Fysik

publicerat den

Lärandemål

I slutet av det här avsnittet kommer du att kunna:

  • Relatera en fotons linjära momentum till dess energi eller våglängd och tillämpa bevarandet av det linjära momentumet i enkla processer som involverar emission, absorption eller reflektion av fotoner.
  • Räkna kvalitativt för den ökning av fotonernas våglängd som observeras, och förklara betydelsen av Compton-våglängden.

Mätning av fotonernas momentum

Kvantet av EM-strålning som vi kallar för en foton har egenskaper som är analoga med egenskaperna hos partiklar som vi kan se, till exempel sandkorn. En foton interagerar som en enhet vid kollisioner eller när den absorberas, snarare än som en omfattande våg. Massiva kvanta, som elektroner, beter sig också som makroskopiska partiklar – något vi förväntar oss eftersom de är materiens minsta enheter. Partiklar bär på såväl rörelsemängd som energi. Trots att fotoner inte har någon massa har det länge funnits bevis för att EM-strålning bär på rörelsekraft. (Maxwell och andra som studerade EM-vågor förutspådde att de skulle bära momentum). Det är nu ett väletablerat faktum att fotoner verkligen har rörelseförmåga. Faktum är att fotoners momentum antyds av den fotoelektriska effekten, där fotoner slår ut elektroner ur ett ämne. Figur 1 visar makroskopiska bevis för fotonernas momentum.

Figur 1. Hale-Bopp-kometens svansar pekar bort från solen, ett bevis för att ljuset har momentum. Damm som emanerar från kometens kropp bildar denna svans. Stoftpartiklar skjuts bort från solen av ljuset som reflekteras av dem. Den blå joniserade gasstjärten bildas också av fotoner som interagerar med atomer i kometens material. (kredit: Geoff Chester, U.S. Navy, via Wikimedia Commons)

Figur 1 visar en komet med två framträdande svansar. Vad de flesta inte vet om svansarna är att de alltid pekar bort från solen i stället för att släpa efter kometen (som svansen på Bo Peeps får). Kometens svansar består av gaser och damm som avdunstat från kometkroppen och joniserad gas. Stoftpartiklarna rekylerar bort från solen när fotoner sprids från dem. Det är uppenbart att fotoner bär med sig momentum i sin rörelseriktning (bort från solen), och en del av detta momentum överförs till stoftpartiklar vid kollisioner. Gasatomer och molekyler i den blå svansen påverkas mest av andra strålningspartiklar, t.ex. protoner och elektroner som kommer från solen, snarare än av fotonernas rörelsemängd.

Making Connections: Det är inte bara så att rörelsemängden bevaras i alla fysikens områden, utan alla typer av partiklar har rörelsemängd. Vi förväntar oss att partiklar med massa ska ha rörelsemängd, men nu ser vi att masslösa partiklar, inklusive fotoner, också har rörelsemängd.

Figur 2. Compton-effekten är det namn som ges till spridningen av en foton av en elektron. Energi och rörelsemängd bevaras, vilket resulterar i en minskning av båda för den spridda fotonen. Genom att studera denna effekt verifierade Compton att fotoner har momentum.

Momentum bevaras i kvantmekaniken precis som i relativitetsteorin och den klassiska fysiken. Några av de tidigaste direkta experimentella bevisen för detta kom från spridning av röntgenfotoner av elektroner i ämnen, som kallades Comptonspridning efter den amerikanske fysikern Arthur H. Compton (1892-1962). Omkring 1923 observerade Compton att röntgenstrålar som spreds från material hade en minskad energi och analyserade korrekt att detta berodde på spridning av fotoner från elektroner. Detta fenomen kunde hanteras som en kollision mellan två partiklar – en foton och en elektron i vila i materialet. Energi och rörelsemängd bevaras i kollisionen. (Se figur 2) Han fick Nobelpriset 1929 för upptäckten av denna spridning, som numera kallas Compton-effekten, eftersom den bidrog till att bevisa att fotonernas rörelsemängd ges av p=\frac{h}{\lambda}\\\, där h är Plancks konstant och λ är fotonens våglängd. (Observera att det relativistiska momentumet som ges som p = γmu gäller endast för partiklar som har massa.)

