Cylinder

Cylindriska sektionerRedigera

Cylindrisk sektion

En cylindrisk sektion är skärningen mellan en cylinders yta och ett plan. De är i allmänhet kurvor och är speciella typer av plana sektioner. Det cylindriska snittet genom ett plan som innehåller två delar av en cylinder är en parallellogram. Ett sådant cylindriskt snitt av en rätcylinder är en rektangel.

Ett cylindriskt snitt där skärningsplanet skär och är vinkelrätt mot alla element i cylindern kallas ett rätcylindersnitt. Om en cylinders högra sektion är en cirkel är cylindern en cirkulär cylinder. Om en cylinders högra sektion är en konisk sektion (parabola, ellips, hyperbel) sägs den massiva cylindern vara parabolisk, elliptisk respektive hyperbolisk.

Cylindriska sektioner av en rätcirkulär cylinder

För en rätcirkulär cylinder finns det flera sätt på vilka plan kan möta en cylinder. För det första plan som skär en bas i högst en punkt. Ett plan tangerar cylindern om det möter cylindern i ett enda element. De rätta delarna är cirklar och alla andra plan skär den cylindriska ytan i en ellips. Om ett plan skär en bas av cylindern i exakt två punkter är det linjesträck som förbinder dessa punkter en del av det cylindriska snittet. Om ett sådant plan innehåller två element har det en rektangel som cylindrisk sektion, annars är sidorna av den cylindriska sektionen delar av en ellips. Slutligen, om ett plan innehåller mer än två punkter i en bas, innehåller det hela basen och den cylindriska sektionen är en cirkel.

I fallet med en rätcirkulär cylinder med en cylindrisk sektion som är en ellips beror den cylindriska sektionens excentricitet e och den cylindriska sektionens halva huvudaxel på cylindriska sektionens radie r och vinkeln α mellan sekantplanet och cylinderaxeln på följande sätt:

e = cos α , {\displaystyle e=\cos \alpha ,}

a = r sin α . {\displaystyle a={\frac {r}{\sin \alpha }}.}

VolymEdit

Om basen på en cirkulär cylinder har radien r och cylindern har höjden h, så ges dess volym av

V = πr2h.

Denna formel gäller oavsett om cylindern är en rätcylinder eller inte.

Denna formel kan fastställas med hjälp av Cavalieris princip.

En massiv elliptisk cylinder med halvaxlarna a och b för basellipsen och höjden h

Enligt samma princip är volymen av en cylinder produkten av basens area och höjden. Exempelvis har en elliptisk cylinder med en bas som har en halvstor axel a, en halvminor axel b och en höjd h en volym V = Ah, där A är arean av basellipsen (= πab). Detta resultat för högerelliptiska cylindrar kan också erhållas genom integration, där cylinderns axel tas som den positiva x-axeln och A(x) = A arean av varje elliptiskt tvärsnitt, alltså:

V = ∫ 0 h A ( x ) d x = ∫ 0 h π a b d x = π a b ∫ 0 h d x = π a b ∫ 0 h d x = π a b h . {\displaystyle V=\int _{0}^{h}A(x)dx=\int _{0}^{h}\pi abdx=\pi ab\int _{0}^{h}dx=\pi abh.}

Med hjälp av cylindriska koordinater, kan volymen av en rätcirkulär cylinder beräknas genom integration över

= ∫ 0 h ∫ 0 2 π ∫ 0 r s d s d d ϕ d z {\displaystyle =\int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}^{r}s\,\,ds\,d\i \,d\phi \,dz}

= π r 2 h . {\displaystyle =\pi \,r^{2}\,h.}

YtareaRedigera

Med radien r och höjden h består ytan av en högercirkulär cylinder, orienterad så att axeln är vertikal, av tre delar:

• Obbenbasens area: πr2
• Bottenbasens area: πr2
• Sidans area: 2πrh

Obben- och bottenbasens area är densamma och kallas basarean, B. Sidans area kallas sidoarea, L.

En öppen cylinder innehåller varken övre eller nedre element och har därför ytarea (sidoarea)

L = 2πrh.

Ytan av den solida högercirkelcylindern utgörs av summan av alla tre beståndsdelar: topp, botten och sida. Dess yta är därför,

A = L + 2B = 2πrh + 2πr2 = 2πr(h + r) = πd(r + h),

där d = 2r är diametern på den cirkulära toppen eller botten.

För en given volym har den högra cirkulära cylindern med den minsta ytan h = 2r. På motsvarande sätt, för en given yta, har den högercirkelformade cylindern med den största volymen h = 2r, det vill säga cylindern passar bra in i en kub med sidlängd = höjd ( = bascirkelns diameter).

Den laterala arean, L, av en cirkelcylinder, som inte behöver vara en högercylinder, ges mer generellt av följande:

L = e × p,

där e är längden på ett element och p är omkretsen på ett högerparti av cylindern. Detta ger den tidigare formeln för sidoarea när cylindern är en rätcirkulär cylinder.

Hålcylinder

Högercirkelformad hålcylinder (cylindriskt skal)Redigera

En högercirkelformad hålcylinder (eller cylindriskt skal) är ett tredimensionellt område avgränsat av två högercirkelformade cylindrar som har samma axel och två parallella ringformade baser som är vinkelräta mot cylindrarnas gemensamma axel, som i diagrammet.

Låt höjden vara h, innerradien r och ytterradien R. Volymen ges av

V = π ( R 2 – r 2 ) h = 2 π ( R + r 2 ) h ( R – r ) . {\displaystyle V=\pi (R^{2}-r^{2})h=2\pi \left({\frac {R+r}{2}}}\right)h(R-r).}

.

Därmed är volymen av ett cylindriskt skal lika med 2π(genomsnittlig radie)(höjd)(tjocklek).

Områdesytan, inklusive över- och undersida, ges av

A = 2 π ( R + r ) h + 2 π ( R 2 – r 2 ) . {\displaystyle A=2\pi (R+r)h+2\pi (R^{2}-r^{2}).}

.

Cylindriska skal används i en vanlig integrationsteknik för att hitta volymer av solider med rotation.

Om sfären och cylindernRedigera

En sfär har 2/3 av volymen och ytan av den omkretsande cylindern, inklusive dess baser