Zobrazit upozornění pro mobilní zařízení Zobrazit všechny poznámky Skrýt všechny poznámky
Podkapitola 7-7 : Druhy nekonečna
Většina studentů se někdy před hodinou matematiky setkala s nekonečnem. Když se s ním však setkali, byl to jen symbol používaný k vyjádření opravdu, ale opravdu velkého kladného nebo opravdu, ale opravdu velkého záporného čísla a tím to končilo. Jakmile se studenti dostanou do hodin matematiky, jsou požádáni, aby provedli základní algebru s nekonečnem, a zde se dostanou do potíží. Nekonečno NENÍ číslo a většinou se jako číslo nechová. Přesto však budeme v této části uvažovat o nekonečnu jako o opravdu, opravdu, opravdu velkém čísle, které je tak velké, že neexistuje jiné číslo větší než ono. To samozřejmě není správné, ale může to pomoci při diskusi v této části. Všimněte si také, že vše, co budeme v této části probírat, platí pouze pro reálná čísla. Pokud přejdete například ke komplexním číslům, věci se mohou změnit a mění se.
Začněme tedy uvažovat o sčítání s nekonečnem. Když sečtete dvě nenulová čísla, dostanete nové číslo. Například \(4 + 7 = 11\). U nekonečna to neplatí. S nekonečnem máte následující:
\
Jinými slovy, opravdu, opravdu velké kladné číslo (\(\infty \)) plus libovolné kladné číslo, bez ohledu na velikost, je stále opravdu, opravdu velké kladné číslo. Stejně tak můžete k opravdu, ale opravdu velkému kladnému číslu přičíst záporné číslo (tj. \(a < 0\)) a zůstane opravdu, ale opravdu velké a kladné. Sčítání zahrnující nekonečno lze tedy řešit intuitivním způsobem, pokud jste opatrní. Všimněte si také, že \(a\) NESMÍ být záporné nekonečno. Pokud je, nastávají vážné problémy, které musíme řešit, jak uvidíme za chvíli.
Subtrakci se záporným nekonečnem lze ve většině případů také řešit intuitivním způsobem. Opravdu, opravdu velké záporné číslo minus libovolné kladné číslo, bez ohledu na jeho velikost, je stále opravdu, opravdu velké záporné číslo. Odečtení záporného čísla (tj. \(a < 0\)) od opravdu, ale opravdu velkého záporného čísla bude stále opravdu, ale opravdu velké záporné číslo. Nebo,
\
Znovu platí, že \(a\) nesmí být záporné nekonečno, abychom se vyhnuli potenciálně vážným potížím.
S násobením se lze vypořádat také poměrně intuitivně. Opravdu, opravdu velké číslo (kladné nebo záporné) vynásobené libovolným číslem, bez ohledu na jeho velikost, je stále opravdu, opravdu velké číslo, jen si budeme muset dávat pozor na znaménka. V případě násobení máme
\
To, co víte o součinu kladných a záporných čísel, platí i zde.
Některé formy dělení lze řešit také intuitivně. Opravdu velké číslo dělené číslem, které není příliš velké, je stále opravdu velké číslo.
\
Dělení čísla nekonečnem je do jisté míry intuitivní, ale je zde několik jemností, které je třeba si uvědomit. Když mluvíme o dělení nekonečnem, mluvíme ve skutečnosti o limitním procesu, při kterém jmenovatel směřuje k nekonečnu. Takže číslo, které není příliš velké, děleno stále větším číslem, je stále menším číslem. Jinými slovy, v limitě máme,
\
Takže jsme se zabývali téměř každou základní algebraickou operací zahrnující nekonečno. Existují dva případy, kterými jsme se ještě nezabývali. Jsou to
\
Problém s těmito dvěma případy spočívá v tom, že intuice zde příliš nepomáhá. Opravdu, opravdu velké číslo minus opravdu, opravdu velké číslo může být cokoli (\( – \infty \), konstanta nebo \(\infty \)). Podobně opravdu, ale opravdu velké číslo dělené opravdu, ale opravdu velkým číslem může být také cokoli (\( \pm \infty \) – to závisí na problémech se znaménkem, 0 nebo nenulovou konstantou).
Je třeba si uvědomit, že existují opravdu, ale opravdu velká čísla a pak existují opravdu, ale opravdu velká čísla. Jinými slovy, některá nekonečna jsou větší než jiná nekonečna. U sčítání, násobení a prvních sad dělení, se kterými jsme pracovali, to nebyl problém. Obecná velikost nekonečna prostě nemá v těchto případech na odpověď vliv. U výše uvedených případů odčítání a dělení však na tom záleží, jak uvidíme.
