Visa mobilmeddelande Visa alla anteckningar Visa alla anteckningar Dölj alla anteckningar
Avsnitt 7-7 : Typer av oändlighet
De flesta elever har stött på oändlighet någon gång före en kalkylkurs. När de har behandlat det var det dock bara en symbol som användes för att representera ett riktigt, riktigt stort positivt eller riktigt, riktigt stort negativt tal och det var det enda som gällde. När de väl kommer in i en kalkylkurs ombeds eleverna att göra lite grundläggande algebra med oändligheten och det är här de får problem. Oändligheten är INTE ett tal och beter sig för det mesta inte som ett tal. Men trots det kommer vi i det här avsnittet att tänka på oändligheten som ett riktigt, riktigt, riktigt, riktigt stort tal som är så stort att det inte finns något annat tal som är större än det. Detta är naturligtvis inte korrekt men kan vara till hjälp för diskussionen i detta avsnitt. Observera också att allt som vi kommer att diskutera i det här avsnittet endast gäller för reella tal. Om du går över till komplexa tal till exempel kan saker och ting förändras och gör det också.
Så, låt oss börja tänka på addition med oändligheten. När du adderar två tal som inte är noll får du ett nytt tal. Till exempel \(4 + 7 = 11\). Med oändlighet är detta inte sant. Med oändligheten har du följande:
\
Med andra ord är ett riktigt, riktigt stort positivt tal (\(\(\infty \)) plus vilket positivt tal som helst, oavsett storlek, fortfarande ett riktigt, riktigt stort positivt tal. På samma sätt kan man lägga till ett negativt tal (dvs. \(a < 0\)) till ett riktigt, riktigt stort positivt tal och förbli riktigt, riktigt stort och positivt. Så addition som involverar oändlighet kan hanteras på ett intuitivt sätt om man är försiktig. Observera också att \(a\) INTE får vara negativ oändlighet. Om den är det finns det några allvarliga problem som vi måste ta itu med som vi kommer att se om en stund.
Subtraktion med negativ oändlighet kan också hanteras på ett intuitivt sätt i de flesta fall också. Ett riktigt, riktigt stort negativt tal minus ett positivt tal, oavsett storlek, är fortfarande ett riktigt, riktigt stort negativt tal. Om man subtraherar ett negativt tal (dvs. \(a < 0\)) från ett riktigt, riktigt stort negativt tal blir det fortfarande ett riktigt, riktigt stort negativt tal. Eller,
\
Också \(a\) får inte vara negativ oändlighet för att undvika några potentiellt allvarliga svårigheter.
Multiplikation kan också hanteras ganska intuitivt. Ett riktigt, riktigt stort tal (positivt eller negativt) gånger vilket tal som helst, oavsett storlek, är fortfarande ett riktigt, riktigt stort tal vi måste bara vara försiktiga med tecknen. När det gäller multiplikation har vi
\
Vad du vet om produkter av positiva och negativa tal gäller fortfarande här.
Vissa former av division kan också hanteras intuitivt. Ett riktigt, riktigt stort tal dividerat med ett tal som inte är för stort är fortfarande ett riktigt, riktigt stort tal.
\
Division av ett tal med oändligheten är något intuitivt, men det finns ett par subtiliteter som du måste vara medveten om. När vi talar om division med oändligheten talar vi egentligen om en begränsningsprocess där nämnaren går mot oändligheten. Så ett tal som inte är för stort dividerat ett allt större tal är ett allt mindre tal. Med andra ord, i gränsen har vi,
\
Så, vi har behandlat nästan alla grundläggande algebraiska operationer som involverar oändlighet. Det finns två fall som vi inte har behandlat ännu. Dessa är
\
Problemet med dessa två fall är att intuitionen inte riktigt hjälper här. Ett riktigt, riktigt stort tal minus ett riktigt, riktigt stort tal kan vara vad som helst (\( – \infty \), en konstant eller \(\infty \)). På samma sätt kan ett riktigt, riktigt stort tal dividerat med ett riktigt, riktigt stort tal också vara vad som helst (\( \pm \infty \) – detta beror på teckenfrågor, 0, eller en konstant som inte är noll).
Vad vi måste komma ihåg här är att det finns riktigt, riktigt stora tal och sedan finns det riktigt, riktigt, riktigt, riktigt stora tal. Med andra ord är vissa oändligheter större än andra oändligheter. Med addition, multiplikation och de första uppsättningarna av division som vi arbetade var detta inget problem. Den allmänna storleken på oändligheten påverkar helt enkelt inte svaret i dessa fall. Med subtraktions- och divisionsfallen ovan spelar det dock roll som vi kommer att se.
