Cadran solar

Cele mai frecvent observate cadrane solare sunt cele în care stilul de aruncare a umbrei este fixat în poziție și aliniat cu axa de rotație a Pământului, fiind orientat cu nordul și sudul adevărat și făcând un unghi cu orizontala egal cu latitudinea geografică. Această axă este aliniată cu polii cerești, care este aliniată îndeaproape, dar nu perfect, cu steaua polară Polaris. Pentru exemplificare, axa celestă este orientată vertical la Polul Nord adevărat, acolo unde este orientată orizontal pe ecuator. La Jaipur, unde se află cel mai mare cadran solar din lume, gnomurile sunt ridicate la 26°55″ deasupra orizontalei, reflectând latitudinea locală.

În orice zi, Soarele pare să se rotească uniform în jurul acestei axe, cu aproximativ 15° pe oră, făcând un circuit complet (360°) în 24 de ore. Un gnomon liniar aliniat cu această axă va proiecta o foaie de umbră (un semiplan) care, căzând opus Soarelui, se rotește, de asemenea, în jurul axei cerești cu 15° pe oră. Umbra se vede prin căderea pe o suprafață receptoare care este de obicei plană, dar care poate fi sferică, cilindrică, conică sau de alte forme. Dacă umbra cade pe o suprafață simetrică în raport cu axa cerească (cum ar fi o sferă armilară sau un cadran ecuatorial), umbra se deplasează în mod uniform; liniile orare de pe cadranul solar sunt egal distanțate. Cu toate acestea, dacă suprafața receptoare nu este simetrică (ca în cazul majorității cadranelor solare orizontale), umbra suprafeței se deplasează, în general, neuniform, iar liniile orare nu sunt distanțate în mod egal; o excepție este cadranul Lambert descris mai jos.

Câteva tipuri de cadrane solare sunt proiectate cu un gnomon fix care nu este aliniat cu polii cerești, precum un obelisc vertical. Astfel de cadrane solare sunt tratate mai jos în secțiunea „Cadrane solare pe bază de gnomon”.

Marcarea empirică a liniilor orareEdit

Caracteristica distinctivă a cadranului ecuatorial (numit și cadran echinocțial) este suprafața plană care primește umbra, care este exact perpendiculară pe stilul gnomonului. Acest plan se numește ecuatorial, deoarece este paralel cu ecuatorul Pământului și cu cel al sferei cerești. Dacă gnomonul este fix și aliniat cu axa de rotație a Pământului, rotația aparentă a Soarelui în jurul Pământului proiectează o foaie de umbră care se rotește uniform de la gnomon; aceasta produce o linie de umbră care se rotește uniform pe planul ecuatorial. Deoarece soarele se rotește 360° în 24 de ore, liniile orare de pe un cadran ecuatorial sunt toate distanțate la 15° (360/24).

H E = 15 ∘ × t (ore) . {\displaystyle H_{E}=15^{\circ }\times t{\text{ (ore)}}.

Uniformitatea spațierii lor face ca acest tip de cadran solar să fie ușor de construit. În cazul în care materialul plăcii de cadran este opac, ambele părți ale cadranului ecuatorial trebuie marcate, deoarece umbra va fi proiectată de jos iarna și de sus vara. În cazul plăcilor de cadran translucide (de exemplu, sticlă), unghiurile orare trebuie marcate doar pe partea orientată spre soare, deși numerotarea orelor (dacă se utilizează) trebuie făcută pe ambele părți ale cadranului, din cauza schemei orare diferite pe partea orientată spre soare și pe cea orientată spre soare.

Un alt avantaj major al acestui cadran este că se pot face corecții ale ecuației timpului (EoT) și ale orei de vară (DST) prin simpla rotire a plăcii de cadran cu unghiul corespunzător în fiecare zi. Acest lucru se datorează faptului că unghiurile orelor sunt distanțate în mod egal în jurul cadranului. Din acest motiv, un cadran ecuatorial este adesea o alegere utilă atunci când cadranul este destinat expunerii publice și este de dorit ca acesta să afișeze adevărata oră locală cu o precizie rezonabilă. Corecția EoT se face prin intermediul relației

Corecția ∘ = EoT (minute) + 60 × Δ DST (ore) 4 . {\displaystyle {\text{Corecție}}^{\circ }={\frac {{text{EoT (minute)}}+60\times \Delta {\text{DST (ore)}}}{4}}.}.

