V předchozím příspěvku o plovoucím Saturnu jsem naznačil, že bych mohl napsat o metodách, které můžeme použít ke zjištění hustoty Saturnu. Jo, a ještě jednou, hustota Saturnu je nižší než hustota vody na Zemi – ale to by neplaval.
Jen pro připomenutí, hustotu definujeme jako:
To znamená, že ve skutečnosti potřebujeme určit dvě věci. Za prvé potřebujeme hmotnost Saturnu. Za druhé potřebujeme objem. Objem můžeme získat, pokud známe poloměr Saturnu.
Objem
Technicky vzato, Saturn není dokonale kulový. Vzdálenost od středu k rovníku je větší než vzdálenost od středu k pólu. Je to proto, že Saturn rotuje a není to pevný objekt. Představte si rotující těsto na pizzu – to samé, jen se jedná o Saturn. Ve skutečnosti můžete změřit polární i rovníkový poloměr pomocí stejné myšlenky – ale já budu jen předstírat, že Saturn je koule.
Pokud je to koule, pak by objem byl:
Ale jak získáte poloměr (nebo průměr). Prvním krokem je podívat se na úhlovou velikost. Pokud znáte úhlovou velikost objektu a vzdálenost k tomuto objektu, můžete zjistit velikost. Zde je obrázek, který jsem již několikrát použil a který tento vztah ukazuje.
Je-li tedy objekt dostatečně daleko nebo dostatečně malý, pak výška (nebo délka) bude přibližně rovna délce oblouku kružnice o poloměru stejném jako vzdálenost. Velikost objektu bude prostě úhlová velikost vynásobená vzdáleností objektu.
Ale jak se vůbec měří úhlová velikost? No, pokud máte obrázek, musíte znát úhlové zorné pole vašeho fotoaparátu – to jsem experimentálně provedl s iPhonem. V dobách před fotoaparáty stačilo použít dalekohled. Změřit úhlovou velikost pomocí objektivu není příliš obtížné. Stačí určit úhlové zorné pole pro objektiv a pak tam dát nějaké značky, abyste mohli odhadnout zlomek pole pro úhlovou velikost objektu.
To je skvělé, ale závisí to na něčem dost důležitém. Jak daleko je Saturn? Zde přichází ke slovu Johannes Kepler. Na základě dostupných údajů Kepler přišel se třemi modely pohybu objektů ve sluneční soustavě.
- Dráha objektu ve sluneční soustavě je elipsa se Sluncem v ohnisku.
- Když se objekt přibližuje ke Slunci, zrychluje se. Kepler šel ještě dál a řekl, že za daný časový interval objekt vymetá stejnou plochu bez ohledu na to, kde se na své dráze nachází.
- Oběžná doba souvisí s oběžnou vzdáleností (poloosou). Ve skutečnosti je čtverec periody úměrný (ale nerovná se) krychli poloosy.
Keplerovy zákony pohybu planet nejsou novou fyzikou. Pokud chcete, mohli byste stejný soubor zákonů získat pomocí principu hybnosti a gravitační síly, která je úměrná jedné na čtverec vzdálenosti. Nicméně zákony fungují a právě poslední zákon je zde užitečný. Znám-li oběžnou dobu Saturnu a Země, pak mohu napsat:
T je běžný fyzikální symbol pro periodu a na jednotkách času nezáleží. Konstanta úměrnosti k se ruší, když jednu rovnici vydělím druhou. Nakonec mám výraz pro polohlavní osu pro Saturn. Kdyby byl Saturn na kruhové dráze, byl by to poloměr a vzdálenost od Slunce. Aha! Ale ve skutečnosti nemám k dispozici vzdálenost Země od Saturnu. Vzdálenost k Saturnu mohu získat z hlediska vzdálenosti od Slunce k Zemi. Pro zjednodušení nazýváme tuto vzdálenost Země-Slunce 1 astronomickou jednotkou (AU). To je skvělé a vůbec, ale kdybych tuto jednotku (AU) použil pro velikost Saturnu, dostal bych hustotu v nějakých podivných jednotkách – kg/AU3. Abychom mohli porovnat hustotu Saturnu s hustotou vody, potřebujeme vzdálenost v něčem užitečném – třeba v metrech nebo možná metrech.
