle V=\int _{0}^{h}A(x)dx=\int _{0}^{h}\pi abdx=\pi ab\int _{0}^{h}dx=\pi abh.}
Při použití válcových souřadnic, lze objem pravého kruhového válce vypočítat integrací přes
= ∫ 0 h ∫ 0 2 π ∫ 0 r s d s d ϕ d z {\displaystyle =\int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}s\,\,ds\,d\phi \,dz}
= π r 2 h . {\displaystyle =\pi \,r^{2}\,h.}
PlochaEdit
Při poloměru r a nadmořské výšce (výšce) h se plocha pravého kruhového válce orientovaného tak, že jeho osa je svislá, skládá ze tří částí:
- plocha horní podstavy: πr2
- plocha dolní podstavy: πr2
- plocha strany: 2πrh
Plocha horní a dolní podstavy je stejná a nazývá se plocha podstavy B. Plocha strany se nazývá boční plocha, L.
Otevřený válec neobsahuje horní ani dolní prvky, a proto má plochu (boční plochu)
L = 2πrh.
Povrch plného pravého kruhového válce je tvořen součtem všech tří složek: horní, dolní a boční. Jeho povrch je tedy,
A = L + 2B = 2πrh + 2πr2 = 2πr(h + r) = πd(r + h),
kde d = 2r je průměr kruhového vrcholu nebo dna.
Pro daný objem má pravý kruhový válec s nejmenším povrchem h = 2r. Ekvivalentně pro daný povrch má pravý kruhový válec s největším objemem h = 2r, to znamená, že se válec těsně vejde do krychle o délce strany = výšce ( = průměru podstavy kružnice).
Boční plocha L kruhového válce, který nemusí být pravým válcem, je obecněji dána vztahem:
L = e × p,
kde e je délka prvku a p je obvod pravé části válce. To dává předchozí vzorec pro boční plochu, když je válec pravý kruhový válec.
Pravý kruhový dutý válec (válcová skořepina)Edit
Pravý kruhový dutý válec (nebo válcová skořepina) je trojrozměrná oblast ohraničená dvěma pravými kruhovými válci se stejnou osou a dvěma rovnoběžnými prstencovými podstavami kolmými na společnou osu válců, jako na obrázku.
Nechť výška je h, vnitřní poloměr r a vnější poloměr R. Objem je dán vztahem
V = π ( R 2 – r 2 ) h = 2 π ( R + r 2 ) h ( R – r ) . {\displaystyle V=\pi (R^{2}-r^{2})h=2\pi \left({\frac {R+r}{2}}\right)h(R-r).}
.
Objem válcové skořepiny se tedy rovná 2π(průměrný poloměr)(výška)(tloušťka).
Povrch včetně horní a dolní části je dán vztahem
A = 2 π ( R + r ) h + 2 π ( R 2 – r 2 ) . {\displaystyle A=2\pi (R+r)h+2\pi (R^{2}-r^{2})}.
.
Válcové pláště se používají v běžné integrační technice pro zjišťování objemů těles s otáčivým pohybem.
O kouli a válciUpravit
V traktátu tohoto jména, napsaném asi 225 př. n. l., dosáhl Archimédes výsledku, na který byl nejvíce pyšný, totiž získání vzorců pro objem a povrch koule využitím vztahu mezi koulí a jí opsaným pravým kruhovým válcem stejné výšky a průměru. Koule má objem o dvě třetiny větší než kruhový válec a povrch o dvě třetiny větší než válec (včetně podstav). Protože hodnoty pro válec již byly známy, získal poprvé odpovídající hodnoty pro kouli. Objem koule o poloměru r je 4/3πr3 = 2/3 (2πr3). Povrch této koule je 4πr2 = 2/3 (6πr2). Na Archimédův hrob byla na jeho přání umístěna socha koule a válce.
.