Show Mobile Notice Show All Notes Hide All Notes
Secțiunea 7-7 : Tipuri de infinit
Majoritatea elevilor s-au întâlnit cu infinitul la un moment dat, înainte de un curs de calcul. Cu toate acestea, atunci când au avut de-a face cu el, a fost doar un simbol folosit pentru a reprezenta un număr pozitiv foarte, foarte mare sau un număr negativ foarte, foarte mare și asta a fost limita. Odată ajunși la un curs de calcul, elevilor li se cere să facă puțină algebră de bază cu infinitul și aici intră în dificultate. Infinitul NU este un număr și, în cea mai mare parte, nu se comportă ca un număr. Cu toate acestea, în ciuda acestui fapt, ne vom gândi la infinit în această secțiune ca la un număr foarte, foarte, foarte mare care este atât de mare încât nu există un alt număr mai mare decât el. Acest lucru nu este corect, desigur, dar poate ajuta la discuția din această secțiune. Rețineți, de asemenea, că tot ceea ce vom discuta în această secțiune se aplică numai la numerele reale. Dacă trecem la numerele complexe, de exemplu, lucrurile se pot schimba și chiar se schimbă.
Așadar, să începem să ne gândim la adunarea cu infinitul. Când adunați două numere diferite de zero, obțineți un nou număr. De exemplu, \(4 + 7 = 11\). Cu infinitul acest lucru nu este adevărat. Cu infinitul aveți următoarele:
\
Cu alte cuvinte, un număr pozitiv foarte, foarte mare (\(\infty \)) plus orice număr pozitiv, indiferent de mărime, este tot un număr pozitiv foarte, foarte mare. De asemenea, puteți adăuga un număr negativ (de exemplu, \(a < 0\)) la un număr pozitiv foarte, foarte mare și rămâne foarte, foarte mare și pozitiv. Așadar, adunarea care implică infinitul poate fi tratată într-un mod intuitiv dacă ești atent. Rețineți, de asemenea, că \(a\) NU trebuie să fie infinitul negativ. Dacă este, există câteva probleme serioase cu care trebuie să ne confruntăm, după cum vom vedea imediat.
Suprataxa cu infinit negativ poate fi, de asemenea, tratată într-un mod intuitiv în majoritatea cazurilor. Un număr negativ foarte, foarte mare minus orice număr pozitiv, indiferent de mărimea sa, este tot un număr negativ foarte, foarte mare. Scăderea unui număr negativ (de exemplu, \(a < 0\)) dintr-un număr negativ foarte, foarte mare va fi tot un număr negativ foarte, foarte mare. Sau,
\
Din nou, \(a\) nu trebuie să fie infinit negativ pentru a evita unele dificultăți potențial serioase.
Multiplicarea poate fi tratată, de asemenea, destul de intuitiv. Un număr foarte, foarte mare (pozitiv, sau negativ) înmulțit cu orice număr, indiferent de mărime, este tot un număr foarte, foarte mare, va trebui doar să fim atenți la semne. În cazul înmulțirii avem
\
Ceea ce știți despre produsele numerelor pozitive și negative este valabil și aici.
Câteva forme de împărțire pot fi tratate, de asemenea, intuitiv. Un număr foarte, foarte mare împărțit la un număr care nu este prea mare este tot un număr foarte, foarte mare.
\
Diviziunea unui număr la infinit este oarecum intuitivă, dar există câteva subtilități de care trebuie să fiți conștienți. Când vorbim despre împărțirea la infinit, vorbim de fapt despre un proces de limitare în care numitorul se îndreaptă spre infinit. Așadar, un număr care nu este prea mare împărțit la un număr din ce în ce mai mare este un număr din ce în ce mai mic. Cu alte cuvinte, la limită avem,
\
Așadar, am abordat aproape toate operațiile algebrice de bază care implică infinitul. Există două cazuri pe care nu le-am abordat încă. Acestea sunt
\
Problema cu aceste două cazuri este că intuiția nu prea ne ajută aici. Un număr foarte, foarte mare minus un număr foarte, foarte mare poate fi orice (\( – \infty \), o constantă, sau \(\infty \)). De asemenea, un număr foarte, foarte mare împărțit la un număr foarte, foarte mare poate fi, de asemenea, orice (\( \pm \infty \) – acest lucru depinde de aspectele legate de semn, 0 sau o constantă diferită de zero).
Ce trebuie să ne amintim aici este că există numere foarte, foarte mari și apoi există numere foarte, foarte, foarte mari. Cu alte cuvinte, unele infinituri sunt mai mari decât alte infinituri. Cu adunarea, înmulțirea și primele seturi de diviziuni la care am lucrat acest lucru nu a fost o problemă. Mărimea generală a infinitului pur și simplu nu afectează răspunsul în acele cazuri. Cu toate acestea, cu cazurile de scădere și împărțire enumerate mai sus, aceasta contează, după cum vom vedea.
