Secțiuni cilindriceEdit
O secțiune cilindrică este intersecția suprafeței unui cilindru cu un plan. Ele sunt, în general, curbe și sunt tipuri speciale de secțiuni plane. Secțiunea cilindrică printrun plan care conține două elemente ale unui cilindru este un paralelogram. O astfel de secțiune cilindrică a unui cilindru drept este un dreptunghi.
O secțiune cilindrică în care planul de intersecție intersectează și este perpendicular pe toate elementele cilindrului se numește secțiune dreaptă. Dacă o secțiune dreaptă a unui cilindru este un cerc, atunci cilindrul este un cilindru circular. În termeni mai generali, dacă o secțiune dreaptă a unui cilindru este o secțiune conică (parabolă, elipsă, hiperbolă), atunci cilindrul solid este numit parabolic, eliptic și, respectiv, hiperbolic.
Pentru un cilindru circular drept, există mai multe moduri în care planele se pot întâlni cu un cilindru. În primul rând, planele care intersectează o bază în cel mult un punct. Un plan este tangent la cilindru dacă se întâlnește cu cilindrul într-un singur element. Secțiunile drepte sunt cercuri, iar toate celelalte planuri intersectează suprafața cilindrică într-o elipsă. Dacă un plan intersectează o bază a cilindrului în exact două puncte, atunci segmentul de dreaptă care unește aceste puncte face parte din secțiunea cilindrică. Dacă un astfel de plan conține două elemente, el are drept secțiune cilindrică un dreptunghi, în caz contrar laturile secțiunii cilindrice sunt porțiuni ale unei elipse. În cele din urmă, dacă un plan conține mai mult de două puncte ale unei baze, el conține întreaga bază, iar secțiunea cilindrică este un cerc.
În cazul unui cilindru circular drept cu o secțiune cilindrică care este o elipsă, excentricitatea e a secțiunii cilindrice și semi-axa mare a secțiunii cilindrice depind de raza cilindrului r și de unghiul α dintre planul secant și axa cilindrului, în felul următor:
e = cos α , {\displaystyle e=\cos \alpha ,}
a = r sin α . {\displaystyle a={\frac {r}{\sin \alpha }}.}
VolumeEdit
Dacă baza unui cilindru circular are o rază r și cilindrul are înălțimea h, atunci volumul său este dat de
V = πr2h.
Această formulă este valabilă indiferent dacă cilindrul este sau nu un cilindru drept.
Această formulă poate fi stabilită prin utilizarea principiului lui Cavalieri.
În general, prin același principiu, volumul oricărui cilindru este produsul dintre aria bazei și înălțimea. De exemplu, un cilindru eliptic cu baza având semi-axa mare a, semi-axa mică b și înălțimea h are un volum V = Ah, unde A este aria elipsei de bază (= πab). Acest rezultat pentru cilindrii eliptici drepți poate fi obținut și prin integrare, unde axa cilindrului este considerată drept axa x pozitivă, iar A(x) = A aria fiecărei secțiuni eliptice, astfel:
V = ∫ 0 h A ( x ) d x = ∫ 0 h π a b d x = π a b ∫ 0 h d x = π a b h = π a b h . {\displaystyle V=\int _{0}^{h}A(x)dx=\int _{0}^{h}\pi abdx=\pi ab\int _{0}^{h}dx=\pi abh.}
Utilizând coordonate cilindrice, volumul unui cilindru circular drept poate fi calculat prin integrare peste
= ∫ 0 h ∫ 0 ∫ 0 2 π ∫ 0 r s d s d d ϕ d z {\displaystyle =\int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}s\,\,ds\,d\phi \,dz}
= π r 2 h . {\displaystyle =\pi \\,r^{2}\,h.}
SuprafațaEdit
Având raza r și altitudinea (înălțimea) h, suprafața unui cilindru circular drept, orientat astfel încât axa sa să fie verticală, este formată din trei părți:
- suprafața bazei superioare: πr2
- suprafața bazei inferioare: πr2
- suprafața laturii: 2πrh
Suprafața bazei superioare și a bazei inferioare este aceeași și se numește suprafața bazei, B. Aria laturii se numește aria laterală, L.
Un cilindru deschis nu include nici elementele de sus, nici cele de jos și, prin urmare, are aria suprafeței (aria laterală)
L = 2πrh.
Suprafața cilindrului circular drept masiv este formată din suma celor trei componente: superioară, inferioară și laterală. Suprafața sa este deci,
A = L + 2B = 2πrh + 2πr2 = 2πr(h + r) = πd(r + h),
unde d = 2r este diametrul părții superioare sau inferioare circulare.
Pentru un volum dat, cilindrul circular drept cu cea mai mică suprafață are h = 2r. Echivalent, pentru o suprafață dată, cilindrul circular drept cu cel mai mare volum are h = 2r, adică cilindrul încape perfect într-un cub cu lungimea laturii = altitudinea ( = diametrul cercului de bază).
Aria laterală, L, a unui cilindru circular, care nu trebuie să fie neapărat un cilindru drept, este dată mai general prin:
L = e × p,
unde e este lungimea unui element și p este perimetrul unei secțiuni drepte a cilindrului. Astfel se obține formula anterioară pentru aria laterală atunci când cilindrul este un cilindru circular drept.
Cilindru gol circular drept (cochilie cilindrică)Edit
Un cilindru gol circular drept (sau cochilie cilindrică) este o regiune tridimensională delimitată de doi cilindri circulari drepți având aceeași axă și două baze inelare paralele perpendiculare pe axa comună a cilindrilor, ca în diagramă.
Să fie înălțimea h, raza internă r și raza externă R. Volumul este dat de
V = π ( R 2 – r 2 ) h = 2 π ( R + r 2 ) h ( R – r ) . {\displaystyle V=\pi (R^{2}-r^{2})h=2\pi \left({\frac {R+r}{2}}\right)h(R-r).}
.
Din acest motiv, volumul unei cochilii cilindrice este egal cu 2π(raza medie)(altitudinea)(grosimea).
Suprafața, incluzând partea superioară și cea inferioară, este dată de
A = 2 π ( R + r ) h + 2 π ( R 2 – r 2 ) . {\displaystyle A=2\pi (R+r)h+2\pi (R^{2}-r^{2}).}
.
Cuvelele cilindrice sunt folosite într-o tehnică de integrare obișnuită pentru aflarea volumelor solidelor de revoluție.
Despre sferă și cilindruEdit
În tratatul cu acest nume, scris în jurul anului 225 î.e.n., Arhimede a obținut rezultatul de care era cel mai mândru, și anume obținerea formulelor pentru volumul și suprafața unei sfere prin exploatarea relației dintre o sferă și cilindrul circular drept circumscris acesteia de aceeași înălțime și diametru. Sfera are un volum de două treimi din cel al cilindrului circumscris și o suprafață de două treimi din cea a cilindrului (inclusiv bazele). Deoarece valorile pentru cilindru erau deja cunoscute, el a obținut, pentru prima dată, valorile corespunzătoare pentru sferă. Volumul unei sfere de rază r este 4/3πr3 = 2/3 (2πr3). Aria suprafeței acestei sfere este 4πr2 = 2/3 (6πr2). O sferă și un cilindru sculptate au fost așezate pe mormântul lui Arhimede la cererea acestuia.
.