Vi kan se att fotonens momentum är litet, eftersom p=\frac{h}{\lambda}\\\ och h är mycket litet. Det är av denna anledning som vi vanligtvis inte observerar fotonmomentet. Våra speglar rekylerar inte tillbaka när ljuset reflekteras från dem (utom kanske i tecknade serier). Compton såg effekterna av fotonmomentet eftersom han observerade röntgenstrålar, som har en liten våglängd och ett relativt stort momentum, som interagerade med den lättaste av partiklar, elektronen.

Exempel 1. Elektronens och fotonens impuls jämförs

  1. Beräkna impulsen hos en synlig foton som har en våglängd på 500 nm.
  2. Finn hastigheten hos en elektron som har samma impuls.
  3. Vad är elektronens energi och hur förhåller den sig till fotonens energi?

Strategi

Finnandet av fotonens rörelsemängd är en enkel tillämpning av dess definition: p=\frac{h}{\lambda}\\\\. Om vi finner att fotonimpulsen är liten kan vi anta att en elektron med samma impuls kommer att vara icke-relativistisk, vilket gör det enkelt att hitta dess hastighet och kinetiska energi från de klassiska formlerna.

Lösning för del 1

Fotonimpulsen ges av ekvationen: p=\frac{h}{\lambda}\\.

Inför den givna fotonvåglängden ger

\displaystyle{p}=\frac{6.63\times10^{-34}\text{ J }\cdot\text{ s}}{500\times10^{-9}\text{ m}}=1.33\times10^{-27}\text{ kg}\cdot\text{ m/s}\\\

Lösning för del 2

Då denna rörelsemängd verkligen är liten kommer vi att använda det klassiska uttrycket p = mv för att hitta hastigheten för en elektron med denna rörelsemängd. Genom att lösa v och använda det kända värdet för elektronens massa får man

\displaystyle{v}=\frac{p}{m}=\frac{1.33\times10^{-27}\text{ kg}\cdot\text{ m/s}}{9.11\times10^{-31}\text{ kg}}}=1460\text{ m/s}\approx1460\text{ m/s}\\

Lösning för del 3

Elektronen har kinetisk energi, som klassiskt ges av \text{KE}_e=\frac{1}{2}mv^2\\.

Det innebär att \text{KE}_e=\frac{1}{2}\left(9.11\times10^{-3}\text{ kg}\right)\left(1455\text{ m/s}\right)^2=9.64\times10^{-25}\text{ J}\\\\.

Omräknat till eV genom att multiplicera med \frac{1\text{ eV}}}{1.602\times10^{-19}\text{ J}}\\ ger KEe = 6,02 × 10-6 eV.

Fotonenergin E är

E=\frac{hc}{\lambda}=\frac{1240\text{ eV}\cdot\text{ nm}}{500\text{ nm}}}=2.48\text{ eV}\\\,

vilket är ungefär fem storleksordningar större.

Diskussion

Photonmomentet är verkligen litet. Även om vi har ett enormt antal av dem är det totala momentumet som de bär på litet. En elektron med samma impuls har en hastighet på 1460 m/s, vilket helt klart är icke-relativistiskt. En mer massiv partikel med samma rörelsekraft skulle ha en ännu mindre hastighet. Detta bekräftas av det faktum att det krävs mycket mindre energi för att ge en elektron samma rörelsemängd som en foton. Men på en kvantmekanisk skala, särskilt för fotoner med hög energi som växelverkar med små massor, är fotonens rörelsemängd betydande. Även på en stor skala kan fotons momentum ha en effekt om det finns tillräckligt många av dem och om det inte finns något som förhindrar materiens långsamma rekyl. Kometstjärtar är ett exempel, men det finns också förslag om att bygga rymdsegel som använder enorma speglar med låg massa (gjorda av aluminiserad Mylar) för att reflektera solljuset. I rymdens vakuum skulle speglarna gradvis rekylera tillbaka och skulle kunna föra rymdfarkoster från plats till plats i solsystemet. (Se figur 3.)

