Kalkulačka budoucí hodnoty

Posted on

Použití kalkulačky

Vzorec pro výpočet budoucí hodnoty je FV=PV(1+i)n, kde se současná hodnota PV zvyšuje pro každé období do budoucnosti o faktor 1 + i.

Kalkulátor budoucí hodnoty používá při výpočtu FV více proměnných:

  • Součet současné hodnoty
  • Počet časových období, obvykle let
  • Úroková míra
  • Frekvence úročení
  • Platby peněžních toků
  • Růst anuity a perpetuity

Budoucí hodnota peněžní částky je hodnota současné částky k budoucímu datu.

Pomocí této kalkulačky budoucí hodnoty můžete určit, jakou hodnotu bude mít vaše investice v určitém okamžiku v budoucnosti díky kumulovaným úrokům a potenciálním peněžním tokům.

Při použití této kalkulačky můžete zadat 0 pro jakoukoli proměnnou, kterou chcete vyloučit. Naše další kalkulačky budoucí hodnoty poskytují možnosti pro specifičtější výpočty budoucí hodnoty.

Co je ve výpočtu budoucí hodnoty

Kalkulátor budoucí hodnoty používá následující proměnné pro zjištění budoucí hodnoty FV současné částky plus platby úroků a peněžních toků:

Současná hodnota PV Současná hodnota peněžní částky Počet časových období t – Časové období je obvykle počet let
– Ujistěte se, že všechny vaše vstupy používají stejnou jednotku časového období (roky, měsíce atd.).)
– Pro věčnou anuitu zadejte p nebo perpetuity Úroková sazba R Nominální úroková sazba nebo uvedená sazba, jako procento Složení m – Počet složení za období
– Zadejte 1 pro roční složení, které je jednou ročně
– Zadejte 4 pro čtvrtletní složení
– Zadejte 12 pro měsíční složení
– Zadejte 365 pro denní složení
– Zadejte c nebo nepřetržité pro nepřetržité složení Výše platby peněžní anuity PMT Výše platby v každém období Míra růstu G Míra růstu anuitních plateb za období zadaná jako procento Počet plateb q za období – Frekvence plateb
– Zadejte 1 pro roční platby což je jednou ročně
– Zadejte 4 pro čtvrtletní platby
– Zadejte 12 pro měsíční platby
– Zadejte 365 pro denní platby Kdy probíhají anuitní platby T – Zvolte konec, což je běžná anuita s platbami obdrženými na konci období
– Zvolte začátek kdy jsou platby splatné na začátku období Budoucí hodnota FV Výsledkem výpočtu FV je budoucí hodnota jakékoli částky současné hodnoty plus úroky a budoucí peněžní toky nebo anuitní platby

Následující oddíly ukazují, jak matematicky odvodit vzorce budoucí hodnoty. Seznam zde uvedených vzorců naleznete na stránce Vzorce budoucí hodnoty.

Odvození vzorce budoucí hodnoty

Budoucí hodnota (FV) částky současné hodnoty (PV), která se úročí sazbou i za jedno časové období, je současná hodnota plus úroky získané z této částky. Matematická rovnice používaná v kalkulačce budoucí hodnoty je

\( FV=PV+PVi \)

nebo

\( FV=PV(1+i) \)

Pro každé období do budoucnosti se akumulovaná hodnota zvyšuje o další faktor (1 + i). Budoucí hodnota akumulovaná například za 3 období je tedy dána vztahem

\( FV_{3}=PV_{3}(1+i)(1+i)(1+i)=PV_{3}(1+i)^{3}. \)

nebo obecně

\( FV_{n}=PV_{n}(1+i)^{n}\tag{1a} \)

a podobně můžeme řešit PV, abychom dostali

\( PV_{n}=\dfrac{FV_{n}}{(1+i)^n}\tag{1b} \)

Máme rovnice (1a) budoucí hodnota současné částky a (1b) současná hodnota budoucí částky při periodické úrokové míře i, kde n je počet období v budoucnosti. Běžně se tato rovnice používá s obdobími jako roky, ale je méně omezující uvažovat v širších termínech období. Vypustíme-li z (1b) indexy, máme:

