Den grundläggande konstruktionen i detta avsnitt är punktprodukten, som mäter vinklar mellan vektorer och beräknar längden på en vektor.
Definition
Punktprodukten mellan två vektorer x,y i Rn är
Tänker man sig att x,y är kolonnvektorer är detta detsamma som xTy.
Till exempel,
Bemärk att punktprodukten av två vektorer är en skalär.
Du kan räkna med punktprodukter i stort sett som vanligt, så länge du kommer ihåg att du bara kan pricka ihop två vektorer och att resultatet är en skalär.
Punktproduktens egenskaper
Låt x,y,z vara vektorer i Rn och låt c vara en skalär.
- Kommutativitet: x-y=y-x.
- Distributivitet med addition: (x+y)-z=x-z+y-z.
- Distributivitet med skalär multiplikation: (cx)-y=c(x-y).
Det är ett viktigt specialfall att en vektors punktprodukt är ett viktigt specialfall:
För varje vektor x har vi därför:
- x-x≥0
- x-x=0⇐⇒x=0.
Detta leder till en bra definition av längd.
Fakta
Längden på en vektor x i Rn är talet
Det är lätt att se varför detta gäller för vektorer i R2, genom Pythagoras sats.
För vektorer i R3 kan man kontrollera att AxA verkligen är längden på x, även om det nu kräver två tillämpningar av Pythagoras sats.
Bemärk att längden på en vektor är pilens längd; om vi tänker i termer av punkter är längden dess avstånd från origo.
Fakta
Om x är en vektor och c är en skalär, så är AcxA=|c|-AxA.
Detta säger att om man skalar en vektor med c skalar man dess längd med |c|. Till exempel,
När vi nu har ett bra begrepp om längd kan vi definiera avståndet mellan punkter i Rn. Minns att skillnaden mellan två punkter x,y naturligtvis är en vektor, nämligen vektorn y-x som pekar från x till y.
Definition
Avståndet mellan två punkter x,y i Rn är längden på vektorn från x till y:
Vektorer med längden 1 är mycket vanliga i tillämpningar, så vi ger dem ett namn.
Definition
En enhetsvektor är en vektor x med längden AxA=Bx-x=1.
De vanliga koordinatvektorerna e1,e2,e3,… är enhetsvektorer:
För varje vektor x som inte är noll finns det en unik enhetsvektor som pekar i samma riktning. Den fås genom att dividera med längden på x.
Fakta
Låt x vara en icke-noll vektor i Rn. Enhetsvektorn i x:s riktning är vektorn x/AxA.
Detta är faktiskt en enhetsvektor (observera att AxA är ett positivt tal, så CC1/AxACC=1/AxA):