În postarea mea anterioară despre un Saturn plutitor, am dat de înțeles că aș putea scrie despre metodele pe care le putem folosi pentru a găsi densitatea lui Saturn. Oh, și încă o dată, densitatea lui Saturn este mai mică decât densitatea apei de pe Pământ – dar nu ar pluti.
Doar ca o reamintire, definim densitatea ca fiind:
Aceasta înseamnă că trebuie să determinăm de fapt două lucruri. În primul rând, avem nevoie de masa lui Saturn. În al doilea rând, avem nevoie de volum. Putem obține volumul dacă știm raza lui Saturn.
Volum
Tehnic, Saturn nu este perfect sferic. Distanța de la centru la ecuator este mai mare decât distanța de la centru la pol. Acest lucru se datorează faptului că Saturn se rotește și nu este un obiect rigid. Gândiți-vă la aluatul de pizza care se rotește – același lucru, doar că este vorba de Saturn. De fapt, puteți măsura atât raza polară cât și cea ecuatorială folosind aceeași idee – dar voi pretinde că Saturn este o sferă.
Dacă este o sferă, atunci volumul ar fi:
Dar cum se obține raza (sau diametrul). Primul pas este să ne uităm la dimensiunea unghiulară. Dacă știți dimensiunea unghiulară a unui obiect și distanța până la acel obiect, puteți afla dimensiunea. Iată o imagine pe care am folosit-o de mai multe ori și care arată această relație.
Atunci, dacă obiectul este suficient de departe sau suficient de mic, atunci înălțimea (sau lungimea) va fi aproximativ lungimea arcului de cerc cu o rază egală cu distanța. Dimensiunea obiectului va fi doar dimensiunea unghiulară înmulțită cu distanța la care se află obiectul.
Dar cum se măsoară dimensiunea unghiulară? Ei bine, dacă ai o imagine trebuie să știi câmpul unghiular de vizualizare al camerei tale – am făcut acest lucru experimental cu un iPhone. În zilele de dinaintea aparatelor foto, puteai să folosești un telescop. Nu este prea dificil să măsori dimensiunea unghiulară cu un obiectiv. Trebuie doar să determinați câmpul unghiular de vizualizare pentru obiectiv și apoi să puneți niște marcaje acolo, astfel încât să puteți estima fracțiunea de câmp pentru dimensiunea unghiulară a obiectului.
Acest lucru este minunat, dar depinde de ceva destul de important. Cât de departe este Saturn? Aici intră în scenă Johannes Kepler. Folosind datele disponibile, Kepler a venit cu trei modele pentru mișcarea obiectelor din sistemul solar.
- Calea unui obiect din sistemul solar este o elipsă cu Soarele în focar.
- Cu cât un obiect se apropie mai mult de Soare, cu atât se mișcă mai repede. Kepler a mers chiar mai departe și a spus că, pentru un anumit interval de timp, obiectul va mătura aceeași zonă indiferent de locul în care se află pe orbită.
- Perioada orbitală este legată de distanța orbitală (semiaxa mare). De fapt, pătratul perioadei este proporțional (dar nu egal) cu cubul axei semigrea.
Legile lui Kepler ale mișcării planetare nu sunt o fizică nouă. Dacă doriți, ați putea obține același set de legi folosind principiul momentului și forța gravitațională care este proporțională cu unu pe distanța la pătrat. Cu toate acestea, legile funcționează și ultima lege este cea care este utilă aici. Dacă știu perioada orbitală a lui Saturn și a Pământului, atunci pot scrie:
T este simbolul obișnuit în fizică pentru perioadă, iar unitățile de timp nu prea contează. Constanta de proporționalitate, k se anulează atunci când împart o ecuație cu cealaltă. În final, am o expresie pentru semi-axa majoră pentru Saturn. Dacă Saturn ar fi pe o orbită circulară, aceasta ar fi raza și distanța față de Soare. Dar, de fapt, nu am distanța de la Pământ la Saturn. Pot obține distanța până la Saturn în funcție de distanța de la Soare la Pământ. Pentru a face lucrurile mai ușoare, numim această distanță Pământ-Soarelui 1 unitate astronomică (UA). Asta e minunat și toate cele, dar dacă aș folosi această unitate (UA) pentru dimensiunea lui Saturn, aș obține densitatea în niște unități ciudate – kg/AU3. Pentru a compara densitatea lui Saturn cu cea a apei, avem nevoie de distanța în ceva util – cum ar fi metri sau poate metri.
Cum găsiți valoarea de 1 UA în metri? Există mai multe modalități. Un mod de a găsi această distanță este cel grecesc. Da, astronomii greci au făcut acest lucru cândva în jurul anului 500 î.Hr. Iată o versiune scurtă a modului în care au făcut-o:
- Utilizați umbrele din diferite locații de pe Pământ pentru a determina raza Pământului.
- Să presupunem că Luna se mișcă într-un cerc în jurul Pământului. Determinați diferența dintre poziția calculată (bazată pe centrul Pământului) și poziția reală (măsurată de la suprafață) pentru a determina distanța (și mărimea) Lunii.
- Măsurați unghiul dintre Soare și Lună atunci când faza Lunii este un sfert. Aceasta formează un triunghi dreptunghic. Cunoscând deja distanța de la Pământ la Lună, puteți obține distanța (și mărimea) Lunii.
Iată o postare mai veche care prezintă mai multe detalii din aceste măsurători. Poate că puteți vedea deja problema cu această metodă. Dacă măsurătorile tale sunt greșite pentru mărimea Pământului, atunci tot restul este greșit. Determinarea de către greci a distanței până la Soare nu a fost foarte precisă.
O modalitate mai bună de a obține distanța Pământ-Soare este de a folosi un tranzit al lui Venus. În timpul acestui eveniment, Venus trece între Pământ și Soare. Dacă măsurați ora de început și de sfârșit din diferite locații de pe Pământ, puteți obține o valoare pentru distanța Pământ-Soare. Iată un exemplu cu date moderne.
Îmi plac modalitățile de mai sus de a afla distanța până la Saturn pentru că, teoretic, ați putea să o faceți singuri. Desigur, există modalități și mai bune (mai precise) de a găsi acest lucru, dar ideea este că ați putea într-adevăr să găsiți distanța până la Saturn și, prin urmare, dimensiunea. Cu raza, ați putea găsi volumul.
Masa
Nu putem folosi doar legile lui Kepler pentru a găsi masa. Nu, trebuie să folosim o fizică mai fundamentală. Pe scurt, putem afla masa lui Saturn uitându-ne la una dintre lunile lui Saturn. Dacă știm distanța orbitală și perioada orbitală a unuia dintre sateliți, putem afla masa. Observați că acest lucru este diferit de ceea ce am făcut mai sus pentru a afla volumul. În acel caz, am folosit perioada orbitală a lui Saturn în timp ce acesta se deplasa în jurul Soarelui pentru a afla distanța. Aici avem nevoie atât de distanța cât și de perioada lunii.
Să începem cu puțină fizică de bază. Iată o diagramă a celei mai mari luni a lui Saturn, Titan, în timp ce orbitează.
Forța gravitațională depinde atât de masa lui Saturn și a lui Titan, cât și de distanța dintre ele. Magnitudinea poate fi scrisă sub forma:
Unde G este doar constanta gravitațională universală. Principiul impulsului spune că această forță gravitațională modifică impulsul. Din moment ce această forță este perpendiculară pe momentul (p), atunci forța modifică doar direcția momentului și nu mărimea acestuia. Se pare că pot scrie principiul momentului în termenii forței gravitaționale și a vitezei unghiulare a lui Titan în timp ce orbitează.
Știu că am sărit niște pași, dar ideea este că există o relație între masa lui Saturn, dimensiunea orbitei și viteza orbitală. Dacă pun perioada în loc de viteza unghiulară (perioada = 2π/ω) pot rezolva pentru masa lui Saturn.
Acum mai aveți nevoie doar de trei lucruri: G, mărimea orbitei și perioada orbitei pentru Titan. Perioada este destul de ușoară. Trebuie doar să observați planeta printr-un telescop pentru o perioadă de timp și să numărați zilele până când Titan face o călătorie completă în jurul planetei Saturn (aproximativ 16 zile). Nici dimensiunea orbitei nu este prea greu de obținut. În esență, faceți pentru aceasta același lucru ca și pentru dimensiunea lui Saturn – folosiți distanța și dimensiunea unghiulară.
Constanta gravitațională poate fi găsită cu ajutorul experimentului Cavendish. Practic, niște mase mici pe o tijă rotativă sunt atrase de mase staționare mai mari. Observând răsucirea tijei se poate determina forța gravitațională și astfel G.
Și asta este tot. Odată ce aveți masa și volumul, puteți calcula densitatea. Vedeți, este simplu.
.