I mitt tidigare inlägg om en flytande Saturnus antydde jag att jag kunde skriva om de metoder vi kan använda för att hitta Saturnus densitet. Åh, och ännu en gång, Saturnus densitet är lägre än vattentätheten på jorden – men den skulle inte flyta.
Som en påminnelse definierar vi densitet som:
Detta innebär att vi egentligen måste bestämma två saker. För det första behöver vi Saturnus massa. För det andra behöver vi volymen. Vi kan få fram volymen om vi känner till Saturnus radie.
Volym
Tekniskt sett är Saturnus inte helt sfärisk. Avståndet från centrum till ekvatorn är större än avståndet från centrum till polen. Detta beror på att Saturnus snurrar och att den inte är ett stelt objekt. Tänk på snurrande pizzadeg – samma sak förutom att det är Saturnus. Du kan faktiskt mäta både polar- och ekvatorradien med hjälp av samma idé – men jag ska bara låtsas att Saturnus är en sfär.
Om det är en sfär skulle volymen vara:
Men hur får du fram radien (eller diametern). Det första steget är att titta på vinkelstorleken. Om du känner till ett föremåls vinkelstorlek och avståndet till det föremålet kan du hitta storleken. Här är en bild som jag har använt flera gånger som visar detta förhållande.
Så, om föremålet är tillräckligt långt borta eller tillräckligt litet så kommer höjden (eller längden) ungefär att vara båglängden på en cirkel med en radie som är lika stor som avståndet. Objektets storlek kommer bara att vara vinkelstorleken multiplicerad med avståndet objektet.
Men hur mäter man ens vinkelstorleken? Jo, om du har en bild måste du känna till det vinkelmässiga synfältet för din kamera – jag gjorde detta experimentellt med en iPhone. På tiden före kameror kunde man bara använda ett teleskop. Det är inte särskilt svårt att mäta vinkelstorleken med ett objektiv. Du behöver bara bestämma det vinkelmässiga synfältet för objektivet och sedan sätta upp några markeringar så att du kan uppskatta andelen av synfältet för objektets vinkelstorlek.
Det här är jättebra, men det beror på något ganska viktigt. Hur långt borta är Saturnus? Det är här Johannes Kepler kommer in i bilden. Genom att använda tillgängliga data kom Kepler fram till tre modeller för rörelsen av objekt i solsystemet.
- Banan för ett objekt i solsystemet är en ellips med solen som brännpunkt.
- När ett objekt rör sig närmare solen går det snabbare. Kepler gick ännu längre och sade att för ett givet tidsintervall skulle föremålet svepa ut samma område oavsett var det befann sig i sin omloppsbana.
- Objektets omloppstid är relaterad till omloppsavståndet (semimajoraxeln). Faktum är att kvadraten på perioden är proportionell mot (men inte lika med) kuben av halvmajoraxeln.
Keplers lagar för planeternas rörelse är inte ny fysik. Om man vill kan man få fram samma uppsättning lagar med hjälp av momentumprincipen och gravitationskraften som är proportionell mot ett över avståndet i kvadrat. Men lagarna fungerar och det är den sista lagen som är användbar här. Om jag känner till Saturnus och jordens omloppstid kan jag skriva:
T är den vanliga fysiksymbolen för perioden och tidsenheterna spelar egentligen ingen roll. Proportionalitetskonstanten k upphävs när jag dividerar den ena ekvationen med den andra. I slutändan har jag ett uttryck för halva huvudaxeln för Saturnus. Om Saturnus befann sig i en cirkulär bana skulle detta vara radien och avståndet till solen. Men jag har faktiskt inte avståndet från jorden till Saturnus. Jag kan få fram avståndet till Saturnus i termer av avståndet från solen till jorden. För att göra det enklare kallar vi avståndet mellan jorden och solen för en astronomisk enhet (AU). Det är bra och allt, men om jag använder den enheten (AU) för Saturnus storlek skulle jag få fram densiteten i några konstiga enheter – kg/AU3. För att kunna jämföra Saturnus densitet med vatten behöver vi avståndet i något användbart – som meter eller kanske meter.