Jak zjistíte hodnotu 1 AU v metrech? Existuje několik způsobů. Jedním ze způsobů, jak tuto vzdálenost zjistit, je řecký způsob. Ano, řečtí astronomové to udělali někdy kolem roku 500 před naším letopočtem. Zde je zkrácená verze toho, jak to dělali:
- Pomocí stínů na různých místech Země určete poloměr Země.
- Předpokládejte, že se Měsíc pohybuje po kružnici kolem Země. Určete rozdíl mezi vypočtenou polohou (podle středu Země) a skutečnou polohou (měřenou od povrchu) a určete vzdálenost (a velikost) Měsíce.
- Změřte úhel mezi Sluncem a Měsícem, když je fáze Měsíce čtvrt. Vznikne tak pravoúhlý trojúhelník. Když už znáte vzdálenost Země od Měsíce, můžete získat vzdálenost (a velikost) Měsíce.
Tady je starší příspěvek, který ukazuje více podrobností při těchto měřeních. Snad již vidíte problém této metody. Pokud jsou vaše měření pro velikost Země špatně, pak je špatně i všechno ostatní. Řecké určení vzdálenosti ke Slunci nebylo příliš přesné.
Lepší způsob, jak získat vzdálenost Země-Slunce, je použít tranzit Venuše. Při něm Venuše prochází mezi Zemí a Sluncem. Pokud změříte čas začátku a konce z různých míst na Zemi, můžete získat hodnotu vzdálenosti Země-Slunce. Zde je příklad s moderními údaji.
Výše uvedené způsoby zjištění vzdálenosti k Saturnu se mi líbí, protože teoreticky byste to mohli udělat sami. Samozřejmě existují ještě lepší (přesnější) způsoby, jak to zjistit, ale jde o to, že byste skutečně mohli zjistit vzdálenost k Saturnu a tím i jeho velikost. Pomocí poloměru byste mohli zjistit objem.
Hmotnost
K zjištění hmotnosti nemůžeme použít pouze Keplerovy zákony. Ne, musíme použít něco fundamentálnějšího z fyziky. Stručně řečeno, hmotnost Saturnu můžeme zjistit tak, že se podíváme na jeden ze Saturnových měsíců. Pokud známe oběžnou vzdálenost a oběžnou periodu jednoho z měsíců, můžeme zjistit hmotnost. Všimněte si, že se to liší od toho, co jsme výše udělali pro zjištění objemu. V tom případě jsme ke zjištění vzdálenosti použili oběžnou dobu Saturnu při jeho pohybu kolem Slunce. Zde potřebujeme jak vzdálenost, tak periodu měsíce.
Začněme základními fyzikálními údaji. Zde je diagram největšího Saturnova měsíce, Titanu, při jeho oběhu kolem Slunce.
Gravitační síla závisí jak na hmotnosti Saturnu a Titanu, tak na vzdálenosti mezi nimi. Velikost lze zapsat jako:
Kde G je právě univerzální gravitační konstanta. Princip hybnosti říká, že tato gravitační síla mění hybnost. Protože tato síla je kolmá na hybnost (p), pak síla mění pouze směr hybnosti, nikoli její velikost. Ukázalo se, že princip hybnosti mohu zapsat v podobě gravitační síly a úhlové rychlosti Titanu při jeho oběhu.
Vím, že jsem některé kroky přeskočil, ale jde o to, že existuje vztah mezi hmotností Saturnu, velikostí oběžné dráhy a oběžnou rychlostí. Když místo úhlové rychlosti dosadím periodu (perioda = 2π/ω), mohu vyřešit hmotnost Saturnu.
Teď už potřebujete jen tři věci: G, velikost dráhy a periodu dráhy pro Titan. Perioda je celkem snadná. Stačí planetu nějakou dobu pozorovat dalekohledem a počítat dny, než Titan vykoná úplnou cestu kolem planety Saturn (asi 16 dní). Ani velikost oběžné dráhy není příliš těžké zjistit. V podstatě pro ni uděláte totéž co pro velikost Saturnu – použijete vzdálenost a úhlovou velikost.
Gravitační konstantu lze zjistit pomocí Cavendishova experimentu. V podstatě jde o to, že některá malá tělesa na rotující tyči jsou přitahována většími nehybnými tělesy. Pozorováním zkroucení tyče lze určit gravitační sílu, a tedy G.
A to je vše. Jakmile máte hmotnost a objem, můžete vypočítat hustotu. Vidíš, je to jednoduché.