Figur 3. (a) Rymdsegel har föreslagits som använder drivkraften från solljuset som reflekteras från gigantiska segel med låg massa för att driva rymdfarkoster runt i solsystemet. En rysk testmodell av detta (Cosmos 1) sköts upp 2005, men nådde inte upp i omloppsbana på grund av ett raketfel. (b) En amerikansk version av detta, kallad LightSail-1, är planerad att provskjutas under den första delen av detta årtionde. Den kommer att ha ett segel på 40 m2 . (kredit: Kim Newton/NASA)

Relativistiskt fotonmoment

Det finns ett samband mellan fotonmomentet p och fotonenergin E som stämmer överens med det samband som tidigare givits för den relativistiska totala energin hos en partikel som E2 = (pc)2 + (mc)2. Vi vet att m är noll för en foton, men att p inte är det, så att E2 = (pc)2 + (mc)2 blir E = pc, eller p=\frac{E}{c}\\\ (fotoner).

För att kontrollera giltigheten av denna relation, observera att E=\frac{hc}{\lambda}\\\ för en foton. Genom att ersätta detta med p=\frac{E}{c}\\\ ger

\displaystyle{p}=\frac{\frac{hc}{\lambda}}}{c}=\frac{h}{\lambda}\\\,

som bestämts experimentellt och diskuterats ovan. Således är p=E/c ekvivalent med Comptons resultat p=h/λ. För ytterligare verifiering av sambandet mellan fotonenergi och rörelsemängd, se exempel 2.

Fotondetektorer

Nästan alla detekteringssystem som vi hittills talat om – ögon, fotografiska plåtar, fotomultiplikatorrör i mikroskop och CCD-kameror – bygger på partikelliknande egenskaper hos fotonerna som interagerar med ett känsligt område. En förändring orsakas och antingen kaskadiseras förändringen eller så registreras zillioner av punkter för att bilda en bild som vi upptäcker. Dessa detektorer används i biomedicinska bildsystem, och det pågår forskning för att förbättra effektiviteten i mottagandet av fotoner, särskilt genom att kyla detektionssystem och minska termiska effekter.

Exempel 2. Fotonens energi och moment

Visa att p=\frac{E}{c}\\\ för fotonen som betraktades i exempel 1.

Strategi

Vi kommer att ta energin E som hittades i exempel 1, dividera den med ljusets hastighet och se om man får samma moment som tidigare.

Lösning

Med tanke på att fotons energi är 2,48 eV och genom att omvandla detta till joule får vi

p=\frac{E}{c}=\frac{\left(2.48\text{ eV}\right)\left(1.60\times10^{-16}\text{ J/eV}\right)}{3.00\times10^8\text{ m/s}}=1.33\times10^{-27}\text{ kg }\cdot\text{ m/s}\\\

Diskussion

Detta värde för rörelsemängd är detsamma som man fann tidigare (observera att oavrundade värden används i alla beräkningar för att undvika även små avrundningsfel), en förväntad verifiering av förhållandet p=\\frac{E}{c}\\\. Detta innebär också att förhållandet mellan energi, rörelsemängd och massa som ges av E2 = (pc)2 + (mc)2 gäller för både materia och fotoner. Observera återigen att p inte är noll, även när m är det.

Problemlösningsförslag

Bemärk att formerna för konstanterna h = 4,14 × 10-15 eV ⋅ s och hc = 1240 eV ⋅ nm kan vara särskilt användbara för detta avsnitts problem och övningar.

Avsnittssammanfattning

  • Photoner har rörelsemängd som ges av p=\frac{h}{\lambda}\\\, där λ är fotonens våglängd.
  • Photonenergi och rörelsemängd hänger samman med p=\frac{E}{c}\\\\, där E=hf=\frac{hc}{\lambda}\\ för en foton.

Begreppsfrågor

  1. Vilken formel kan användas för rörelsemängden hos alla partiklar, med eller utan massa?
  2. finns det någon mätbar skillnad mellan rörelsemängden hos en foton och rörelsemängden hos materia?
  3. Varför känner vi inte av solstrålningens rörelsemängd när vi är på stranden?

Problem &Övningar

  1. (a) Bestäm rörelsemängden hos en mikrovågsfoton med en våglängd på 4,00 cm. (b) Diskutera varför du förväntar dig att svaret på (a) är mycket litet.
  2. (a) Vad är rörelsemängden hos en 0,0100-nm-våglängdsfoton som skulle kunna upptäcka detaljer i en atom? (b) Vad är dess energi i MeV?
  3. (a) Vad är våglängden för en foton som har en impuls på 5,00 × 10-29 kg – m/s? (b) Hitta dess energi i eV.
  4. (a) En γ-strålefoton har en rörelsemängd på 8,00 × 10-21 kg – m/s. Vad är dess våglängd? (b) Beräkna dess energi i MeV.
  5. (a) Beräkna rörelsemängden hos en foton med en våglängd på 2,50 μm. (b) Hitta hastigheten hos en elektron som har samma rörelsemängd. (c) Vad är elektronens kinetiska energi och hur förhåller den sig till fotonens?
  6. Upprepa föregående problem för en foton med en våglängd på 10,0 nm.
  7. (a) Beräkna våglängden för en foton som har samma rörelsemängd som en proton som rör sig med 1,00 % av ljusets hastighet. (b) Vad är fotonens energi i MeV? (c) Vad är protonens kinetiska energi i MeV?
  8. (a) Bestäm rörelsemängden hos en röntgenfoton på 100 keV. (b) Hitta den ekvivalenta hastigheten hos en neutron med samma impuls. (c) Vad är neutronens kinetiska energi i keV?
  9. Tag förhållandet mellan den relativistiska viloenergin, E = γmc2, och den relativistiska rörelsemängden, p = γmu, och visa att i gränsen för att massan närmar sig noll finner man \frac{E}{p}=c\\.
  10. Konstruera ditt eget problem. Betrakta ett rymdsegel som det som nämns i exempel 1. Konstruera ett problem där du beräknar ljustrycket på seglet i N/m2 som produceras av reflekterande solljus. Beräkna också den kraft som kan produceras och hur stor effekt det skulle ha på en rymdfarkost. Bland de saker som ska beaktas är solljusets intensitet, dess genomsnittliga våglängd, antalet fotoner per kvadratmeter som detta innebär, rymdseglets yta och massan hos det system som accelereras.
  11. Oförnuftiga resultat. En bil känner en liten kraft på grund av det ljus den sänder ut från sina strålkastare, lika med ljusets impuls dividerat med den tid under vilken det sänds ut. (a) Beräkna effekten av varje strålkastare, om de utövar en total kraft på 2,00 × 10-2 N bakåt på bilen. (b) Vad är orimligt med detta resultat? (c) Vilka antaganden är orimliga eller inkonsekventa?

Glossar

Fotonmoment: Den mängd momentum som en foton har, beräknat genom p=\frac{h}{\lambda }=\frac{E}{c}{c}\\\\\9662>

Compton effekt: Fenomenet där röntgenstrålar som sprids från material har minskad energi

Utvalda lösningar på problem & Övningar

1. (a) 1,66 × 10-32 kg ⋅ m/s. (b) Mikrovågsfotonernas våglängd är stor, så det moment som de bär med sig är mycket litet

3. (a) 13,3 μm. (b) 9,38 × 10-2 eV

5. (a) 2,65 × 10-28 kg – m/s; (b) 291 m/s; (c) elektron 3,86 × 10-26 J, foton 7,96 × 10-20 J, förhållande 2,06 × 106

7. (a) 1,32 × 10-13 m; (b) 9,39 MeV; (c) 4,70 × 10-2 MeV

9. E = γmc2 och P = γmu, så

\displaystyle\frac{E}{P}=\frac{{\gamma{mc}}}^{2}}}{\gamma{mu}}=\frac{c^2}{u}\\\

När partikelns massa närmar sig noll, kommer dess hastighet u att närma sig c , så att förhållandet mellan energi och rörelsemängd i denna gräns är

\displaystyle\lim_{m\to0}\frac{E}{P}=\frac{{c}^{2}}}{c}=c\\\

vilket stämmer överens med ekvationen för fotonenergi.

11. (a) 3,00 × 106 W; (b) Strålkastarna är alldeles för ljusa, (c) Kraften är för stor.

Lämna ett svar

Din e-postadress kommer inte publiceras.