Hur hittar du värdet av 1 AU i meter? Det finns flera sätt. Ett sätt att hitta avståndet är det grekiska sättet. Ja, grekiska astronomer gjorde detta någon gång runt 500 f.Kr. Här är en kort version av hur de gjorde det:
- Använd skuggor på olika platser på jorden för att bestämma jordens radie.
- Antag att månen rör sig i en cirkel runt jorden. Bestäm skillnaden mellan den beräknade positionen (baserad på jordens centrum) och den faktiska positionen (mätt från ytan) för att bestämma månens avstånd (och storlek).
- Mät vinkeln mellan solen och månen när månens fas är en fjärdedel. Detta bildar en rätvinklig triangel. Med avståndet från jorden till månen redan känt kan du få fram månens avstånd (och storlek).
Här finns ett äldre inlägg som visar fler detaljer i dessa mätningar. Kanske kan du redan nu se problemet med denna metod. Om dina mätningar är felaktiga när det gäller jordens storlek så är allt annat felaktigt. Grekernas bestämning av avståndet till solen var inte särskilt exakt.
Ett bättre sätt att få fram avståndet mellan jorden och solen är att använda en Venuspassage. Under denna händelse passerar Venus mellan jorden och solen. Om du mäter start- och sluttiden från olika platser på jorden kan du få ett värde för avståndet mellan jorden och solen. Här är ett exempel med moderna data.
Jag gillar ovanstående sätt att hitta avståndet till Saturnus eftersom du teoretiskt sett kan göra det själv. Naturligtvis finns det ännu bättre (mer exakta) sätt att ta reda på detta, men poängen är att du faktiskt skulle kunna ta reda på avståndet till Saturnus och därmed storleken. Med radien skulle du kunna hitta volymen.
Massa
Vi kan inte bara använda Keplers lagar för att hitta massan. Nej, vi måste använda oss av mer grundläggande fysik. Kort sagt kan vi hitta Saturnus massa genom att titta på en av Saturnus månar. Om vi känner till banavståndet och omloppstiden för en av månarna kan vi hitta massan. Lägg märke till att detta är annorlunda än vad vi gjorde ovan för att hitta volymen. I det fallet använde vi Saturnus omloppstid när den rörde sig runt solen för att hitta avståndet. Här behöver vi både avståndet och månens period.
Låt oss börja med lite grundläggande fysik. Här är ett diagram över Saturnus största måne, Titan, när den kretsar runt.
Gravitationskraften beror både på Saturnus och Titans massa och på avståndet mellan dem. Storleken kan skrivas som:
Varvid G bara är den universella gravitationskonstanten. Momentprincipen säger att denna gravitationskraft förändrar momentet. Eftersom denna kraft är vinkelrät mot rörelsemängden (p) ändrar kraften bara rörelsemängdens riktning och inte dess storlek. Det visar sig att jag kan skriva momentumprincipen i termer av gravitationskraften och Toms vinkelhastighet när den kretsar runt.
Jag vet att jag hoppade över några steg, men poängen är att det finns ett samband mellan Saturnus massa, omloppsstorleken och omloppshastigheten. Om jag sätter in perioden istället för vinkelhastigheten (period = 2π/ω) kan jag lösa Saturnus massa.
Nu behöver du bara tre saker: G, banans storlek och banans period för Titan. Perioden är ganska lätt. Du behöver bara observera planeten genom ett teleskop under en tid och räkna dagarna tills Titan gör en fullständig resa runt planeten Saturnus (ungefär 16 dagar). Omloppsstorleken är inte heller alltför svår att få fram. I huvudsak gör man samma sak för detta som för Saturnus storlek – man använder avståndet och vinkelstorleken.
Gravitationskonstanten kan hittas med Cavendish-experimentet. I princip dras några små massor på en roterande stång till större stationära massor. Genom att titta på vridningen i stången kan man bestämma gravitationskraften och därmed G.
Och så är det. När du har massan och volymen kan du beräkna densiteten. Du ser, det är enkelt.