Fizică

Posted on

Obiective de învățare

Până la sfârșitul acestei secțiuni veți fi capabili să:

  • Să corelați momentul liniar al unui foton cu energia sau lungimea de undă a acestuia și să aplicați conservarea momentului liniar la procese simple care implică emisia, absorbția sau reflexia fotonilor.
  • Explicați calitativ creșterea lungimii de undă a fotonului care este observată și explicați semnificația lungimii de undă Compton.

Măsurarea momentului fotonic

Cuantitatea de radiație EM pe care o numim foton are proprietăți analoge cu cele ale particulelor pe care le putem vedea, cum ar fi grăunțele de nisip. Un foton interacționează ca o unitate în coliziuni sau atunci când este absorbit, mai degrabă decât ca o undă extinsă. Cuantele masive, precum electronii, se comportă, de asemenea, ca niște particule macroscopice – un lucru la care ne așteptăm, deoarece acestea sunt cele mai mici unități ale materiei. Particulele sunt purtătoare atât de impuls, cât și de energie. În ciuda faptului că fotonii nu au masă, există de mult timp dovezi că radiația EM este purtătoare de impuls. (Maxwell și alții care au studiat undele EM au prezis că acestea vor purta impuls). În prezent, este un fapt bine stabilit că fotonii au impuls. De fapt, impulsul fotonilor este sugerat de efectul fotoelectric, în care fotonii scot electronii dintr-o substanță. Figura 1 prezintă dovezi macroscopice ale impulsului fotonic.

Figura 1. Cozile cometei Hale-Bopp se îndepărtează de Soare, dovadă că lumina are impuls. Praful emanat de corpul cometei formează această coadă. Particulele de praf sunt împinse departe de Soare de lumina reflectată de acestea. Coada de gaz ionizat albastru este, de asemenea, produsă de fotonii care interacționează cu atomii din materialul cometei. (credit: Geoff Chester, U.S. Navy, via Wikimedia Commons)

Figura 1 prezintă o cometă cu două cozi proeminente. Ceea ce nu știu cei mai mulți oameni despre cozi este că acestea sunt întotdeauna îndreptate în direcția opusă Soarelui, mai degrabă decât să se tragă în spatele cometei (precum coada oii lui Bo Peep). Cozile cometei sunt compuse din gaze și praf evaporat din corpul cometei și din gaz ionizat. Particulele de praf se retrag departe de Soare atunci când fotonii se împrăștie de ele. Evident, fotonii transportă impulsul în direcția mișcării lor (departe de Soare), iar o parte din acest impuls este transferat particulelor de praf în coliziuni. Atomii și moleculele de gaz din coada albastră sunt cel mai mult afectate de alte particule de radiație, cum ar fi protonii și electronii emanați de Soare, mai degrabă decât de impulsul fotonilor.

Facerea de conexiuni: Conservarea impulsului

Nu numai că impulsul este conservat în toate domeniile fizicii, dar se constată că toate tipurile de particule au impuls. Ne așteptăm ca particulele cu masă să aibă impuls, dar acum vedem că și particulele fără masă, inclusiv fotonii, poartă impuls.

Figura 2. Efectul Compton este numele dat împrăștierii unui foton de către un electron. Energia și impulsul se conservă, rezultând o reducere a ambelor pentru fotonul împrăștiat. Studiind acest efect, Compton a verificat că fotonii au impuls.

Impulsul se conservă în mecanica cuantică la fel ca în relativitate și în fizica clasică. Unele dintre primele dovezi experimentale directe ale acestui lucru au fost obținute prin împrăștierea fotonilor de raze X de către electronii din substanțe, numită împrăștierea Compton după fizicianul american Arthur H. Compton (1892-1962). În jurul anului 1923, Compton a observat că razele X împrăștiate de materiale aveau o energie diminuată și a analizat corect acest lucru ca fiind datorat împrăștierii fotonilor de către electroni. Acest fenomen ar putea fi tratat ca o coliziune între două particule – un foton și un electron aflat în repaus în material. Energia și impulsul se conservă în timpul coliziunii. (A se vedea figura 2) A câștigat Premiul Nobel în 1929 pentru descoperirea acestei împrăștieri, numită în prezent efectul Compton, deoarece a contribuit la demonstrarea faptului că impulsul fotonilor este dat de p=\frac{h}{\lambda}\\\, unde h este constanta lui Planck și λ este lungimea de undă a fotonului. (Rețineți că momentul relativist dat ca p = γmu este valabil numai pentru particulele care au masă.)

