Základní konstrukcí v této části je tečkový součin, který měří úhly mezi vektory a počítá délku vektoru.
Definice
Dotový součin dvou vektorů x,y v Rn je
Považujeme-li x,y za sloupcové vektory, je to stejné jako xTy.
Například,
Všimněte si, že bodový součin dvou vektorů je skalár.
S tečkovým součinem můžete provádět aritmetiku většinou jako obvykle, pokud si pamatujete, že tečkovat můžete pouze dva vektory a že výsledek je skalár.
Vlastnosti tečkového součinu
Nechť x,y,z jsou vektory v Rn a nechť c je skalár.
- Komutativita: x-y=y-x.
- Distributivita se sčítáním: (x+y)-z=x-z+y-z.
- Distributivita se skalárním násobením: (cx)-y=c(x-y).
Důležitým speciálním případem je tečkový součin vektoru se sebou samým:
Pro libovolný vektor x tedy máme:
- x-x≥0
- x-x=0⇐⇒x=0.
To vede k dobré definici délky.
Fakt
Délka vektoru x v Rn je číslo
Je snadné zjistit, proč to platí pro vektory v R2, podle Pythagorovy věty.
Pro vektory v R3 lze ověřit, že AxA je skutečně délka x, i když to nyní vyžaduje dvě aplikace Pythagorovy věty.
Poznamenejme, že délka vektoru je délka šipky; pokud uvažujeme v bodech, pak délka je jeho vzdálenost od počátku.
Fakt
Je-li x vektor a c je skalár, pak AcxA=|c|-AxA.
To říká, že škálování vektoru o c škáluje jeho délku o |c|. Například,
Teď, když máme dobrý pojem délky, můžeme definovat vzdálenost mezi body v Rn. Připomeňme si, že rozdíl mezi dvěma body x,y je přirozeně vektor, konkrétně vektor y-x směřující z x do y.
Definice
Vzdálenost mezi dvěma body x,y v Rn je délka vektoru z x do y:
Vektory s délkou 1 jsou v aplikacích velmi časté, proto jim dáme jméno.
Definice
Jednotkový vektor je vektor x o délce AxA=Bx-x=1.
Standardní souřadnicové vektory e1,e2,e3,…. jsou jednotkové vektory:
Pro každý nenulový vektor x existuje jedinečný jednotkový vektor směřující stejným směrem. Získáme ho dělením délkou x.
Fakt
Nechť x je nenulový vektor v Rn. Jednotkový vektor ve směru x je vektor x/AxA.
To je vlastně jednotkový vektor (všimněte si, že AxA je kladné číslo, takže CC1/AxACC=1/AxA):
.