În preajma echinocțiilor de primăvară și toamnă, soarele se deplasează pe un cerc care este aproape identic cu planul ecuatorial; prin urmare, pe cadranul ecuatorial nu se produce o umbră clară în acele perioade ale anului, ceea ce reprezintă un dezavantaj al designului.

Un nodus este uneori adăugat cadranelor solare ecuatoriale, ceea ce permite cadranului solar să indice ora din an. În orice zi, umbra nodusului se deplasează pe un cerc în planul ecuatorial, iar raza cercului măsoară declinația soarelui. Capetele barei gnomonului pot fi folosite ca nodus sau ca un element de pe lungimea sa. O variantă antică a cadranului solar ecuatorial are doar un nodus (fără stil), iar liniile orare circulare concentrice sunt dispuse astfel încât să semene cu o pânză de păianjen.

Cadrane solare orizontaleEdit

În cadranul solar orizontal (numit și cadran solar de grădină), planul care primește umbra este aliniat orizontal, în loc să fie perpendicular pe stil ca la cadranul ecuatorial. Prin urmare, linia de umbră nu se rotește uniform pe fața cadranului; mai degrabă, liniile orare sunt distanțate conform regulii:

tan H H = sin L tan ( 15 ∘ × t ) {\displaystyle \tan H_{H}=\sin L\tan(15^{\circ }\times t)}

Sau în alți termeni:

H H H = tan – 1 {\displaystyle \ H_{H}=\tan ^{-1}}

unde L este latitudinea geografică a cadranului solar (și unghiul pe care gnomonul îl face cu placa cadranului), H H H {\displaystyle H_{H}} este unghiul dintre o anumită linie orară și linia orară a prânzului (care întotdeauna arată spre nordul adevărat) pe plan, iar t este numărul de ore înainte sau după prânz. De exemplu, unghiul H H H {\displaystyle H_{H}} al liniei orare de la ora 15:00 ar fi egal cu arctangenta lui sin L, deoarece tan 45° = 1. Când L este egal cu 90° (la Polul Nord), cadranul solar orizontal devine un cadran solar ecuatorial; stilul este îndreptat drept în sus (vertical), iar planul orizontal este aliniat cu planul ecuatorial; formula liniei orare devine H H H {\displaystyle H_{H}} = 15° × t, ca pentru un cadran ecuatorial. Un cadran solar orizontal la ecuatorul Pământului, unde L este egal cu 0°, ar necesita un stil orizontal (ridicat) și ar fi un exemplu de cadran solar polar (a se vedea mai jos).

Principalele avantaje ale cadranului solar orizontal sunt că este ușor de citit, iar lumina soarelui luminează fața pe tot parcursul anului. Toate liniile orare se intersectează în punctul în care stilul gnomonului traversează planul orizontal. Deoarece stilul este aliniat cu axa de rotație a Pământului, stilul este îndreptat spre nordul adevărat, iar unghiul său cu orizontala este egal cu latitudinea geografică L a cadranului solar. Un cadran solar proiectat pentru o anumită latitudine poate fi ajustat pentru a fi utilizat la o altă latitudine prin înclinarea bazei sale în sus sau în jos cu un unghi egal cu diferența de latitudine. De exemplu, un cadran solar proiectat pentru o latitudine de 40° poate fi utilizat la o latitudine de 45°, dacă planul cadranului solar este înclinat în sus cu 5°, aliniind astfel stilul cu axa de rotație a Pământului.

