Relógio de sol

Horizontal sundial em Minnesota. 17 de junho de 2007 às 12:21. 44°51′39.3″N, 93°36′58.4″W

Nos mostradores polares, o plano de recepção de sombras é alinhado paralelamente ao estilo gnomon. Tal como acontece com o gnomon, as linhas horárias estão todas alinhadas com o eixo rotativo da Terra. Quando os raios do Sol estão quase paralelos ao plano, a sombra move-se muito rapidamente e as linhas horárias estão muito espaçadas. Os mostradores diretos voltados para Leste e Oeste são exemplos de um mostrador polar. Entretanto, a face de um mostrador polar não precisa ser vertical; ele só precisa ser paralelo ao gnomon. Assim, um plano inclinado no ângulo de latitude (em relação à horizontal) sob o gnómon com inclinação semelhante será um mostrador polar. O espaçamento perpendicular X das linhas horárias no plano é descrito pela fórmula

X = H tan ( 15 ∘ × t ) {\i1}displaystyle X=H\tan(15^{\i}{\i1}vezes t)}

onde H é a altura do estilo acima do plano, e t é o tempo (em horas) antes ou depois do tempo central para o mostrador polar. A hora central é a hora em que a sombra do estilo cai diretamente sobre o plano; para um mostrador voltado para Leste, a hora central será 6 da manhã, para um mostrador voltado para Oeste, será 6 da tarde, e para o mostrador inclinado descrito acima, será meio-dia. Quando t se aproxima ±6 horas do tempo central, o espaçamento X diverge para +∞; isto ocorre quando os raios do Sol se tornam paralelos ao plano.

Discadores declinantes verticaisEditar

Um mostrador em declínio é qualquer mostrador não-horizontal, planar, que não esteja virado na direcção cardinal, como (verdadeiro) Norte, Sul, Este ou Oeste. Como de costume, o estilo gnomon está alinhado com o eixo rotacional da Terra, mas as linhas horárias não são simétricas em relação à linha horária do meio-dia. Para um mostrador vertical, o ângulo H VD {\displaystyle H_{\displaystyle H_{\displaystyle H_{\displaystyle VD}} entre a linha horária do meio-dia e outra linha horária é dado pela fórmula abaixo. Note que H VD {\displaystyle H_{\text{VD}}} é definido positivo no sentido horário w.r.t. o ângulo horário vertical superior; e que sua conversão para a hora solar equivalente requer uma cuidadosa consideração de qual quadrante do relógio de sol ele pertence.

tan H VD = cos L cos D cot ( 15 ∘ × t ) – s o sin L sin D {\i1}displaystyle {\i}tan H_{\i1}frac {\i}{\i1}frac {\i}{\i1}cot(15^{\i}circ {\i}times t)-s_sin Lsin D}} tan H V = cos L tan ( 15 ∘ × t ) {\i1}displaystyle {\i} {\i1}tan H_text{\i}=cos L {\i}tan(15^{\i}circ {\i}times t)}

Quando um relógio de sol não está alinhado com a direcção cardinal, o substrato do seu gnomon não está alinhado com a linha do meio-dia. O ângulo B {\a10} entre o substrato e a linha horária do meio-dia é dado pela fórmula

tan B = sin D cot L {\a10}displaystyle B=sin Dcot L

A altura do gnomon, que é o ângulo que o estilo faz com a placa, G {\i1}displaystyle G é dado por :

sin G = cos D cos L {\\sin G==cos D=cos L}

Discagem reclinadaEditar

Os solares descritos acima têm gnomons que estão alinhados com o eixo rotacional da Terra e lançam sua sombra sobre um plano. Se o plano não é vertical nem horizontal nem equatorial, diz-se que o relógio de sol é reclinável ou inclinável. Tal relógio de sol pode estar localizado em um telhado voltado para o Sul, por exemplo. As linhas horárias para tal relógio de sol podem ser calculadas corrigindo ligeiramente a fórmula horizontal acima de

tan H R V = cos ( L + R ) tan ( 15 ∘ × t ) {\i1}displaystyle {\i1}tan H_{RV}=\i(L+R){\i(15^{\i}{\i1}times t)}

onde R {\displaystyle R} é o ângulo desejado de inclinação em relação à vertical local, L é a latitude geográfica do relógio de sol, H R V {\displaystyle H_{RV}} é o ângulo entre uma determinada linha horária e a linha do meio-dia (que sempre aponta para norte) no plano, e t é o número de horas antes ou depois do meio-dia. Por exemplo, o ângulo H R V {\displaystyle H_{RV}} da linha horária das 15 horas seria igual ao arctangent do cos(L + R), já que tan 45° = 1. Quando R é igual a 0° (em outras palavras, um mostrador vertical voltado para Sul), obtemos a fórmula do mostrador vertical acima.