Potem vedea că momentul fotonic este mic, deoarece p=\frac{h}{\lambda}\\\ și h este foarte mic. Din acest motiv nu observăm în mod obișnuit impulsul fotonic. Oglinzile noastre nu se retrag atunci când lumina se reflectă pe ele (cu excepția, poate, a desenelor animate). Compton a văzut efectele impulsului fotonic deoarece a observat razele X, care au o lungime de undă mică și un impuls relativ mare, interacționând cu cea mai ușoară dintre particule, electronul.

Exemplu 1. Momentumul electronului și al fotonului comparat

  1. Calculați momentul unui foton vizibil care are o lungime de undă de 500 nm.
  2. Căutați viteza unui electron care are același moment.
  3. Care este energia electronului și cum se compară cu energia fotonului?

Strategie

Căutarea momentului fotonului este o aplicație simplă a definiției sale: p=\frac{h}{\lambda}\\\. Dacă aflăm că impulsul fotonului este mic, atunci putem presupune că un electron cu același impuls va fi nerelativist, ceea ce facilitează aflarea vitezei și energiei cinetice a acestuia din formulele clasice.

Soluție pentru partea 1

Impulsul fotonului este dat de ecuația: p=\frac{h}{\lambda}\\\\.

Introducând lungimea de undă dată a fotonului se obține

\displaystyle{p}=\frac{6.63\times10^{-34}\text{ J }\cdot\text{ s}}{500\times10^{-9}\text{ m}}=1.33\times10^{{-27}\text{ kg}\cdot\text{ m/s}\\\\

Soluția pentru partea 2

Din moment ce acest moment este într-adevăr mic, vom folosi expresia clasică p = mv pentru a găsi viteza unui electron cu acest moment. Rezolvând pentru v și folosind valoarea cunoscută pentru masa unui electron rezultă

\displaystyle{v}=\frac{p}{m}=\frac{1.33\times10^{-27}\text{ kg}\cdot\text{ m/s}}}{9.11\times10^{-31}\text{ kg}}=1460\text{ m/s}\aproximativ1460\text{ m/s}\\\

Soluția pentru partea 3

Electronul are energie cinetică, care este dată în mod clasic de \text{KE}_e=\frac{1}{2}{2}mv^2\\\\.

Așa, \text{KE}_e=\frac{1}{2}\left(9.11\times10^{-3}\text{ kg}\right)\left(1455\text{ m/s}\right)^2=9.64\times10^{{-25}\text{ J}\\\\\\\i.

Convertind această valoare în eV prin înmulțirea cu \frac{1\text{ eV}}{1,602\times10^{-19}\text{ J}\\\\\i rezultă KEe = 6,02 × 10-6 eV.

Energia fotonului E este

E=\frac{hc}{\lambda}=\frac{1240\text{ eV}\cdot\text{ nm}}{500\text{ nm}}=2.48\text{ eV}\\},

care este cu aproximativ cinci ordine de mărime mai mare.

Discuție

Momentul fotonic este într-adevăr mic. Chiar dacă avem un număr uriaș de fotoni, impulsul total pe care îl poartă este mic. Un electron cu același momentum are o viteză de 1460 m/s, care este în mod clar nerelativistă. O particulă mai masivă cu același momentum ar avea o viteză și mai mică. Acest lucru este confirmat de faptul că este nevoie de mult mai puțină energie pentru a conferi unui electron același momentum ca și unui foton. Dar la scară mecanică cuantică, în special pentru fotonii de mare energie care interacționează cu mase mici, impulsul fotonic este semnificativ. Chiar și la scară mare, impulsul fotonilor poate avea un efect dacă există un număr suficient de fotoni și dacă nu există nimic care să împiedice reculul lent al materiei. Cozile cometelor sunt un exemplu, dar există, de asemenea, propuneri de construire a unor vele spațiale care utilizează oglinzi uriașe cu masă redusă (realizate din Mylar aluminizat) pentru a reflecta lumina solară. În vidul din spațiu, oglinzile s-ar retrage treptat și ar putea, de fapt, să ducă navele spațiale dintr-un loc în altul în sistemul solar. (A se vedea figura 3.)