Multe cadrane solare ornamentale sunt proiectate pentru a fi utilizate la 45 grade nord. Unele cadrane solare de grădină produse în masă nu reușesc să calculeze corect liniile orare și astfel nu pot fi corectate niciodată. Un fus orar local standard are nominal o lățime de 15 grade, dar poate fi modificat pentru a urma granițele geografice sau politice. Un cadran solar poate fi rotit în jurul stilului său (care trebuie să rămână îndreptat spre polul ceresc) pentru a fi ajustat la fusul orar local. În cele mai multe cazuri, este suficientă o rotație cuprinsă între 7,5 grade est și 23 de grade vest. Acest lucru va introduce o eroare în cadranele solare care nu au unghiuri orare egale. Pentru a corecta ora de vară, un cadran are nevoie de două seturi de cifre sau de un tabel de corecție. Un standard informal este acela de a avea cifrele în culori calde pentru vară și în culori reci pentru iarnă. Deoarece unghiurile orare nu sunt distanțate în mod egal, corecțiile ecuației timpului nu pot fi efectuate prin rotirea plăcii cadranului în jurul axei gnomonului. Aceste tipuri de cadrane au, de obicei, o tabelă de corecție a ecuației timpului gravată pe soclu sau în apropiere. Cadranele orizontale sunt frecvent întâlnite în grădini, curți de biserici și în zone publice.

Cadrane solare verticaleEdit

În cadranul vertical comun, planul de recepție a umbrei este aliniat vertical; ca de obicei, stilul gnomonului este aliniat cu axa de rotație a Pământului. Ca și în cadranul orizontal, linia de umbră nu se deplasează uniform pe față; cadranul solar nu este equiangular. Dacă fața cadranului vertical este îndreptată direct spre sud, unghiul liniilor orare este în schimb descris de formula

tan H V = cos L tan ( 15 ∘ × t ) {\displaystyle \tan H_{V}=\cos L\tan(15^{\circ }\times t)}

unde L este latitudinea geografică a cadranului solar, H V {\displaystyle H_{V}} este unghiul dintre o anumită linie orară și linia orară a prânzului (care indică întotdeauna nordul) pe plan, iar t este numărul de ore înainte sau după prânz. De exemplu, unghiul H V {\displaystyle H_{V}} al liniei orare de la ora 15:00 ar fi egal cu arctangenta lui cos L, deoarece tan 45° = 1. Umbra se deplasează în sens invers acelor de ceasornic pe un cadran vertical orientat spre sud, în timp ce se deplasează în sensul acelor de ceasornic pe cadranele orizontale și ecuatoriale orientate spre nord.

Cadranele cu fețele perpendiculare pe sol și care sunt orientate direct spre sud, nord, est sau vest se numesc cadrane verticale directe. Se crede pe scară largă și se afirmă în publicații respectabile că un cadran vertical nu poate primi mai mult de douăsprezece ore de lumină solară pe zi, indiferent de numărul de ore de lumină diurnă care există. Cu toate acestea, există o excepție. Cadranele solare verticale de la tropice care sunt orientate spre polul cel mai apropiat (de exemplu, cele orientate spre nord în zona cuprinsă între Ecuator și Tropicul Cancerului) pot primi, de fapt, mai mult de 12 ore de la răsărit până la apus, pentru o perioadă scurtă, în jurul datei solstițiului de vară. De exemplu, la latitudinea de 20 de grade nord, la 21 iunie, soarele strălucește pe un perete vertical orientat spre nord timp de 13 ore și 21 de minute. Cadranele solare verticale care nu sunt orientate direct spre sud (în emisfera nordică) pot primi semnificativ mai puțin de 12 ore de lumină solară pe zi, în funcție de direcția în care sunt orientate și de perioada anului. De exemplu, un cadran vertical orientat spre est poate indica ora doar în orele de dimineață; după-amiaza, soarele nu strălucește pe fața sa. Cadranele verticale orientate spre est sau vest sunt cadrane polare, care vor fi descrise mai jos. Cadranele verticale orientate spre nord sunt neobișnuite, deoarece acestea indică ora doar primăvara și vara și nu indică orele de amiază decât la latitudini tropicale (și chiar și acolo, doar în jurul mijlocului verii). În cazul cadranelor verticale non-directe – cele care sunt orientate în direcții non-cardinale – matematica aranjării stilului și a liniilor orare devine mai complicată; poate fi mai ușor să se marcheze liniile orare prin observație, dar trebuie calculată mai întâi cel puțin plasarea stilului; se spune că astfel de cadrane sunt cadrane declinante.