Iată un mod de a ne gândi la această idee că unele infinituri sunt mai mari decât altele. Acesta este un mod destul de arid și tehnic de a gândi acest lucru și probabil că problemele voastre de calcul nu vor folosi niciodată aceste lucruri, dar este un mod frumos de a privi acest lucru. De asemenea, vă rog să rețineți că nu încerc să dau o dovadă precisă a nimic aici. Încerc doar să vă ofer o mică perspectivă asupra problemelor legate de infinit și a modului în care unele infinituri pot fi considerate mai mari decât altele. Pentru o discuție mult mai bună (și cu siguranță mai precisă) vedeți,
http://www.math.vanderbilt.edu/~schectex/courses/infinity.pdf
Să începem prin a ne uita la câte numere întregi există. În mod clar, sper, există un număr infinit, dar haideți să încercăm să înțelegem mai bine „mărimea” acestui infinit. Așadar, alegeți două numere întregi complet la întâmplare. Începeți de la cel mai mic dintre cei doi și enumerați, în ordine crescătoare, toate numerele întregi care vin după acesta. În cele din urmă vom ajunge la cel mai mare dintre cele două numere întregi pe care le-ați ales.
În funcție de mărimea relativă a celor două numere întregi, ar putea dura foarte, foarte mult timp pentru a enumera toate numerele întregi dintre ele și nu există cu adevărat un scop pentru a face acest lucru. Dar, s-ar putea face dacă am vrea și asta este partea importantă.
Pentru că am putea enumera toate aceste numere între două numere întregi alese la întâmplare, spunem că numerele întregi sunt numeric infinite. Din nou, nu există niciun motiv real pentru a face de fapt acest lucru, este pur și simplu ceva ce poate fi făcut dacă am alege să o facem.
În general, un set de numere se numește infinit numeric dacă putem găsi o modalitate de a le enumera pe toate. Într-un cadru matematic mai precis, acest lucru se face în general cu un tip special de funcție numită bijecție care asociază fiecare număr din set cu exact unul dintre numerele întregi pozitive. Pentru a vedea mai multe detalii în acest sens, consultați pdf-ul dat mai sus.
Se poate arăta, de asemenea, că setul tuturor fracțiilor este, de asemenea, infinit numeric, deși acest lucru este puțin mai greu de demonstrat și nu este cu adevărat scopul acestei discuții. Pentru a vedea o demonstrație a acestui lucru, consultați pdf-ul dat mai sus. Acesta are o dovadă foarte frumoasă a acestui fapt.
Să contrastăm acest lucru încercând să ne dăm seama câte numere există în intervalul \( \left(0,1\right) \). Prin numere, mă refer la toate fracțiile posibile care se află între zero și unu, precum și la toate zecimalele posibile (care nu sunt fracții) care se află între zero și unu. Ceea ce urmează este similar cu demonstrația dată în pdf-ul de mai sus, dar a fost suficient de frumoasă și suficient de ușoară (sper) încât am vrut să o includ aici.
Pentru început să presupunem că toate numerele din intervalul \( \left(0,1\right) \) sunt infinit numărabile. Acest lucru înseamnă că ar trebui să existe o modalitate de a le enumera pe toate. Am putea avea ceva de genul următor,
\
Acum, selectați cea de-a \(i\)-a zecimală din \({x_i}\) așa cum se arată mai jos
\
și formați un nou număr cu aceste cifre. Astfel, pentru exemplul nostru, vom avea numărul
\
În această nouă zecimală, înlocuiți toate cifrele 3 cu 1 și înlocuiți toate celelalte cifre cu 3. În cazul exemplului nostru, acest lucru ar duce la noul număr
\
Observați că acest număr se află în intervalul \( \left(0,1\right) \) și, de asemenea, observați că, având în vedere modul în care alegem cifrele numărului, acest număr nu va fi egal cu primul număr din lista noastră, \({x_1}\), deoarece prima cifră a fiecăruia este garantat să nu fie aceeași. De asemenea, acest nou număr nu va fi egal cu cel de-al doilea număr din lista noastră, \({x_2}\), deoarece este garantat că a doua cifră a fiecăruia nu va fi aceeași. Continuând în acest fel, putem vedea că acest nou număr pe care l-am construit, \(\overline x \), este garantat să nu se afle în lista noastră. Dar acest lucru contrazice ipoteza inițială conform căreia am putea enumera toate numerele din intervalul \( \left(0,1\right) \). Prin urmare, nu trebuie să fie posibil să enumerăm toate numerele din intervalul \( \left(0,1\right) \).
Seturile de numere, cum ar fi toate numerele din \( \left(0,1\right) \), pe care nu le putem scrie într-o listă se numesc infinite nenumărabile.
Motivul pentru care trecem peste acest lucru este următorul. Un infinit care este infinit nenumărabil este semnificativ mai mare decât un infinit care este doar infinit numărabil. Așadar, dacă luăm diferența a două infinite avem câteva posibilități.
\
Atenție, observați că nu am pus o diferență a două infinite de același tip. În funcție de context, ar putea exista în continuare o anumită ambiguitate cu privire la exact care ar fi răspunsul în acest caz, dar acesta este un cu totul alt subiect.
Am putea face ceva similar și pentru cvorumul a două infinituri.
\
Din nou, am evitat un cvorum a două infinituri de același tip, deoarece, din nou, în funcție de context, ar putea exista în continuare ambiguități cu privire la valoarea sa.
Deci, asta este tot și sperăm că ați învățat ceva din această discuție. Infinitul pur și simplu nu este un număr și, deoarece există diferite tipuri de infinit, în general nu se comportă ca un număr. Fiți atenți când aveți de-a face cu infinitul.
.