Budoucí hodnota současné částky

\( FV=PV(1+i)^{n}\tag{1}). \)

Odvození vzorce budoucí hodnoty renty

Renta je peněžní částka vyplácená periodicky, (v pravidelných intervalech). Předpokládejme, že máme řadu stejných současných hodnot, které budeme nazývat platby (PMT) a které se vyplácejí jednou za období po dobu n období při konstantní úrokové míře i. Kalkulačka budoucí hodnoty vypočítá FV řady plateb 1 až n pomocí vzorce (1) pro sčítání jednotlivých budoucích hodnot.

\( FV=PMT+PMT(1+i)^1+PMT(1+i)^2+…+PMT(1+i)^{n-1}\tag{2a} \)

Ve vzorci (2a) se platby provádějí na konci období. První člen na pravé straně rovnice, PMT, je poslední platba řady provedená na konci posledního období, které je ve stejném okamžiku jako budoucí hodnota. Na tuto platbu se tedy nevztahuje žádný úrok. Poslední člen na pravé straně rovnice, PMT(1+i)n-1, je první platba série provedená na konci prvního období, které je od okamžiku naší budoucí hodnoty vzdáleno pouze n-1 období.

obě strany této rovnice vynásobíme (1 + i) a dostaneme

\( FV(1+i)=PMT(1+i)^1+PMT(1+i)^2+PMT(1+i)^3+…+PMT(1+i)^{n}\tag{2b}. \)

odečtením rovnice (2a) od (2b) se většina členů ruší a zůstává nám

\( FV(1+i)-FV=PMT(1+i)^n-PMT \)

vytáhneme podobné členy na obou stranách

\( FV((1+i)-1)=PMT((1+i)^n-1) \)

zrušíme 1 vlevo a pak dělíme i, budoucí hodnota běžné renty s platbami na konci každého období je

\( FV=\dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1)\tag{2c} \)

Při splatné anuitě se platby provádějí na začátku každého období místo na konci, proto jsou nyní platby o 1 období dále od FV. Vzorec musíme zvýšit o 1 období růstu úroků. To lze zapsat jako

\( FV_{n}=PV_{n}(1+i)^{(n+1)}. \)

ale vynásobením faktoru (1 + i)

\( FV_{n}=PV_{n}(1+i)^{n}(1+i) \)

Takže vynásobením každé platby v rovnici (2a) nebo pravé strany rovnice (2c) faktorem (1 + i) získáme rovnici FV pro splatnou anuitu. Tu lze obecněji zapsat jako

Budoucí hodnota anuity

\( FV=\dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1)(1+iT)\tag{2} \)

kde T představuje typ. (podobně jako ve vzorcích Excelu) Pokud jsou platby na konci období, jedná se o běžnou rentu a nastavíme T = 0. Pokud jsou platby na začátku období, jedná se o splatnou rentu a nastavíme T = 1.

Budoucí hodnota běžné renty

pokud je T = 0, platby jsou na konci každého období a máme vzorec pro budoucí hodnotu běžné renty

\( FV=\dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1)\tag{2.1} \)

Budoucí hodnota splatné anuity

pokud T = 1, platby jsou na začátku každého období a máme vzorec pro budoucí hodnotu splatné anuity

\( FV=\dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1)(1+i)\tag{2,2} \)

Odvození vzorce budoucí hodnoty rostoucí renty

Rostoucí rentu můžete vypočítat také pomocí této kalkulačky budoucí hodnoty. U rostoucí renty se každá výsledná budoucí hodnota po první hodnotě zvyšuje o faktor (1 + g), kde g je konstantní míra růstu. Úpravou rovnice (2a) tak, aby zahrnovala růst, dostaneme

\( FV=PMT(1+g)^{n-1}+PMT(1+i)^1(1+g)^{n-2}+PMT(1+i)^2(1+g)^{n-3}+…+PMT(1+i)^{n-1}(1+g)^{n-n}\tag{3a} \)

Ve vzorci (3a) se platby provádějí na konci období. První člen na pravé straně rovnice, PMT(1+g)n-1, byl poslední platbou řady provedenou na konci posledního období, které je ve stejném okamžiku jako budoucí hodnota. Když toto období vynásobíme číslem (1 + g), uplatní se růstový přírůstek (n – 1) krát. Poslední člen na pravé straně rovnice, PMT(1+i)n-1(1+g)n-n, je první platba řady provedená na konci prvního období a růst se na první PMT neuplatňuje ani (n-n) krát.

