Calculatorul valorii viitoare

Posted on

Utilizarea calculatorului

Formula valorii viitoare este FV=PV(1+i)n, unde valoarea actuală PV crește pentru fiecare perioadă în viitor cu un factor de 1 + i.

Calculatorul valorii viitoare utilizează mai multe variabile în calculul FV:

  • Suma valorii actuale
  • Numărul perioadelor de timp, de obicei ani
  • Rata dobânzii
  • Frecvența de capitalizare
  • Plăți de fluxuri de numerar
  • Creșterea anuităților și perpetuiților

Valoarea viitoare a unei sume de bani este valoarea sumei actuale la o dată viitoare.

Puteți utiliza acest calculator al valorii viitoare pentru a determina cât va valora investiția dvs. la un moment dat în viitor datorită dobânzilor acumulate și fluxurilor de numerar potențiale.

Puteți introduce 0 pentru orice variabilă pe care doriți să o excludeți atunci când utilizați acest calculator. Celelalte calculatoare de valoare viitoare ale noastre oferă opțiuni pentru calcule mai specifice ale valorii viitoare.

Ce conține calculul valorii viitoare

Calculatorul de valoare viitoare utilizează următoarele variabile pentru a găsi valoarea viitoare FV a unei sume prezente plus plățile de dobânzi și fluxuri de numerar:

Valoare prezentă PV Valoarea prezentă a unei sume de bani Număr de perioade de timp t – Perioadele de timp sunt de obicei un număr de ani
– Asigurați-vă că toate intrările dvs. utilizează aceeași unitate de perioadă de timp (ani, luni etc.).)
– Introduceți p sau perpetuitate pentru o anuitate perpetuă Rata dobânzii R Rata nominală a dobânzii sau rata declarată, sub formă de procentaj Compounding m – Numărul de ori în care are loc compunerea pe perioadă
– Introduceți 1 pentru compunere anuală, care are loc o dată pe an
– Introduceți 4 pentru compunere trimestrială
– Introduceți 12 pentru compunere lunară
– Introduceți 365 pentru compunere zilnică
– Introduceți c sau continuă pentru compunere continuă Valoarea plății de anuitate a fluxului de numerar PMT Valoarea plății în fiecare perioadă Rata de creștere G Rata de creștere a plăților de anuitate pe perioadă, introdusă sub formă de procentaj Numărul de plăți q pe perioadă – Frecvența plăților
– Introduceți 1 pentru plăți anuale care este o dată pe an
– Introduceți 4 pentru plăți trimestriale
– Introduceți 12 pentru plăți lunare
– Introduceți 365 pentru plăți zilnice Când au loc plățile de anuitate T – Selectați sfârșitul care este o anuitate obișnuită cu plăți primite la sfârșitul perioadei
– Selectați începutul când plățile sunt datorate la începutul perioadei Valoare viitoare FV Rezultatul calculului FV este valoarea viitoare a oricărei sume la valoarea actuală plus dobânda și fluxurile de numerar viitoare sau plățile de anuitate

Secțiunile de mai jos arată cum se obțin matematic formulele de calcul al valorii viitoare. Pentru o listă a formulelor prezentate aici, consultați pagina noastră Formule ale valorii viitoare.

Derivarea formulelor valorii viitoare

Valoarea viitoare (FV) a unei sume de valoare prezentă (VP) care acumulează dobândă la rata i pe parcursul unei singure perioade de timp este valoarea prezentă plus dobânda acumulată pentru suma respectivă. Ecuația matematică utilizată în calculatorul valorii viitoare este

\( FV=PV+PVi \)

sau

\( FV=PV(1+i) \)

Pentru fiecare perioadă în viitor, valoarea acumulată crește cu un factor suplimentar (1 + i). Prin urmare, valoarea viitoare acumulată pe parcursul a, să zicem, 3 perioade, este dată de

\( FV_{3}=PV_{3}(1+i)(1+i)(1+i)(1+i)=PV_{3}(1+i)^{3} \)

sau, în general

\( FV_{n}=PV_{n}(1+i)^{n}\tag{1a} \)

și la fel putem rezolva pentru FV pentru a obține

\( PV_{n}=\dfrac{FV_{n}}}{(1+i)^n}\tag{1b} \)