Alguns autores usam uma nomenclatura mais específica para descrever a orientação do plano de recepção de sombras. Se a face do plano aponta para baixo em direção ao solo, diz-se que está inclinada ou inclinada, enquanto um mostrador é dito que está reclinado quando a face do mostrador está apontando para longe do solo. Muitos autores também se referem frequentemente aos solares inclinados, inclinados e inclinados em geral como solares inclinados. Também é comum neste último caso medir o ângulo de inclinação em relação ao plano horizontal no lado do sol do mostrador. Nestes textos, desde I = 90° + R, a fórmula do ângulo horário será frequentemente vista escrita como :

tan H R V = sin ( L + I ) tan ( 15 ∘ × t ) {\displaystyle \tan H_{RV}=\sin(L+I)\tan(15^{\circ }} vezes t)}

O ângulo entre o estilo gnomon e a placa do mostrador, B, neste tipo de relógio de sol é :

B = 90 ∘ – ( L + R ) {\displaystyle B=90^{\circ }-(L+R)}

Or :

B = 180 ∘ – ( L + I ) {\i1}displaystyle B=180^{\i}-(L+I)}

Discagem declinante/discagem declinanteDiscagem declinanteEditar

alguns solares tanto declinam como reclinam, na medida em que o seu plano de recepção de sombras não é orientado com uma direcção cardinal (como o verdadeiro Norte ou o verdadeiro Sul) e não é horizontal, nem vertical ou equatorial. Por exemplo, tal relógio de sol pode ser encontrado em um telhado que não foi orientado na direção cardinal.

As fórmulas que descrevem o espaçamento das linhas horárias em tais mostradores são bastante mais complicadas do que aquelas para mostradores mais simples.

Existem várias abordagens de soluções, incluindo algumas utilizando os métodos de matrizes de rotação, e algumas fazendo um modelo 3D do plano inclinado-declinado e seu plano vertical declinado, extraindo as relações geométricas entre os componentes do ângulo horário em ambos os planos e depois reduzindo a álgebra trigonométrica.

Um sistema de fórmulas para os solares declinados-reclinados: (como indicado por Fennewick)

O ângulo H RD {\displaystyle H_{\text{RD}}} entre a linha horária do meio-dia e outra linha horária é dado pela fórmula abaixo. Note que H RD {\displaystyle H_{\text{RD}}} avança no sentido anti-horário em relação ao ângulo horário zero para os mostradores que estão parcialmente virados para sul e no sentido horário para os que estão virados para norte.

tan H RD = cos R cos L – sin R sin L cos D – s o sin R sin D cot ( 15 ∘ × t ) cos D cot ( 15 ∘ × t ) – s o sin D pec L {\i1}costão H_{\i}={\i1}frac {\i}ccos R pec D cot ( 15 ∘ × t )\em R-cotsin L-cotsin D-sin D-cotsin D-cotsin (15 vezes t)-sin D-cotsin L-cotsin (15 vezes t)-sin D-cotsin L-cotsin

na gama de parâmetros : D < D c {\displaystyle D<D_{c}} e – 90 ∘ < R < ( 90 ∘ – L ) {\displaystyle -90^{\displaystyle -90^{\dcirc }<R<(90^{\dcirc }-L)} .

tan H RD = pec I cos L + cos I pec L cos D + s o cos I pec D cot ( 15 ∘ × t ) cos D cot ( 15 ∘ × t ) – s o sin D sin L {\i1}displaystyle {\i1}tan H_text{\i}{\i1}frac {\i1}frac {\i1}cos L+cos I{\i}cos D+cot(15^sin D+sin D+cot(15^circ {\i}times t)-s_sin Dsin L}}

na gama de parâmetros : D < D c {\displaystyle D<D_{c}} e 0 ∘ < I < ( 180 ∘ – L ) {\displaystyle 0^{\displaystyle 0^{\circ }<I<(180^{\dcirc }-L)} .