Násobením FV (1+i)/(1+g) získáme

\( FV\dfrac{(1+i)}{(1+g)}=PMT(1+i)^1(1+g)^{n-2}+PMT(1+i)^2(1+g)^{n-3}+PMT(1+i)^3(1+g)^{n-4}+…+PMT(1+i)^{n}(1+g)^{n-n-1}\tag{3b} \)

po odečtení rovnice (3a) od (3b) se většina členů ruší a zůstává nám

\( FV\dfrac{(1+i)}{(1+g)}-FV=PMT(1+i)^{n}(1+g)^{n-n-1}-PMT(1+g)^{n-1} \)

s určitou algebraickou manipulací, vynásobením obou stran (1 + g) dostaneme

\( FV(1+i)-FV(1+g)=PMT(1+i)^{n}-PMT(1+g)^{n} \)

vytáhneme-li podobné členy na obou stranách

\( FV(1+i-1-g)=PMT((1+i)^{n}-(1+g)^{n}) \)

zrušením jedniček vlevo a následným dělením (i-g) nakonec dostaneme

Budoucí hodnota rostoucího důchodu (g ≠ i)

\( FV=\dfrac{PMT}{(i-g)}((1+i)^{n}-(1+g)^{n}) \)

Podobně jako v rovnici (2), abychom zohlednili, zda máme rostoucí splatnou anuitu nebo rostoucí běžnou anuitu, vynásobíme koeficientem (1 + iT)

\( FV=\dfrac{PMT}{(i-g)}((1+i)^{n}-(1+g)^{n})(1+iT)\tag{3} \)

Budoucí hodnota rostoucího důchodu (g = i)

Pokud g = i, můžeme g nahradit i a všimněte si, že pokud v rovnici (3a) nahradíme (1 + g) členy (1 + i), dostaneme

\( FV=PMT(1+i)^{n-1}+PMT(1+i)^1(1+i)^{n-2}+PMT(1+i)^2(1+i)^{n-3}+…+PMT(1+i)^{n-1}(1+i)^{n-n} \)

spojením výrazů máme

\( FV=PMT(1+i)^{n-1}+PMT(1+i)^{n-1}+PMT(1+i)^{n-1}+…+PMT(1+i)^{n-1} \)

jelikož nyní máme n případů PMT(1+i)n-1, můžeme rovnici redukovat. Rovněž zohledníme splatnou anuitu nebo běžnou anuitu, vynásobíme (1 + iT) a dostaneme

\( FV=PMTn(1+i)^{n-1}(1+iT)\tag{4}. \)

Budoucí hodnota perpetuity nebo rostoucí perpetuity (t → ∞)

Pro g < i, pro perpetuitu, věčnou anuitu nebo rostoucí perpetuitu počet období t jde do nekonečna, proto n jde do nekonečna a logicky budoucí hodnota v rovnicích (2), (3) a (4) jde do nekonečna, takže žádné rovnice neuvádíme. Budoucí hodnota libovolné perpetuity jde do nekonečna.

Formule budoucí hodnoty pro kombinovanou částku budoucí hodnoty a peněžní tok (anuitu):

Můžeme kombinovat rovnice (1) a (2), abychom získali vzorec budoucí hodnoty, který zahrnuje jak paušální částku budoucí hodnoty, tak anuitu. Tato rovnice je srovnatelná se základními rovnicemi časové hodnoty peněz v Excelu.

Budoucí hodnota

\( FV=PV(1+i)^{n}+\dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1)(1+iT)\tag{5} \)

Jako ve vzorci (2.1), jestliže T = 0, platby na konci každého období, máme vzorec pro budoucí hodnotu s běžnou rentou

\( FV=PV(1+i)^{n}+\dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1) \)

Jako ve vzorci (2.2), jestliže T = 1, platby na začátku každého období, máme vzorec pro budoucí hodnotu se splatnou rentou

\( FV=PV(1+i)^{n}+\dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1)(1+i) \)

Budoucí hodnota, když i = 0

V případě, že i = 0, musí být g také 0, a podíváme se zpět na rovnice (1) a (2a), abychom viděli, že kombinovaný vzorec budoucí hodnoty lze redukovat na

\( FV=PV+PMTn(1+iT) \)

Budoucí hodnota s rostoucí anuitou (g < i)

přepsaná ze vzorce (3)

\( FV=PV(1+i)^{n}+\dfrac{PMT}{(i-g)}((1+i)^{n}-(1+g)^{n})(1+iT)\tag{6} \)

Budoucí hodnota s rostoucí rentou (g = i)

přepsáno ze vzorce (4)

\( FV=PV(1+i)^{n}+PMTn(1+i)^{n-1}(1+iT)\tag{7} \)

Poznámka ke složení m, času t a sazbě r

Formuli (5) lze rozšířit tak, aby zohledňovala složení.

\( FV=PV(1+\frac{r}{m})^{mt}+\dfrac{PMT}{\frac{r}{m}}((1+\frac{r}{m})^{mt}-1)(1+(\frac{r}{m})T)\tag{8} \)

kde n = mt a i = r/m. t je počet období, m jsou intervaly složení za období a r je sazba za období t. (to je snadno pochopitelné, když se použije t v letech, r je nominální sazba za rok a m jsou intervaly složení za rok) Při zápisu ve formě i a n je i sazba za interval složení a n je celkový počet intervalů složení, i když to lze stále vyjádřit jako „i je sazba za období a n je počet období“, kde období = interval složení. „Období“ je široký pojem.

Vztahuje se ke vstupům do kalkulátoru, r = R/100 a g = G/100. Pokud se frekvence složení a frekvence plateb v těchto výpočtech neshodují, r a g se převedou na ekvivalentní sazbu, aby se shodovaly s platbami, pak se n a i přepočítají z hlediska frekvence plateb, q. První část rovnice je budoucí hodnota současné částky a druhá část je budoucí hodnota renty.

Budoucí hodnota s perpetuitou neboli rostoucí perpetuitou (t → ∞ a n = mt → ∞)

Pro perpetuitu, věčnou anuitu, počet období t jde do nekonečna, proto i n jde do nekonečna a logicky budoucí hodnota v rovnici (5) jde do nekonečna, takže se neuvádějí žádné rovnice. Budoucí hodnota jakékoli perpetuity jde do nekonečna.

Kontinuální skládání (m → ∞)

Výpočet budoucí hodnoty s kontinuálním skládáním, opět se podíváme na vzorec (8) pro současnou hodnotu, kde m je skládání za období t, t je počet období a r je skládaná sazba s i = r/m a n = mt.

\( FV=PV(1+\frac{r}{m})^{mt}+\dfrac{PMT}{\frac{r}{m}}((1+\frac{r}{m})^{mt}-1)(1+(\frac{r}{m})T)\tag{8} \)

Efektivní sazba je ieff = ( 1 + ( r / m ) )m – 1 pro sazbu r složenou mkrát za období. Matematicky lze dokázat, že s m → ∞ dosahuje efektivní sazba r při nepřetržitém skládání horní hranice rovné er – 1. Odstraněním m a změnou r na efektivní sazbu r, er – 1:

vzorec (5) nebo (8) se stává

\( FV=PV(1+e^r-1)^{t}+\dfrac{PMT}{e^r-1}((1+e^r-1)^{t}-1)(1+(e^r-1)T). \)

zrušením jedniček, kde je to možné, dostaneme konečný vzorec pro budoucí hodnotu s průběžným skládáním

Budoucí hodnota s průběžným skládáním (m → ∞)

\( FV=PVe^{rt}+\dfrac{PMT}{e^r-1}(e^{rt}-1)(1+(e^r-1)T)\tag{9} \)

pro běžnou rentu

\( FV=PVe^{rt}+\dfrac{PMT}{e^r-1}(e^{rt}-1)\tag{9.1} \)

pro splatnou anuitu

\( FV=PVe^{rt}+\dfrac{PMT}{e^r-1}(e^{rt}-1)e^r\tag{9.2} \)

Budoucí hodnota rostoucí renty (g ≠ i) a průběžné skládání (m → ∞)

Rovnici (3a) můžeme upravit pro průběžné skládání tak, že i nahradíme er – 1 a dostaneme:

\( FV=PMT(1+g)^{n-1}+PMT(1+e^{r}-1)^1(1+g)^{n-2}+PMT(1+e^{r}-1)^2(1+g)^{n-3}+…+PMT(1+e^{r}-1)^{n-1}(1+g)^{n-n} \)

which reduces to

\( FV=PMT(1+g)^{n-1}+PMTe^{r}(1+g)^{n-2}+PMTe^{2r}(1+g)^{n-3}+PMTe^{3r}(1+g)^{n-4}+…+PMT(e^{(n-1)r})(1+g)^{n-n}\tag{10a} \)

Násobení (10a) er/(1+g)

\( \dfrac{FVe^{r}}{1+g}=PMTe^{r}(1+g)^{n-2}+PMTe^{2r}(1+g)^{n-3}+PMTe^{3r}(1+g)^{n-4}+PMTe^{4r}(1+g)^{n-5}+….+PMT(e^{nr})(1+g)^{n-n-1}\tag{10b} \)

po odečtení (10a) od (10b) se většina členů ruší a zbývá

\( \dfrac{FVe^{r}}{1+g}-FV=PMT(e^{nr})(1+g)^{n-n-1}-PMT(1+g)^{n-1} \)

násobení přes (1+g)

\( FVe^{r}-FV(1+g)=PMTe^{nr}-PMT(1+g)^{n} \)

složením podobných členů na obou stranách a následným řešením pro FV dělením obou stran (er – (1 + g)) máme

\( FV=\dfrac{PMT}{e^{r}-(1+g)}(e^{nr}-(1+g)^{n}). \)

Přidáme-li člen zohledňující, zda máme rostoucí splatnou anuitu nebo rostoucí běžnou anuitu, vynásobíme koeficientem (1 + (er-1)T)

\( FV=\dfrac{PMT}{e^{r}-(1+g)}(e^{nr}-(1+g)^{n})(1+(e^{r}-1)T)\tag{10} \)

Budoucí hodnota rostoucí anuity (g = i) a kontinuální skládání (m → ∞)

Vycházíme-li z rovnice (4), kde nahradíme i za er – 1 a zjednodušíme, dostaneme:

\( FV=PMTne^{r(n-1)}(1+(e^{r}-1)T)\tag{11} \)

Příklad výpočtu budoucí hodnoty:

Příklad, který můžete použít v kalkulačce budoucí hodnoty. Máte úspory ve výši 15 000 USD a začnete spořit 100 USD měsíčně na účet s výnosem 1,5 % ročně při měsíčním skládání. Vklady budete provádět na konci každého měsíce. Chcete znát hodnotu své investice za 10 let neboli, budoucí hodnotu svého spořicího účtu.

  • 1 období = 1 rok
  • Současná hodnota investice PV = 15 000
  • Počet období t = 10 (let)
  • Sazba za období R = 1. Chcete znát budoucí hodnotu své investice za 10 let?5 % (r = 0,015)
  • Kompenzace 12krát za období (měsíčně) m = 12
  • Míra růstu za období G = 0
  • Výše splátky PMT = 100,00
  • Splátky za období q = 12 (měsíčně)

Při použití rovnice (7) máme

.

Napsat komentář

Vaše e-mailová adresa nebude zveřejněna.