Cadranele verticale sunt de obicei montate pe pereții clădirilor, cum ar fi primăriile, cupolele și turnurile bisericilor, unde sunt ușor de văzut de la distanță. În unele cazuri, cadranele verticale sunt amplasate pe toate cele patru laturi ale unui turn dreptunghiular, oferind ora pe tot parcursul zilei. Cadranul poate fi pictat pe perete sau poate fi afișat în piatră încrustată; gnomonul este adesea o singură bară metalică sau un trepied de bare metalice pentru rigiditate. În cazul în care peretele clădirii este orientat spre sud, dar nu este orientat spre sud, gnomonul nu se va afla de-a lungul liniei prânzului, iar liniile orare trebuie corectate. Deoarece stilul gnomonului trebuie să fie paralel cu axa Pământului, acesta „indică întotdeauna” Nordul adevărat, iar unghiul său cu orizontala va fi egal cu latitudinea geografică a cadranului solar; pe un cadran orientat direct spre Sud, unghiul său cu fața verticală a cadranului va fi egal cu colatitudinea, sau 90° minus latitudinea.

Cadrane polareEdit

În cadranele polare, planul de recepție a umbrei este aliniat paralel cu gnomon-stil.Astfel, umbra alunecă lateral pe suprafață, mișcându-se perpendicular pe ea însăși pe măsură ce Soarele se rotește în jurul stilului. Ca și în cazul gnomonului, liniile orare sunt toate aliniate cu axa de rotație a Pământului. Atunci când razele Soarelui sunt aproape paralele cu planul, umbra se deplasează foarte repede, iar liniile orare sunt foarte distanțate. Cadranele orientate direct spre est și vest sunt exemple de cadrane polare. Cu toate acestea, fața unui cadran polar nu trebuie neapărat să fie verticală; trebuie doar să fie paralelă cu gnomonul. Astfel, un plan înclinat la unghiul de latitudine (în raport cu orizontala) sub gnomonul la fel de înclinat va fi un cadran polar. Distanța perpendiculară X a liniilor orare în plan este descrisă de formula

X = H tan ( 15 ∘ × t ) {\displaystyle X=H\tan(15^{\circ }\times t)}

unde H este înălțimea stilului deasupra planului, iar t este timpul (în ore) înainte sau după ora centrală pentru cadranul polar. Ora centrului este ora la care umbra stilului cade direct în jos pe plan; pentru un cadran orientat spre est, ora centrului va fi 6 dimineața, pentru un cadran orientat spre vest, aceasta va fi 6 după-amiaza, iar pentru cadranul înclinat descris mai sus, aceasta va fi prânzul. Când t se apropie la ±6 ore distanță de ora centrală, distanța X diverge la +∞; acest lucru se întâmplă atunci când razele Soarelui devin paralele cu planul.

Cadrane cu declinare verticalăEdit

Un cadran declinant este orice cadran plan, neorizontal, care nu este orientat într-o direcție cardinală, cum ar fi nordul (adevărat), sudul, estul sau vestul. Ca de obicei, stilul gnomonului este aliniat cu axa de rotație a Pământului, dar liniile orare nu sunt simetrice în jurul liniei orare de la prânz. Pentru un cadran vertical, unghiul H VD {\displaystyle H_{\text{VD}}} dintre linia orară de la amiază și o altă linie orară este dat de formula de mai jos. Rețineți că H VD {\displaystyle H_{\text{VD}}} este definit pozitiv în sensul acelor de ceasornic în raport cu unghiul vertical superior al orei; și că transformarea sa în ora solară echivalentă necesită o analiză atentă a cadranului cadranului solar din care face parte.

tan H VD = cos L cos D cot ( 15 ∘ × t ) – s o sin L sin D {\displaystyle \tan H_{\text{VD}}={\frac {\cos L}{\cos D\cot(15^{\circ }\ ori t)-s_{{o}\sin L\sin D}}} tan H V = cos L tan ( 15 ∘ × t ) {\displaystyle \tan H_{\text{V}}=\cos L\tan(15^{\circ }\times t)}

Când un cadran solar nu este aliniat cu o direcție cardinală, subsolul gnomonului său nu este aliniat cu linia orei de prânz. Unghiul B {\displaystyle B} dintre substyle și linia orei de prânz este dat de formula

tan B = sin D cot L {\displaystyle \tan B=\sin D\cot L}.

