Construcția de bază din această secțiune este produsul punctiform, care măsoară unghiurile dintre vectori și calculează lungimea unui vector.
Definiție
Produsul punctat a doi vectori x,y în Rn este
Gândind x,y ca vectori coloană, acesta este același lucru cu xTy.
De exemplu,
Observați că produsul punctual a doi vectori este un scalar.
Puteți face aritmetică cu produse punctiforme în cea mai mare parte ca de obicei, atâta timp cât vă amintiți că puteți pune punctul între doi vectori și că rezultatul este un scalar.
Proprietăți ale produsului punctiform
Să fie x,y,z vectori în Rn și să fie c un scalar.
- Comutativitate: x-y=y-x.
- Distributivitate cu adunare: (x+y)-z=x-z+y-z.
- Distributivitate cu înmulțire scalară: (cx)-y=c(x-y).
Produsul în puncte al unui vector cu el însuși este un caz special important:
De aceea, pentru orice vector x, avem:
- x-x≥0
- x-x=0⇐⇒x=0.
Aceasta conduce la o bună definiție a lungimii.
Fact
Lungimea unui vector x în Rn este numărul
Este ușor de văzut de ce acest lucru este adevărat pentru vectorii din R2, prin teorema lui Pitagora.
Pentru vectorii din R3, se poate verifica că AxA este într-adevăr lungimea lui x, deși acum acest lucru necesită două aplicații ale teoremei lui Pitagora.
Rețineți că lungimea unui vector este lungimea săgeții; dacă ne gândim în termeni de puncte, atunci lungimea este distanța sa față de origine.
Fact
Dacă x este un vector și c este un scalar, atunci AcxA=|c|-AxA.
Aceasta spune că scalarea unui vector cu c scalează lungimea sa cu |c|. De exemplu,
Acum că avem o noțiune bună de lungime, putem defini distanța dintre punctele din Rn. Reamintim că diferența dintre două puncte x,y este în mod natural un vector, și anume, vectorul y-x care arată de la x la y.
Definiție
Distanța dintre două puncte x,y în Rn este lungimea vectorului de la x la y:
Vectorii cu lungimea 1 sunt foarte comuni în aplicații, așa că le dăm un nume.
Definiție
Un vector unitar este un vector x cu lungimea AxA=Bx-x=1.
Vectorii de coordonate standard e1,e2,e3,… sunt vectori unitari:
Pentru orice vector x diferit de zero, există un vector unitar unic care arată în aceeași direcție. Acesta se obține prin împărțirea la lungimea lui x.
Fact
Să fie x un vector nenul în Rn. Vectorul unitar în direcția lui x este vectorul x/AxA.
Acesta este de fapt un vector unitar (observând că AxA este un număr pozitiv, deci CC1/AxACC=1/AxA):
.