Figura 3. (a) Au fost propuse pânze spațiale care utilizează impulsul luminii solare reflectate de pânzele gigantice cu masă redusă pentru a propulsa navele spațiale în sistemul solar. Un model de test rusesc în acest sens (Cosmos 1) a fost lansat în 2005, dar nu a ajuns pe orbită din cauza unei defecțiuni a rachetei. (b) O versiune americană a acestuia, denumită LightSail-1, este programată pentru lansări de probă în prima parte a acestui deceniu. Aceasta va avea o pânză de 40 m2. (credit: Kim Newton/NASA)

Momentul fotonic relativist

Există o relație între momentul fotonic p și energia fotonică E care este în concordanță cu relația dată anterior pentru energia totală relativistă a unei particule ca E2 = (pc)2 + (mc)2. Știm că m este zero pentru un foton, dar p nu este, astfel încât E2 = (pc)2 + (mc)2 devine E = pc, sau p=\frac{E}{c}\\\ (fotoni).

Pentru a verifica validitatea acestei relații, rețineți că E=\frac{hc}{\lambda}\\ pentru un foton. Înlocuind acest lucru în p=\frac{E}{c}\\\ rezultă

\displaystyle{p}=\frac{\frac{hc}{\lambda}}{c}=\frac{h}{\lambda}\\\},

așa cum a fost determinat experimental și discutat mai sus. Astfel, p=E/c este echivalent cu rezultatul lui Compton p=h/λ. Pentru o verificare suplimentară a relației dintre energia și impulsul fotonilor, a se vedea Exemplul 2.

Detectoare de fotoni

Chiar toate sistemele de detecție despre care s-a vorbit până acum – ochii, plăcile fotografice, tuburile fotomultiplicatoare din microscoape și camerele CCD – se bazează pe proprietățile de tip particulă ale fotonilor care interacționează cu o zonă sensibilă. Este provocată o schimbare și fie schimbarea se produce în cascadă, fie sunt înregistrate miliarde de puncte pentru a forma o imagine pe care o detectăm. Acești detectori sunt utilizați în sistemele de imagistică biomedicală și există cercetări în curs de desfășurare pentru îmbunătățirea eficienței de recepție a fotonilor, în special prin răcirea sistemelor de detecție și reducerea efectelor termice.

Exemplu 2. Energia și impulsul fotonului

Demonstrați că p=\frac{E}{c}\\ pentru fotonul considerat în Exemplul 1.

Strategie

Vom lua energia E găsită în Exemplul 1, o vom împărți la viteza luminii și vom vedea dacă se obține același impuls ca și înainte.

Soluție

Dat fiind că energia fotonului este de 2,48 eV și convertind-o în jouli, obținem

p=\frac{E}{c}=\frac{\left(2.48\text{ eV}\right)\left(1.60\times10^{-16}\text{ J/eV}\right)}{3.00\times10^8\text{ m/s}}=1.33\times10^{{-27}\text{ kg }\cdot\text{ m/s}\\\\

Discuție

Această valoare pentru impuls este aceeași cu cea găsită anterior (rețineți că în toate calculele se folosesc valori nerotunjite pentru a evita chiar și mici erori de rotunjire), o verificare așteptată a relației p=\frac{E}{c}\\\. Aceasta înseamnă, de asemenea, că relația dintre energie, impuls și masă dată de E2 = (pc)2 + (mc)2 se aplică atât materiei, cât și fotonilor. Încă o dată, rețineți că p nu este zero, chiar și atunci când m este.

Sugestie de rezolvare a problemelor

Rețineți că formele constantelor h = 4,14 × 10-15 eV ⋅ s și hc = 1240 eV ⋅ nm pot fi deosebit de utile pentru problemele și exercițiile din această secțiune.

Sinteza secțiunii

  • Fotonii au impuls, dat de p=\frac{h}{\lambda}\\\, unde λ este lungimea de undă a fotonului.
  • Energia și impulsul fotonului sunt legate de p=\frac{E}{c}\\\, unde E=hf=\frac{hc}{\lambda}\ pentru un foton.

Întrebări conceptuale

  1. Ce formulă poate fi folosită pentru impulsul tuturor particulelor, cu sau fără masă?
  2. Există vreo diferență măsurabilă între impulsul unui foton și impulsul materiei?
  3. De ce nu simțim impulsul luminii solare atunci când suntem pe plajă?