Här är ett sätt att tänka på denna idé att vissa oändligheter är större än andra. Detta är ett ganska torrt och tekniskt sätt att tänka på detta och dina kalkylproblem kommer förmodligen aldrig att använda detta, men det är ett trevligt sätt att se på detta. Observera också att jag inte försöker ge ett exakt bevis för någonting här. Jag försöker bara ge dig en liten inblick i problemen med oändligheten och hur vissa oändligheter kan betraktas som större än andra. För en mycket bättre (och definitivt mer exakt) diskussion se,
http://www.math.vanderbilt.edu/~schectex/courses/infinity.pdf
Låt oss börja med att titta på hur många heltal det finns. Det är klart, hoppas jag, att det finns ett oändligt antal, men låt oss försöka få ett bättre grepp om ”storleken” på denna oändlighet. Välj två heltal helt slumpmässigt. Börja med det minsta av de två och lista i stigande ordning alla heltal som kommer efter det. Så småningom kommer vi att nå det större av de två heltalen som du valde.
Avhängigt av de två heltalens relativa storlek kan det ta väldigt, väldigt lång tid att räkna upp alla heltalen mellan dem och det finns egentligen inget syfte med att göra det. Men det skulle kunna göras om vi ville och det är det viktiga.
För att vi skulle kunna räkna upp alla dessa heltal mellan två slumpmässigt valda heltal säger vi att heltalen är räknebart oändliga. Återigen finns det ingen riktig anledning att faktiskt göra detta, det är helt enkelt något som kan göras om vi skulle välja att göra det.
I allmänhet kallas en mängd tal för räknebart oändlig om vi kan hitta ett sätt att räkna upp dem alla. I en mer exakt matematisk miljö görs detta i allmänhet med en speciell typ av funktion som kallas en bijektion som associerar varje tal i mängden med exakt ett av de positiva heltalen. För att se lite mer detaljer om detta se den pdf som ges ovan.
Det går också att visa att mängden av alla bråk också är räknebart oändlig, även om detta är lite svårare att visa och egentligen inte är syftet med den här diskussionen. För att se ett bevis för detta se den pdf som ges ovan. Den har ett mycket fint bevis för detta faktum.
Låt oss kontrastera detta genom att försöka räkna ut hur många tal det finns i intervallet \( \vänster(0,1\right) \). Med tal menar jag alla möjliga bråk som ligger mellan noll och ett samt alla möjliga decimaler (som inte är bråk) som ligger mellan noll och ett. Följande liknar det bevis som ges i pdf:en ovan men var tillräckligt trevligt och enkelt (hoppas jag) för att jag ville ta med det här.
För att börja antar vi att alla tal i intervallet \( \left(0,1\right) \) är oräkneliga oändliga. Detta innebär att det borde finnas ett sätt att räkna upp dem alla. Vi skulle kunna ha något som liknar följande,
\
Välj nu den \(i\)e decimalen ur \({x_i}\) som visas nedan
\
och bilda ett nytt tal med dessa siffror. I vårt exempel skulle vi alltså få talet
\
I denna nya decimal ersätter vi alla 3:or med en 1 och ersätter alla andra tal med en 3. I fallet med vårt exempel skulle detta ge det nya talet
\
Bemärk att detta tal ligger i intervallet \( \left(0,1\right) \) och märk också att med tanke på hur vi väljer siffrorna i talet kommer detta tal inte att vara lika med det första talet i vår lista, \({x_1}\), eftersom den första siffran i var och en garanterat inte är densamma. På samma sätt kommer detta nya nummer inte att få samma nummer som det andra i vår lista, \({x_2}\), eftersom den andra siffran i varje nummer garanterat inte är densamma. Om vi fortsätter på detta sätt kan vi se att det nya talet vi konstruerat, \(\(\overline x \), garanterat inte kommer att finnas med i vår lista. Men detta motsäger det ursprungliga antagandet att vi kan räkna upp alla tal i intervallet \( \vänster(0,1\right) \). Därför måste det inte vara möjligt att lista alla tal i intervallet \( \left(0,1\right) \).
Mängder av tal, som till exempel alla tal i \( \left(0,1\right) \), som vi inte kan skriva ner i en lista kallas för oräkneligt oändliga.
Anledningen till att vi går igenom detta är följande. En oändlighet som är oräkneligt oändlig är betydligt större än en oändlighet som endast är räknebart oändlig. Så om vi tar skillnaden mellan två oändligheter har vi ett par möjligheter.
\
Bemärk att vi inte satte upp en skillnad mellan två oändligheter av samma typ. Beroende på sammanhanget kan det fortfarande finnas en viss tvetydighet om precis vad svaret skulle vara i det här fallet, men det är ett helt annat ämne.
Vi skulle också kunna göra något liknande för kvot av oändligheter.
\
Även här undvek vi en kvot av två oändligheter av samma typ, eftersom det, återigen beroende på sammanhanget, fortfarande skulle kunna finnas tvetydigheter om värdet av denna.
Det var det, och förhoppningsvis har du lärt dig något av denna diskussion. Oändligheten är helt enkelt inte ett tal och eftersom det finns olika typer av oändlighet beter den sig i allmänhet inte som ett tal. Var försiktig när du hanterar oändligheten.