Ecuațiile pe care le avem sunt (1a) valoarea viitoare a unei sume prezente și (1b) valoarea prezentă a unei sume viitoare la o rată periodică a dobânzii i, unde n este numărul de perioade din viitor. În mod obișnuit, această ecuație se aplică cu perioadele ca ani, dar este mai puțin restrictiv să se gândească în termeni mai largi de perioade. Renunțând la indicele din (1b) avem:

Valoarea viitoare a unei sume prezente

\( FV=PV(1+i)^{n}\tag{1} \)

Derivarea formulei valorii viitoare a anuității

O anuitate este o sumă de bani plătită periodic, (la intervale regulate). Să presupunem că avem o serie de valori prezente egale pe care le vom numi plăți (PMT) și care sunt plătite o dată în fiecare perioadă, timp de n perioade, la o rată constantă a dobânzii i. Calculatorul valorii viitoare va calcula FV a seriei de plăți de la 1 la n folosind formula (1) pentru a aduna valorile viitoare individuale.

\( FV=PMT+PMT(1+i)^1+PMT(1+i)^2+…+PMT(1+i)^{n-1}\tag{2a} \)

În formula (2a), plățile se efectuează la sfârșitul perioadelor. Primul termen din partea dreaptă a ecuației, PMT, reprezintă ultima plată din serie efectuată la sfârșitul ultimei perioade, care este în același timp cu valoarea viitoare. Prin urmare, la această plată nu se aplică nicio dobândă. Ultimul termen din partea dreaptă a ecuației, PMT(1+i)n-1, reprezintă prima plată din serie efectuată la sfârșitul primei perioade, care se află la numai n-1 perioade distanță de momentul valorii noastre viitoare.

multiplicați ambele părți ale acestei ecuații cu (1 + i) pentru a obține

\( FV(1+i)=PMT(1+i)^1+PMT(1+i)^2+PMT(1+i)^3+…+PMT(1+i)^{n}\tag{2b} \)

substanțiind ecuația (2a) din (2b) majoritatea termenilor se anulează și rămânem cu

\( FV(1+i)-FV=PMT(1+i)^n-PMT \)

excluzând termenii asemănători de pe ambele părți

\( FV((1+i)-1)=PMT((1+i)^n-1) \)

anulând 1-urile din stânga, apoi împărțind cu i, valoarea viitoare a unei anuități obișnuite, cu plăți efectuate la sfârșitul fiecărei perioade, este

\( FV=\dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1)\tag{2c} \)

Pentru o anuitate datorată, plățile se efectuează la începutul fiecărei perioade în loc de sfârșitul ei, prin urmare plățile sunt acum la o perioadă mai departe de FV. Trebuie să mărim formula cu 1 perioadă de creștere a dobânzii. Aceasta ar putea fi scrisă ca

\( FV_{n}=PV_{n}(1+i)^{(n+1)} \)

Dar dacă eliminăm factorul (1 + i)

\( FV_{n}=PV_{n}(1+i)^{n}(1+i) \)

Acum, înmulțind fiecare plată din ecuația (2a), sau partea dreaptă a ecuației (2c), cu factorul (1 + i), vom obține ecuația FV pentru o anuitate datorată. Aceasta poate fi scrisă mai general sub forma

Valoarea viitoare a unei anuități

\( FV=\dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1)(1+iT)\tag{2} \)

unde T reprezintă tipul. (similar cu formulele Excel) Dacă plățile sunt la sfârșitul perioadei, este o anuitate obișnuită și se stabilește T = 0. Dacă plățile sunt la începutul perioadei, este o anuitate scadentă și se stabilește T = 1.

Valoarea viitoare a unei anuități ordinare

dacă T = 0, plățile sunt la sfârșitul fiecărei perioade și avem formula pentru valoarea viitoare a unei anuități ordinare

\( FV=\dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1)\tag{2.1} \)

Valoarea viitoare a unei anuități scadente

dacă T = 1, plățile sunt la începutul fiecărei perioade și avem formula pentru valoarea viitoare a unei anuități scadente

\( FV=\dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1)(1+i)\tag{2,2} \)

Derivarea formulei de calcul a rentei viagere în creștere a valorii viitoare

Puteți calcula, de asemenea, o rentă viageră în creștere cu acest calculator al valorii viitoare. Într-o anuitate crescătoare, fiecare valoare viitoare rezultată, după prima, crește cu un factor (1 + g), unde g este rata constantă de creștere. Modificând ecuația (2a) pentru a include creșterea, obținem