Jedním ze způsobů, jak o této myšlence, že některá nekonečna jsou větší než jiná, přemýšlet. Je to poměrně suchý a technický způsob, jak o tom přemýšlet, a vaše úlohy z matematiky pravděpodobně tuto látku nikdy nepoužijí, ale je to pěkný způsob, jak se na to dívat. Všimněte si také, že se zde nesnažím podat přesný důkaz čehokoli. Snažím se vám jen trochu přiblížit problémy s nekonečnem a to, jak lze některá nekonečna považovat za větší než jiná. Mnohem lepší (a rozhodně přesnější) diskusi najdete,
http://www.math.vanderbilt.edu/~schectex/courses/infinity.pdf
Začněme tím, kolik je celých čísel. Je jasné, že jich je, doufám, nekonečně mnoho, ale pokusme se lépe pochopit „velikost“ tohoto nekonečna. Vyberte si tedy zcela náhodně libovolná dvě celá čísla. Začněte u menšího z nich a vyjmenujte v rostoucím pořadí všechna celá čísla, která následují po něm. Nakonec dojdeme k většímu ze dvou celých čísel, které jste vybrali.
V závislosti na relativní velikosti těchto dvou celých čísel může trvat velmi, velmi dlouho, než vyjmenujeme všechna celá čísla mezi nimi a nemá smysl to dělat. Ale dalo by se to udělat, kdybychom chtěli, a to je to důležité.
Protože bychom mohli vypsat všechna tato celá čísla mezi dvěma náhodně vybranými celými čísly, říkáme, že celá čísla jsou spočetně nekonečná. Opět neexistuje žádný skutečný důvod, proč to skutečně dělat, je to prostě něco, co lze udělat, pokud bychom se pro to rozhodli.
Obecně se množina čísel nazývá spočetně nekonečná, pokud můžeme najít způsob, jak je všechna vypsat. V přesnějším matematickém prostředí se to obvykle dělá pomocí speciálního druhu funkce nazývané bijekce, která spojuje každé číslo v množině s přesně jedním z kladných celých čísel. Podrobnější informace o tom najdete ve výše uvedeném pdf.
Lze také ukázat, že množina všech zlomků je také spočetně nekonečná, i když to je o něco těžší ukázat a není to vlastně účelem této diskuse. Důkaz tohoto tvrzení naleznete ve výše uvedeném pdf. Je v něm velmi pěkný důkaz tohoto faktu.
Pokusme se proti tomu zjistit, kolik čísel je v intervalu \( \levá(0,1\pravá) \). Čísly myslím všechny možné zlomky, které leží mezi nulou a jedničkou, a také všechna možná desetinná čísla (která nejsou zlomky), která leží mezi nulou a jedničkou. Následující důkaz je podobný důkazu uvedenému v pdf výše, ale byl dostatečně pěkný a jednoduchý (doufám), že jsem ho chtěl uvést i zde.
Na začátek předpokládejme, že všechna čísla v intervalu \( \left(0,1\right) \) jsou spočetně nekonečná. To znamená, že by měl existovat způsob, jak je všechna vypsat. Mohli bychom mít něco takového,
\
Nyní vybereme \(i\)-tou desetinnou číslici z \({x_i}\), jak je uvedeno níže
\
a vytvoříme nové číslo s těmito číslicemi. V našem příkladu bychom tedy měli číslo
\
V tomto novém desetinném čísle nahradíme všechny trojky jedničkou a každou další číslici nahradíme trojkou. V případě našeho příkladu by tak vzniklo nové číslo
\
Všimněte si, že toto číslo je v intervalu \( \left(0,1\right) \) a také si všimněte, že vzhledem k tomu, jak volíme číslice čísla, nebude toto číslo rovno prvnímu číslu v našem seznamu, \({x_1}\), protože první číslice každého z nich zaručeně nebude stejná. Stejně tak toto nové číslo nebude stejné jako druhé číslo v našem seznamu, \({x_2}\), protože druhá číslice každého z nich zaručeně není stejná. Pokračujeme-li tímto způsobem, vidíme, že toto nové číslo, které jsme sestrojili, \(\overline x \), zaručeně nebude v našem seznamu. To však odporuje původnímu předpokladu, že můžeme vypsat všechna čísla v intervalu \( \levo(0,1\pravo) \). Z toho vyplývá, že nelze vypsat všechna čísla v intervalu \( \left(0,1\right) \).
Množiny čísel, jako jsou všechna čísla v \( \left(0,1\right) \), které nemůžeme vypsat do seznamu, se nazývají nepočetně nekonečné.
Důvod, proč se tím zabýváme, je následující. Nekonečno, které je nepočitatelně nekonečné, je podstatně větší než nekonečno, které je pouze počitatelně nekonečné. Vezmeme-li tedy rozdíl dvou nekonečen, máme několik možností.
\
Všimněte si, že jsme nezapsali rozdíl dvou nekonečen stejného typu. V závislosti na kontextu by stále mohly existovat nejasnosti ohledně toho, jaká by v tomto případě byla odpověď, ale to je úplně jiné téma.
Něco podobného bychom mohli udělat i pro kvocient nekonečna.
\
Znovu jsme se vyhnuli kvocientu dvou nekonečen stejného typu, protože opět v závislosti na kontextu by stále mohly existovat nejasnosti ohledně jeho hodnoty.
Tak to je vše a doufáme, že jste se z této diskuse něco naučili. Nekonečno prostě není číslo, a protože existují různé druhy nekonečna, obecně se nechová jako číslo. Při zacházení s nekonečnem buďte opatrní.