Aqui L {\displaystyle L} é a latitude geográfica do relógio de sol; s o {\displaystyle s_{\displaystyle s_{\displaystyle s_{\displaystyle} é o inteiro do interruptor de orientação; t é o tempo em horas antes ou depois do meio-dia; e R {\displaystyle R} e D {\displaystyle D} são os ângulos de reclinação e declinação, respectivamente. Note que R {\displaystyle R} é medido com referência à vertical. É positivo quando o mostrador se inclina para trás em direção ao horizonte atrás do mostrador e negativo quando o mostrador se inclina para frente em direção ao horizonte do lado do Sol. O ângulo de declinação D {\displaystyle D} é definido como positivo quando se move para leste do verdadeiro sul. Os mostradores voltados total ou parcialmente para sul têm o {\displaystyle s_{\displaystyle s_{\d} = +1, enquanto os voltados parcial ou totalmente para norte têm um valor s o {\displaystyle s_{\displaystyle s_{\displaystyle s_{\displaystyle} de -1.Como a expressão acima dá o ângulo horário como uma função arctan, deve-se considerar a que quadrante do relógio de sol cada hora pertence antes de atribuir o ângulo horário correto.

Desse modo como o relógio de sol vertical declinante mais simples, este tipo de mostrador nem sempre mostra os ângulos horários na sua face lateral para todas as declinações entre o leste e o oeste. Quando um hemisfério norte parcialmente virado para sul reclina para trás (isto é, afastado do Sol) da vertical, o gnomon se tornará co-planar com a placa do relógio de sol em declinações menores do que o devido leste ou devido oeste. Da mesma forma, os mostradores do hemisfério sul que estão parcialmente virados para o norte e os do hemisfério sul que estão virados para o sul, e que se inclinam para a frente em direção aos seus gnómonos apontando para cima, terão uma restrição semelhante na faixa de declinação que é possível para um determinado valor de reclinação.A declinação crítica D c c {\i1} é uma restrição geométrica que depende do valor da reclinação do mostrador e da sua latitude :

cos D c = tan R tan L = – tan L cot I {\i}displaystyle D_{c}==tan R\tan L=-t-tan Lcot I}

Como com o mostrador vertical declinado, o substrato do gnomon não está alinhado com a linha do meio-dia da hora. A fórmula geral para o ângulo B {\displaystyle B} , entre o subestilo e a linha do meio-dia é dada por :

tan B = sin D sin R cos D + cos R tan L = sin D cos I cos D – sin I tan L {\i1}displaystyle {\i1}tan B=frac {\i1}sin D=sin R=cos D+\i D+cos R=tan L}}{\i1}frac {\i1}displaystyle {\i}

O ângulo G {\i1}displaystyle G entre o estilo e a placa é dado por :

pecado G = cos L cos D cos R – pecado L pecado R = – cos L cos D pecado I + pecado L cos I {\a1}displaystyle {\a1}sin G==-cos L=cos D=cos R-sin L=-cos L=cos D=sin I+sin L=cos I

Nota que para G = 0 ∘ {\\i1}->>>>>>>>>>>>>>Nota que para G = 0 ∘ ^{\i} ou seja, quando o gnomon é coplanar com a placa de marcação, temos :

cos D = tan L tan R = – tan L cot I {\a1}displaystyle {\a1}cos D=-t-tan L=tan L=cot I

i.e. quando D = D c {\displaystyle D=D_{c}}} O valor crítico de declinação.

Método empíricoEditar

Por causa da complexidade dos cálculos acima, usá-los para o propósito prático de projetar um mostrador deste tipo é difícil e propenso a erros. Tem sido sugerido que é melhor localizar empiricamente as linhas horárias, marcando as posições da sombra de um estilo num relógio de sol real em intervalos horários como mostrado por um relógio e adicionando/deduzindo a equação desse dia de ajuste horário. Veja Empirical hour-line marking, above.

Spherical sundialsEdit