\( FV=PMT(1+g)^{n-1}+PMT(1+i)^1(1+g)^{n-2}+PMT(1+i)^2(1+g)^{n-3}+…+PMT(1+i)^{n-1}(1+g)^{n-n}\tag{3a} \)

În formula (3a), plățile se efectuează la sfârșitul perioadelor. Primul termen din partea dreaptă a ecuației, PMT(1+g)n-1, a fost ultima plată din serie efectuată la sfârșitul ultimei perioade, care este în același timp cu valoarea viitoare. Când înmulțim prin (1 + g), această perioadă are creșterea de creștere aplicată de (n – 1) ori. Ultimul termen din partea dreaptă a ecuației, PMT(1+i)n-1(1+g)n-n, reprezintă prima plată a seriei efectuată la sfârșitul primei perioade, iar creșterea nu se aplică la prima PMT sau de (n-n) ori.

Multiplicați FV cu (1+i)/(1+g) pentru a obține

\( FV\dfrac{(1+i)}{(1+g)}=PMT(1+i)^1(1+g)^{n-2}+PMT(1+i)^2(1+g)^{n-3}+PMT(1+i)^3(1+g)^{n-4}+…+PMT(1+i)^{n}(1+g)^{n-n-1}\tag{3b} \)

substrăgând ecuația (3a) din (3b) majoritatea termenilor se anulează și rămânem cu

\( FV\dfrac{(1+i)}{(1+g)}-FV=PMT(1+i)^{n}(1+g)^{n-n-1}-PMT(1+g)^{n-1} \)

cu unele manipulări algebrice, înmulțind ambele părți cu (1 + g) avem

\( FV(1+i)-FV(1+g)=PMT(1+i)^{n}-PMT(1+g)^{n} \)

excluzând termenii asemănători din ambele părți

\( FV(1+i-1-g)=PMT((1+i)^{n}-(1+g)^{n}) \)

anulând cei 1 din stânga și apoi împărțind la (i-g) obținem în final

Valoarea viitoare a unei anuități în creștere (g ≠ i)

\( FV=\dfrac{PMT}{(i-g)}((1+i)^{n}-(1+g)^{n}) \)

Similar cu ecuația (2), pentru a ține cont de faptul că avem o anuitate datorată în creștere sau o anuitate obișnuită în creștere, înmulțim cu factorul (1 + iT)

\( FV=\dfrac{PMT}{(i-g)}((1+i)^{n}-(1+g)^{n})(1+iT)\tag{3} \)

Valoarea viitoare a unei anuități crescătoare (g = i)

Dacă g = i putem înlocui g cu i și veți observa că dacă înlocuim termenii (1 + g) din ecuația (3a) cu (1 + i) obținem

\( FV=PMT(1+i)^{n-1}+PMT(1+i)^1(1+i)^{n-2}+PMT(1+i)^2(1+i)^{n-3}+…+PMT(1+i)^{n-1}(1+i)^{n-n} \)

combinând termenii avem

\( FV=PMT(1+i)^{n-1}+PMT(1+i)^{n-1}+PMT(1+i)^{n-1}+…+PMT(1+i)^{n-1} \)

din moment ce avem acum n cazuri de PMT(1+i)n-1 putem reduce ecuația. De asemenea, ținând cont de o anuitate datorată sau de o anuitate obișnuită, înmulțim cu (1 + iT) și obținem

\( FV=PMTn(1+i)^{n-1}(1+iT)\tag{4} \)

Valoarea viitoare a unei perpetuități sau a unei perpetuități în creștere (t → ∞)

Pentru g < i, pentru o perpetuitate, o anuitate perpetuă sau o perpetuitate în creștere, numărul de perioade t merge la infinit, prin urmare n merge la infinit și, în mod logic, valoarea viitoare din ecuațiile (2), (3) și (4) merge la infinit, astfel încât nu se furnizează ecuații. Valoarea viitoare a oricărei perpetuități merge la infinit.