Probleme & Exerciții

  1. (a) Găsiți impulsul unui foton de microunde cu lungimea de undă de 4,00 cm. (b) Argumentați de ce vă așteptați ca răspunsul la (a) să fie foarte mic.
  2. (a) Care este momentul unui foton cu lungimea de undă de 0,0100 nm care ar putea detecta detalii ale unui atom? (b) Care este energia sa în MeV?
  3. (a) Care este lungimea de undă a unui foton care are un moment de 5,00 × 10-29 kg – m/s? (b) Găsiți energia sa în eV.
  4. (a) Un foton de raze γ are un moment de 8,00 × 10-21 kg – m/s. Care este lungimea sa de undă? (b) Calculați energia sa în MeV.
  5. (a) Calculați impulsul unui foton care are lungimea de undă de 2,50 μm. (b) Găsiți viteza unui electron care are același moment. (c) Care este energia cinetică a electronului și cum se compară cu cea a fotonului?
  6. Repetați problema anterioară pentru un foton cu lungimea de undă de 10,0 nm.
  7. (a) Calculați lungimea de undă a unui foton care are același moment ca un proton care se deplasează cu 1,00% din viteza luminii. (b) Care este energia fotonului în MeV? (c) Care este energia cinetică a protonului în MeV?
  8. (a) Găsiți impulsul unui foton de raze X de 100 keV. (b) Găsiți viteza echivalentă a unui neutron cu același moment. (c) Care este energia cinetică a neutronului în keV?
  9. Tomând raportul dintre energia relativistă de repaus, E = γmc2, și momentul relativist, p = γmu, arătați că, în limita în care masa se apropie de zero, se găsește \frac{E}{p}=c\\\.
  10. Construiți propria problemă. Considerați o velă spațială precum cea menționată în exemplul 1. Construiți o problemă în care să calculați presiunea luminoasă asupra pânzei în N/m2 produsă de reflectarea luminii solare. Calculați, de asemenea, forța care ar putea fi produsă și ce efect ar avea aceasta asupra unei nave spațiale. Printre lucrurile care trebuie luate în considerare se numără intensitatea luminii solare, lungimea de undă medie a acesteia, numărul de fotoni pe metru pătrat pe care aceasta îl implică, suprafața pânzei spațiale și masa sistemului care este accelerat.
  11. Rezultate nerezonabile. O mașină resimte o mică forță datorată luminii pe care o emite din farurile sale, egală cu impulsul luminii împărțit la timpul în care este emisă. (a) Calculați puterea fiecărui far, dacă acestea exercită asupra mașinii o forță totală de 2,00 × 10-2 N spre înapoi. (b) Ce este nerezonabil în acest rezultat? (c) Ce ipoteze sunt nerezonabile sau incoerente?

Glosar

Curentul fotonic: cantitatea de moment pe care o are un foton, calculată prin p=\frac{h}{\lambda }=\frac{E}{c}\\\

Efectul Compton: fenomenul prin care razele X împrăștiate de materiale au energia diminuată

Soluții alese la probleme & Exerciții

1. (a) 1,66 × 10-32 kg ⋅ m/s; (b) Lungimea de undă a fotonilor de microunde este mare, astfel încât impulsul pe care îl transportă este foarte mic.

3. (a) 13,3 μm; (b) 9,38 × 10-2 eV

5. (a) 2,65 × 10-28 kg – m/s; (b) 291 m/s; (c) electronul 3,86 × 10-26 J, fotonul 7,96 × 10-20 J, raportul 2,06 × 106

7. (a) 1,32 × 10-13 m; (b) 9,39 MeV; (c) 4,70 × 10-2 MeV

9. E = γmc2 și P = γmu, deci

\displaystyle\frac{E}{P}=\frac{{{\gamma{mc}}^{2}}{\gamma{mu}}=\frac{c^2}{u}\\

Cum masa particulei se apropie de zero, viteza sa u se va apropia de c , astfel încât raportul dintre energie și impuls în această limită este

\displaystyle\lim_{m\to0}\frac{E}{P}=\frac{c{{c}^{2}}{c}=c\\\

care este în concordanță cu ecuația pentru energia fotonului.

11. (a) 3,00 × 106 W; (b) Farurile sunt mult prea luminoase; (c) Forța este prea mare.

.

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată.