Fyzika

Cíle učení

Na konci této části budete schopni:

• Připojit lineární hybnost fotonu k jeho energii nebo vlnové délce a aplikovat zachování lineární hybnosti na jednoduché procesy zahrnující emisi, absorpci nebo odraz fotonu.
• Kvalitativně vysvětlit nárůst vlnové délky fotonu, který pozorujeme, a vysvětlit význam Comptonovy vlnové délky.

Obrázek 1. Chvosty komety Hale-Bopp směřují od Slunce, což je důkaz, že světlo má hybnost. Tento ohon tvoří prach vycházející z tělesa komety. Částice prachu jsou tlačeny směrem od Slunce světlem, které se od nich odráží. Modrý ohon ionizovaného plynu vzniká také interakcí fotonů s atomy v materiálu komety. (credit: Geoff Chester, U.S. Navy, via Wikimedia Commons)

Vytváření souvislostí: Zachování hybnosti

Nejenže se hybnost zachovává ve všech oblastech fyziky, ale zjistilo se, že všechny typy částic mají hybnost. Očekáváme, že částice s hmotností budou mít hybnost, ale nyní vidíme, že i částice bez hmotnosti včetně fotonů nesou hybnost.

Obrázek 2: Zachování hybnosti. Comptonův jev je název pro rozptyl fotonu elektronem. Energie a hybnost se zachovávají, což vede ke snížení obou hodnot pro rozptýlený foton. Studiem tohoto jevu Compton ověřil, že fotony mají hybnost.

Příklad 1. Vliv fotonové hybnosti na fotonovou hybnost se projevuje při interakci elektronu s nejlehčí částicí. Porovnání hybnosti elektronu a fotonu

1. Vypočítejte hybnost viditelného fotonu, který má vlnovou délku 500 nm.
2. Zjistěte rychlost elektronu, který má stejnou hybnost.
3. Jaká je energie elektronu a jaká je v porovnání s energií fotonu?

Strategie

Zjištění hybnosti fotonu je jednoduchou aplikací jeho definice: p=\frac{h}{\lambda}\. Pokud zjistíme, že hybnost fotonu je malá, pak můžeme předpokládat, že elektron se stejnou hybností bude nerelativistický, což usnadní nalezení jeho rychlosti a kinetické energie z klasických vzorců.

Řešení pro část 1

Hybnost fotonu je dána rovnicí: p=\frac{h}{\lambda}\.

Zadáním dané vlnové délky fotonu získáme

\displaystyle{p}=\frac{6,63\times10^{-34}\text{ J }\cdot\text{ s}}{500\times10^{-9}\text{ m}}=1.33\times10^{-27}\text{ kg}\cdot\text{ m/s}\

Řešení pro 2. část

Protože je tato hybnost skutečně malá, použijeme k nalezení rychlosti elektronu s touto hybností klasický výraz p = mv. Řešením v a použitím známé hodnoty hmotnosti elektronu dostaneme

\displaystyle{v}=\frac{p}{m}=\frac{1,33\times10^{-27}\text{ kg}\cdot\text{ m/s}}{9.11\times10^{-31}\text{ kg}}=1460\text{ m/s}\přibližně1460\text{ m/s}\

Řešení pro část 3

Elektron má kinetickou energii, která je klasicky dána vztahem \text{KE}_e=\frac{1}{2}mv^2\\.

Tedy \text{KE}_e=\frac{1}{2}\left(9,11\times10^{-3}\text{ kg}\right)\left(1455\text{ m/s}\right)^2=9.64\times10^{-25}\text{ J}\.

Převedením na eV vynásobením \frac{1\text{ eV}}{1,602\times10^{-19}\text{ J}}\\ získáme KEe = 6,02 × 10-6 eV.

Energie fotonu E je

E=\frac{hc}{\lambda}=\frac{1240\text{ eV}\cdot\text{ nm}}{500\text{ nm}}=2.48\text{ eV}\,

což je asi o pět řádů více.

Diskuse

Moment hybnosti fotonu je skutečně malý. I když jich máme obrovské množství, celková hybnost, kterou nesou, je malá. Elektron se stejnou hybností má rychlost 1460 m/s, což je zjevně nerelativistické. Hmotnější částice se stejnou hybností by měla ještě menší rychlost. To potvrzuje skutečnost, že k tomu, aby elektron získal stejnou hybnost jako foton, je zapotřebí mnohem méně energie. V kvantově-mechanickém měřítku, zejména pro vysokoenergetické fotony interagující s malými hmotnostmi, je však hybnost fotonu významná. Dokonce i ve velkém měřítku může mít hybnost fotonů vliv, pokud je jich dostatek a pokud nic nebrání pomalému zpětnému rázu hmoty. Jedním z příkladů jsou ohony komet, ale existují také návrhy na stavbu vesmírných plachet, které využívají obrovská zrcadla s nízkou hmotností (z aluminizovaného mylaru) k odrazu slunečního světla. Ve vesmírném vakuu by se zrcadla postupně odvíjela a mohla by skutečně dopravovat kosmické lodě z místa na místo ve sluneční soustavě. (Viz obrázek 3.)

Obrázek 3. (a) Byly navrženy kosmické plachty, které využívají hybnost slunečního světla odrážejícího se od gigantických plachet s nízkou hmotností k pohonu kosmických lodí po sluneční soustavě. Ruský zkušební model této plachty (Cosmos 1) byl vypuštěn v roce 2005, ale kvůli selhání rakety se nedostal na oběžnou dráhu. (b) Americká verze tohoto systému, označená LightSail-1, má být zkušebně vypuštěna v první polovině tohoto desetiletí. Bude mít plachtu o ploše 40 m2. (kredit: Kim Newton/NASA)

Detektory fotonů

Téměř všechny detekční systémy, o kterých jsme dosud hovořili – oči, fotografické desky, fotonásobiče v mikroskopech a CCD kamery – jsou založeny na částicových vlastnostech fotonů interagujících s citlivou oblastí. Dojde ke změně, která se buď kaskádovitě opakuje, nebo jsou zaznamenány miliony bodů, z nichž se vytvoří obraz, který detekujeme. Tyto detektory se používají v biomedicínských zobrazovacích systémech a probíhá výzkum zaměřený na zlepšení účinnosti příjmu fotonů, zejména chlazením detekčních systémů a snížením tepelných účinků.

Příklad 2. Zlepšení účinnosti příjmu fotonů. Energie a hybnost fotonu

Ukažte, že p=\frac{E}{c}\\ pro foton uvažovaný v příkladu 1.

Strategie

Vezmeme energii E zjištěnou v příkladu 1, vydělíme ji rychlostí světla a zjistíme, zda dostaneme stejnou hybnost jako dříve.

Řešení

Podle toho, že energie fotonu je 2,48 eV a převedeme ji na jouly, dostaneme

p=\frac{E}{c}=\frac{\left(2.48\text{ eV}\right)\left(1.60\times10^{-16}\text{ J/eV}\right)}{3.00\times10^8\text{ m/s}}=1.33\times10^{-27}\text{ kg }\cdot\text{ m/s}\

Diskuse

Tato hodnota hybnosti je stejná jako dříve zjištěná hodnota (všimněte si, že ve všech výpočtech se používají nezaokrouhlené hodnoty, aby se zabránilo i malým zaokrouhlovacím chybám), což je očekávané ověření vztahu p=\frac{E}{c}\\. To také znamená, že vztah mezi energií, hybností a hmotností daný vztahem E2 = (pc)2 + (mc)2 platí jak pro hmotu, tak pro fotony. Ještě jednou si všimněte, že p není nulové, i když m je.

Návod na řešení problémů

Poznamenejte, že tvary konstant h = 4,14 × 10-15 eV ⋅ s a hc = 1240 eV ⋅ nm mohou být zvláště užitečné pro úlohy a cvičení této části.

Pojmové otázky

1. Který vzorec lze použít pro hybnost všech částic s hmotností nebo bez ní?
2. Je nějaký měřitelný rozdíl mezi hybností fotonu a hybností hmoty?
3. Proč necítíme hybnost slunečního světla, když jsme na pláži?

Problémy & Cvičení

1. (a) Najděte hybnost mikrovlnného fotonu o vlnové délce 4,00 cm. (b) Diskutujte o tom, proč očekáváte, že odpověď na otázku (a) bude velmi malá.
2. (a) Jaká je hybnost fotonu o vlnové délce 0,0100 nm, který by mohl detekovat detaily atomu? (b) Jaká je jeho energie v MeV?
3. (a) Jaká je vlnová délka fotonu, který má hybnost 5,00 × 10-29 kg – m/s? (b) Určete jeho energii v eV.
4. (a) Foton záření γ má hybnost 8,00 × 10-21 kg – m/s. Jaká je jeho energie? Jaká je jeho vlnová délka? (b) Vypočítejte jeho energii v MeV.
5. (a) Vypočítejte hybnost fotonu o vlnové délce 2,50 μm. (b) Určete rychlost elektronu, který má stejnou hybnost. (c) Jaká je kinetická energie elektronu a jaká je v porovnání s energií fotonu?
6. Zopakujte předchozí úlohu pro foton o vlnové délce 10,0 nm.
7. (a) Vypočítejte vlnovou délku fotonu, který má stejnou hybnost jako proton pohybující se rychlostí 1,00 % rychlosti světla. (b) Jaká je energie tohoto fotonu v MeV? (c) Jaká je kinetická energie protonu v MeV?“
8. (a) Určete hybnost rentgenového fotonu o energii 100 keV. (b) Určete ekvivalentní rychlost neutronu se stejnou hybností. (c) Jaká je kinetická energie neutronu v keV?
9. Vezměte poměr relativistické klidové energie, E = γmc2, k relativistické hybnosti, p = γmu, a ukažte, že v limitě, kdy se hmotnost blíží nule, najdete \frac{E}{p}=c\\.
10. Sestavte vlastní úlohu. Uvažujte prostorovou plachtu, jaká je uvedena v příkladu 1. Sestavte úlohu, ve které vypočtete tlak světla na plachtu v N/m2 vzniklý odrazem slunečního světla. Vypočítejte také, jaká síla by mohla vzniknout a jak velký vliv by měla na kosmickou loď. V úvahu je třeba vzít mimo jiné intenzitu slunečního světla, jeho průměrnou vlnovou délku, počet fotonů na metr čtvereční, který z toho vyplývá, plochu kosmické plachty a hmotnost urychlované soustavy.
11. Nepřiměřené výsledky. Auto pociťuje malou sílu způsobenou světlem, které vysílá ze svých světlometů, rovnající se hybnosti světla dělené časem, za který je vyzařováno. (a) Vypočítejte sílu každého světlometu, jestliže působí na auto celkovou silou 2,00 × 10-2 N směrem dozadu. (b) Co je na tomto výsledku nerozumného? (c) Které předpoklady jsou nesmyslné nebo nekonzistentní?

Vybraná řešení úloh & Cvičení

1. (a) 1,66 × 10-32 kg ⋅ m/s; (b) Vlnová délka mikrovlnných fotonů je velká, takže hybnost, kterou nesou, je velmi malá

3. (a) 13,3 μm; (b) 9,38 × 10-2 eV

5. (a) 13,3 μm; (b) 9,38 × 10-2 eV. (a) 2,65 × 10-28 kg – m/s; (b) 291 m/s; (c) elektron 3,86 × 10-26 J, foton 7,96 × 10-20 J, poměr 2,06 × 106

7. (a) 1,32 × 10-13 m; (b) 9,39 MeV; (c) 4,70 × 10-2 MeV

9. (a) 1,32 × 10-13 m; (b) 9,39 MeV; (c) 4,70 × 10-2 MeV. E = γmc2 a P = γmu, takže

\displayystyle\frac{E}{P}=\frac{{\gamma{mc}}^{2}}{\gamma{mu}}=\frac{c^2}{u}\

Jakmile se hmotnost částice bude blížit nule, její rychlost u se bude blížit c , takže poměr energie a hybnosti v této limitě je

\displaystyle\lim_{m\to0}\frac{E}{P}=\frac{{c}^{2}}{c}=c\

což je v souladu s rovnicí pro energii fotonu.

11. (a) 3,00 × 106 W; (b) světlomety jsou příliš jasné; (c) síla je příliš velká.