Formula valorii viitoare pentru suma combinată a valorii viitoare și a fluxului de numerar (anuitate):

Potem combina ecuațiile (1) și (2) pentru a avea o formulă a valorii viitoare care include atât o sumă forfetară a valorii viitoare, cât și o anuitate. Această ecuație este comparabilă cu ecuațiile de bază ale valorii în timp a banilor din Excel.

Valoarea viitoare

\( FV=PV(1+i)^{n}+\dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1)(1+iT)\tag{5} \)

Ca în formula (2.1) dacă T = 0, plățile la sfârșitul fiecărei perioade, avem formula pentru valoarea viitoare cu o anuitate obișnuită

\( FV=PV(1+i)^{n}+\dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1) \)

Ca în formula (2.2) dacă T = 1, plățile la începutul fiecărei perioade, avem formula pentru valoarea viitoare cu o anuitate datorată

\( FV=PV(1+i)^{n}+\dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1)(1+i) \)

Valoarea viitoare când i = 0

În cazul în care i = 0, g trebuie să fie, de asemenea, 0, și ne uităm din nou la ecuațiile (1) și (2a) pentru a vedea că formula combinată a valorii viitoare se poate reduce la

\( FV=PV+PMTn(1+iT) \)

Valoarea viitoare cu anuitate crescătoare (g < i)

redactată din formula (3)

\( FV=PV(1+i)^{n}+\dfrac{PMT}{(i-g)}((1+i)^{n}-(1+g)^{n})(1+iT)\tag{6} \)

Valoarea viitoare cu rentă viageră crescătoare (g = i)

redactată din formula (4)

\( FV=PV(1+i)^{n}+PMTn(1+i)^{n-1}(1+iT)\tag{7} \)

Nota privind capitalizarea m, timpul t și rata r

Formula (5) poate fi dezvoltată pentru a ține cont de capitalizare.

\( FV=PV(1+\frac{r}{m})^{mt}+\dfrac{PMT}{\frac{r}{m}}((1+\frac{r}{m})^{mt}-1)(1+(\frac{r}{m})T)\tag{8} \)

unde n = mt și i = r/m. t este numărul de perioade, m este intervalul de capitalizare pe perioadă și r este rata pe perioada t. (acest lucru este ușor de înțeles atunci când se aplică cu t în ani, r este rata nominală pe an și m este intervalul de capitalizare pe an) Când se scrie în termeni de i și n, i este rata pe interval de capitalizare și n este numărul total de intervale de capitalizare, deși acest lucru poate fi exprimat ca „i este rata pe perioadă și n este numărul de perioade”, unde perioada = intervalul de capitalizare. „Perioadă” este un termen larg.

În legătură cu intrările calculatorului, r = R/100 și g = G/100. Dacă frecvența de compunere și frecvența plăților nu coincid în aceste calcule, r și g sunt convertite într-o rată echivalentă pentru a coincide cu plățile, apoi n și i sunt recalculate în funcție de frecvența plăților, q. Prima parte a ecuației este valoarea viitoare a unei sume prezente, iar a doua parte este valoarea viitoare a unei anuități.

Valoarea viitoare cu perpetuitate sau perpetuitate crescătoare (t → ∞ și n = mt → ∞)

Pentru o perpetuitate, rentă perpetuă, numărul de perioade t merge la infinit, prin urmare n merge la infinit și, în mod logic, valoarea viitoare din ecuația (5) merge la infinit, astfel încât nu se furnizează ecuații. Valoarea viitoare a oricărei perpetuități merge la infinit.

Compunere continuă (m → ∞)

Calcularea valorii viitoare cu compunere continuă, privind din nou la formula (8) pentru valoarea prezentă, unde m este compunerea pe perioadă t, t este numărul de perioade și r este rata compusă cu i = r/m și n = mt.

\( FV=PV(1+\frac{r}{m})^{mt}+\dfrac{PMT}{\frac{r}{m}}((1+\frac{r}{m})^{mt}-1)(1+(\frac{r}{m})T)\tag{8} \)

Rata efectivă este ieff = ( 1 + ( r / m ) )m – 1 pentru o rată r compusă de m ori pe perioadă. Se poate demonstra matematic că, pe măsură ce m → ∞, rata efectivă a lui r cu capitalizare continuă atinge limita superioară egală cu er – 1. Îndepărtând m și schimbând r cu rata efectivă a lui r, er – 1:

formula (5) sau (8) devine

\( FV=PV(1+e^r-1)^{t}+\dfrac{PMT}{e^r-1}((1+e^r-1)^{t}-1)(1+(e^r-1)T) \)

anulând 1 acolo unde este posibil, obținem formula finală pentru valoarea viitoare cu capitalizare continuă