Înălțimea gnomonului, adică unghiul pe care îl face stilul față de placă, G {\displaystyle G} , este dată de :

sin G = cos D cos L {\displaystyle \sin G=\cos D\cos L}

Cadrane înclinateEdit

Cadranele solare descrise mai sus au gnomoni care sunt aliniați cu axa de rotație a Pământului și își proiectează umbra pe un plan. Dacă planul nu este nici vertical, nici orizontal, nici ecuatorial, se spune că cadranul solar este înclinat sau înclinat. Un astfel de cadran solar ar putea fi amplasat, de exemplu, pe un acoperiș orientat spre sud. Liniile orare pentru un astfel de cadran solar pot fi calculate prin corectarea ușoară a formulei orizontale de mai sus

tan H R V = cos ( L + R ) tan ( 15 ∘ × t ) {\displaystyle \tan H_{RV}=\cos(L+R)\tan(15^{\circ }\times t)}

unde R {\displaystyle R} este unghiul de înclinare dorit în raport cu verticala locală, L este latitudinea geografică a cadranului solar, H R V {\displaystyle H_{RV}} este unghiul dintre o anumită linie orară și linia orară de la prânz (care indică întotdeauna nordul) pe plan, iar t este numărul de ore înainte sau după prânz. De exemplu, unghiul H R V {\displaystyle H_{RVV}} al liniei orare de la ora 15:00 ar fi egal cu arctangenta lui cos(L + R), deoarece tan 45° = 1. Când R este egal cu 0° (cu alte cuvinte, un cadran vertical orientat spre sud), obținem formula cadranului vertical de mai sus.

Câțiva autori folosesc un nomenclator mai specific pentru a descrie orientarea planului de recepție a umbrei. Dacă fața planului este îndreptată în jos spre sol, se spune că este proclinată sau înclinată, în timp ce se spune că un cadran este înclinat atunci când fața cadranului este îndreptată spre pământ. De asemenea, mulți autori se referă adesea la cadranele solare înclinate, proclinate și înclinate în general ca fiind cadrane solare înclinate. De asemenea, în acest din urmă caz, se obișnuiește să se măsoare unghiul de înclinare în raport cu planul orizontal de pe latura solară a cadranului. în astfel de texte, deoarece I = 90° + R, formula unghiului orar va fi adesea văzută scrisă sub forma :

tan H R V = sin ( L + I ) tan ( 15 ∘ × t ) {\displaystyle \tan H_{RV}=\sin(L+I)\tan(15^{\circ }\times t)}

Unghiul dintre stilul gnomonului și placa cadranului, B, în acest tip de cadran solar este :

B = 90 ∘ – ( L + R ) {\displaystyle B=90^{\circ }-(L+R)}

Sau :

B = 180 ∘ – ( L + I ) {\displaystyle B=180^{\circ }-(L+I)}

Cadrane declinante-reclinante/ Cadrane declinante-inclinanteEdit

Câteva cadrane solare atât declină cât și se înclină, în sensul că planul lor de primire a umbrei nu este orientat cu o direcție cardinală (cum ar fi Nordul adevărat sau Sudul adevărat) și nu este nici orizontal, nici vertical, nici ecuatorial. De exemplu, un astfel de cadran solar ar putea fi găsit pe un acoperiș care nu era orientat într-o direcție cardinală.

Formulele care descriu spațierea liniilor orare pe astfel de cadrane sunt ceva mai complicate decât cele pentru cadrane mai simple.

Există diverse abordări de rezolvare, inclusiv unele care folosesc metodele matricelor de rotație, iar altele care realizează un model 3D al planului înclinat-declinat și al planului vertical al omologului său declinat, extrăgând relațiile geometrice dintre componentele unghiului orar pe aceste două planuri și reducând apoi algebra trigonometrică.

Un sistem de formule pentru cadrane solare înclinate-declinate: (așa cum a fost declarat de Fennewick)

Unghiul H RD {\displaystyle H_{\text{RD}}} dintre linia orară de la prânz și o altă linie orară este dat de formula de mai jos. Rețineți că H RD {\displaystyle H_{\text{RD}}} avansează în sens invers acelor de ceasornic în raport cu unghiul orei zero pentru acele cadrane care sunt parțial orientate spre sud și în sensul acelor de ceasornic pentru cele orientate spre nord.

tan H RD = cos R cos L – sin R sin L cos D – s o sin R sin D cot ( 15 ∘ × t ) cos D cot ( 15 ∘ × t ) – s o sin D sin L {\displaystyle \tan H_{\text{RD}}={\frac {\cos R\cos L-\sin R\sin R\sin L\cos D-s_{o}\sin R\sin R\sin D\cot(15^{\circ }\times t)}{\cos D\cot(15^{\circ }\times t)-s_{o}\sin D\sin D\sin L}}}

în intervalele de parametri : D < D c {\displaystyle D<D_{c}} și – 90 ∘ < R < ( 90 ∘ – L ) {\displaystyle -90^{\circ }<R<(90^{\circ }-L)} .

tan H RD = sin I cos L + cos I sin L cos D + s o cos I sin D cot ( 15 ∘ × t ) cos D cot ( 15 ∘ × t ) – s o sin D sin L {\displaystyle \tan H_{\text{RD}}={\frac {\sin I\cos L+\cos I\sin L\cos D+s_{o}\cos I\sin D\cot(15^{\circ }\times t)}{\cos D\cot(15^{\circ }\times t)-{\cos D\cot(15^{\circ }\times t)-s_{o}\sin D\sin L}}}}

în intervalele de parametri : D < D c {\displaystyle D<D_{c}} și 0 ∘ < I < ( 180 ∘ – L ) {\displaystyle 0^{\circ }<I<(180^{\circ }-L)} .

Aici L {\displaystyle L} este latitudinea geografică a cadranului solar; s o {\displaystyle s_{o}} este numărul întreg al comutatorului de orientare; t este ora în ore înainte sau după prânz; iar R {\displaystyle R} și D {\displaystyle D} sunt unghiurile de înclinare și, respectiv, de declinație. rețineți că R {\displaystyle R} este măsurat în raport cu verticala. Acesta este pozitiv atunci când cadranul se înclină înapoi spre orizontul din spatele cadranului și negativ atunci când cadranul se înclină înainte spre orizontul din partea Soarelui. Unghiul de declinație D {\displaystyle D} este definit ca fiind pozitiv atunci când se deplasează spre est față de sudul adevărat.Cadranele orientate total sau parțial spre sud au s o {\displaystyle s_{o}} = +1, în timp ce cele orientate parțial sau total spre nord au o valoare s o {\displaystyle s_{o}} de -1.Deoarece expresia de mai sus oferă unghiul orar sub forma unei funcții arctanice, trebuie să se acorde atenția cuvenită cuadrantului din cadranul solar căruia îi aparține fiecare oră înainte de a atribui unghiul orar corect.

În comparație cu cadranul solar mai simplu cu declinare verticală, acest tip de cadran nu afișează întotdeauna unghiurile orare pe fața sa dinspre soare pentru toate declinările între est și vest. Atunci când un cadran din emisfera nordică orientat parțial spre sud se înclină înapoi (adică departe de Soare) față de verticală, gnomonul va deveni coplanar cu placa cadranului la declinații mai mici decât spre est sau spre vest. La fel și în cazul cadranelor din emisfera sudică care sunt parțial orientate spre nord. dacă aceste cadrane s-ar înclina în față, intervalul de declinație ar depăși, de fapt, estul și vestul. în mod similar, cadranele din emisfera nordică care sunt parțial orientate spre nord și cadranele din emisfera sudică care sunt orientate spre sud și care se înclină în față spre gnomonii lor orientați în sus, vor avea o restricție similară în ceea ce privește intervalul de declinație posibil pentru o anumită valoare de declinație.Declinația critică D c {\displaystyle D_{c}} este o constrângere geometrică care depinde atât de valoarea reclinației cadranului, cât și de latitudinea sa :

cos D c = tan R tan L = – tan L cot I {\displaystyle \cos D_{c}=\tan R\tan L=-\tan L\cot I}

Ca și în cazul cadranului declinat vertical, subsolul gnomonului nu este aliniat cu linia orei de prânz. Formula generală pentru unghiul B {\displaystyle B} , dintre substil și linia amiezii este dată de :

tan B = sin D sin R sin R cos D + cos R tan L = sin D cos I cos D – sin I tan L {\displaystyle \tan B={\frac {\sin D}{\sin R\cos D+\cos R\tan L}}={\frac {\sin D}{\cos I\cos D-\sin I\sin I\tan L}}}}

Unghiul G {\displaystyle G} , între stil și placă este dat de :

sin G = cos L cos D cos R – sin L sin R = – cos L cos D sin I + sin L cos I {\displaystyle \sin G=\cos L\cos L\cos D\cos R-\sin L\sin R=-\cos L\cos D\sin I+\sin L\cos I}

Rețineți că pentru G = 0 ∘ {\displaystyle G=0^{\circ }} , adică atunci când gnomonul este coplanar cu cadranul, avem :

cos D = tan L tan R = – tan L cot I {\displaystyle \cos D=\tan L\tan R=-\tan L\cot I}.

i.e. atunci când D = D c {\displaystyle D=D_{c}} , valoarea critică a declinării.

Metoda empiricăEdit

Din cauza complexității calculelor de mai sus, utilizarea lor în scopul practic al proiectării unui cadran de acest tip este dificilă și predispusă la erori. S-a sugerat că este mai bine să se localizeze liniile orare în mod empiric, marcând pozițiile umbrei unui stil pe un cadran solar real la intervale orare, așa cum arată un ceas și adăugând/deducând ecuația de ajustare a timpului din ziua respectivă. Vezi Marcarea empirică a liniilor orare, mai sus.

Cadrane solare sfericeEdit

Suprafața care primește umbra nu trebuie să fie neapărat plană, ci poate avea orice formă, cu condiția ca cel care realizează cadranul solar să fie dispus să marcheze liniile orare. Dacă stilul este aliniat cu axa de rotație a Pământului, o formă sferică este convenabilă, deoarece liniile orare sunt distanțate în mod egal, așa cum sunt pe cadranul ecuatorial de mai sus; cadranul solar este echiangular. Acesta este principiul care stă la baza sferei armilare și a cadranului solar cu arc ecuatorial. Cu toate acestea, unele cadrane solare equiangulare – cum ar fi cadranul Lambert descris mai jos – se bazează pe alte principii.

În cadranul solar cu arc ecuatorial, gnomonul este o bară, o fantă sau un fir întins paralel cu axa cerească. Fața este un semicerc, corespunzând ecuatorului sferei, cu marcaje pe suprafața interioară. Acest model, construit pe o lățime de câțiva metri din invar de oțel invariabil din punct de vedere al temperaturii, a fost folosit pentru a menține trenurile la timp în Franța înainte de Primul Război Mondial.

Printre cele mai precise cadrane solare realizate vreodată se numără două arcuri ecuatoriale construite din marmură găsite în Yantra mandir. Această colecție de cadrane solare și alte instrumente astronomice a fost construită de Maharajahul Jai Singh al II-lea în noua sa capitală de atunci, Jaipur, India, între 1727 și 1733. Arcul ecuatorial mai mare este numit Samrat Yantra (Instrumentul Suprem); aflat la 27 de metri, umbra sa se mișcă vizibil cu 1 mm pe secundă, sau aproximativ o lățime de mână (6 cm) la fiecare minut.

Cadrane solare cilindrice, conice și alte cadrane solare neplaneEdit

Pot fi folosite și alte suprafețe neplane pentru a primi umbra gnomonului.

Ca o alternativă elegantă, stilul (care ar putea fi creat printr-o gaură sau o fantă în circumferință) poate fi amplasat pe circumferința unui cilindru sau a unei sfere, mai degrabă decât pe axa centrală de simetrie a acestuia.

În acest caz, liniile orare sunt din nou distanțate în mod egal, dar la un unghi dublu față de cel obișnuit, datorită teoremei geometrice a unghiului înscris. Aceasta este baza unor cadrane solare moderne, dar a fost folosită și în antichitate;

Într-o altă variantă a cilindrului aliniat pe axa polară, un cadran cilindric ar putea fi redat ca o suprafață sub formă de panglică elicoidală, cu un gnomon subțire situat fie de-a lungul centrului său, fie la periferie.

.