Future Value with Continuous Compounding (m → ∞)

\( FV=PVe^{rt}+\dfrac{PMT}{e^r-1}(e^{rt}-1)(1+(e^r-1)T)\tag{9} \)

pentru o anuitate obișnuită

\( FV=PVe^{rt}+\dfrac{PMT}{e^r-1}(e^{rt}-1)\tag{9.1} \)

pentru o anuitate datorată

\( FV=PVe^{rt}+\dfrac{PMT}{e^r-1}(e^{rt}-1)e^r\tag{9.2} \)

Valoarea viitoare a unei anuități crescânde (g ≠ i) și capitalizare continuă (m → ∞)

Potem modifica ecuația (3a) pentru capitalizare continuă, înlocuind i cu er – 1 și obținem:

\( FV=PMT(1+g)^{n-1}+PMT(1+e^{r}-1)^1(1+g)^{n-2}+PMT(1+e^{r}-1)^2(1+g)^{n-3}+…+PMT(1+e^{r}-1)^{n-1}(1+g)^{n-n} \)

which reduces to

\( FV=PMT(1+g)^{n-1}+PMTe^{r}(1+g)^{n-2}+PMTe^{2r}(1+g)^{n-3}+PMTe^{3r}(1+g)^{n-4}+…+PMT(e^{(n-1)r})(1+g)^{n-n}\tag{10a} \)

Multiplicând (10a) prin er/(1+g)

\( \dfrac{FVe^{r}}{1+g}=PMTe^{r}(1+g)^{n-2}+PMTe^{2r}(1+g)^{n-3}+PMTe^{3r}(1+g)^{n-4}+PMTe^{4r}(1+g)^{n-5}+…+PMT(e^{nr})(1+g)^{n-n-1}\tag{10b} \)

substanțiind (10a) din (10b) majoritatea termenilor se anulează lăsând

\( \dfrac{FVe^{r}}{1+g}-FV=PMT(e^{nr})(1+g)^{n-n-1}-PMT(1+g)^{n-1} \)

multiplicând prin (1+g)

\( FVe^{r}-FV(1+g)=PMTe^{nr}-PMT(1+g)^{n} \)

factorizând termenii asemănători din ambele părți, apoi rezolvând FV prin împărțirea ambelor părți la (er – (1+g)) avem

\( FV=\dfrac{PMT}{e^{r}-(1+g)}(e^{nr}-(1+g)^{n}) \)

Adăugând termenul pentru a ține cont de faptul că avem o rentă viageră crescătoare datorată sau o rentă viageră ordinară crescătoare, înmulțim cu factorul (1 + (er-1)T)

\( FV=\dfrac{PMT}{e^{r}-(1+g)}(e^{nr}-(1+g)^{n})(1+(e^{r}-1)T)\tag{10} \)

Valoarea viitoare a unei anuități crescătoare (g = i) și capitalizare continuă (m → ∞)

Începând cu ecuația (4) înlocuind i cu er – 1 și simplificând obținem:

\( FV=PMTne^{r(n-1)}(1+(e^{r}-1)T)\tag{11} \)

Exemplu de calcule ale valorii viitoare:

Un exemplu pe care îl puteți folosi în calculatorul valorii viitoare. Aveți 15.000 de dolari economisiți și veți începe să economisiți 100 de dolari pe lună într-un cont care are un randament de 1,5% pe an compus lunar. Veți face depozitele la sfârșitul fiecărei luni. Doriți să cunoașteți valoarea investiției dvs. peste 10 ani sau, valoarea viitoare a contului dvs. de economii.

  • 1 Perioadă = 1 an
  • Valoarea actuală a investiției PV = 15.000
  • Numărul de perioade t = 10 (ani)
  • Rata pe perioadă R = 1.5% (r = 0,015)
  • Compunere de 12 ori pe perioadă (lunar) m = 12
  • Rata de creștere pe perioadă G = 0
  • Muncă de plată PMT = 100,00
  • Plăți pe perioadă q = 12 (lunar)

Utilizând ecuația (7) avem

.

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată.