Física

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Objectivos de aprendizagem

No final desta secção, será capaz de:

  • Relatar o momento linear de um fotão à sua energia ou comprimento de onda, e aplicar a conservação do momento linear a processos simples envolvendo a emissão, absorção ou reflexão de fotões.
  • Conta qualitativamente para o aumento do comprimento de onda do fóton observado, e explica o significado do comprimento de onda de Compton.

Medir o Momento Fóton

O quantum da radiação EM que chamamos de fóton tem propriedades análogas às das partículas que podemos ver, tais como grãos de areia. Um fotão interage como uma unidade em colisões ou quando absorvido, e não como uma onda extensa. Os quanta massivos, como os elétrons, também agem como partículas macroscópicas – algo que esperamos, pois são as menores unidades de matéria. As partículas transportam tanto o impulso como a energia. Apesar dos fótons não terem massa, há muito tempo há evidências de que a radiação EM carrega momentum. (Maxwell e outros que estudaram as ondas EM previram que elas carregariam o momento). É agora um fato bem estabelecido que os fótons carregam momentum. Na verdade, o momentum dos fótons é sugerido pelo efeito fotoelétrico, onde os fótons derrubam os elétrons de uma substância. A Figura 1 mostra evidência macroscópica do momento do fotão.

Figure 1. As caudas do cometa Hale-Bopp apontam para longe do Sol, evidência de que a luz tem momentum. A poeira que emana do corpo do cometa forma esta cauda. Partículas de poeira são empurradas para longe do Sol pela luz que reflete delas. A cauda de gás azul ionizado também é produzida por fotões que interagem com os átomos do material do cometa. (crédito: Geoff Chester, Marinha dos Estados Unidos, via Wikimedia Commons)

Figure 1 mostra um cometa com duas caudas proeminentes. O que a maioria das pessoas não sabe sobre as caudas é que elas sempre apontam para longe do Sol ao invés de ficar atrás do cometa (como a cauda das ovelhas do Bo Peep). As caudas dos cometas são compostas por gases e poeira evaporada do corpo do cometa e gás ionizado. As partículas de poeira recuam para longe do Sol quando os fotões se dispersam deles. Evidentemente, os fótons carregam um momento na direção de seu movimento (para longe do Sol), e parte desse momento é transferido para partículas de poeira em colisões. Os átomos de gás e moléculas na cauda azul são mais afectados por outras partículas de radiação, tais como prótons e electrões que emanam do Sol, do que pelo momento dos fotões.

Fazer ligações: Conservação do Momentum

Não é apenas o momento conservado em todos os domínios da física, mas todos os tipos de partículas têm momento. Esperamos que partículas com massa tenham momentum, mas agora vemos que partículas sem massa incluindo fótons também carregam momentum.

Figure 2. O efeito Compton é o nome dado à dispersão de um fotão por um electrão. Energia e momentum são conservados, resultando numa redução de ambos para o fotão disperso. Estudando este efeito, Compton verificou que os fótons têm momentum.

Momentum é conservado na mecânica quântica, assim como na relatividade e na física clássica. Algumas das primeiras evidências experimentais diretas disso vieram da dispersão de fótons de raios-x por elétrons em substâncias, nomeada dispersão de Compton em homenagem ao físico americano Arthur H. Compton (1892-1962). Por volta de 1923, Compton observou que os raios X espalhados a partir de materiais tinham uma diminuição de energia e analisou corretamente isso como sendo devido à dispersão de fótons a partir de elétrons. Este fenômeno poderia ser tratado como uma colisão entre duas partículas – um fóton e um elétron em repouso no material. A energia e o momento são conservados na colisão. (Veja Figura 2) Ele ganhou um Prêmio Nobel em 1929 pela descoberta deste espalhamento, agora chamado efeito Compton, porque ajudou a provar que o momento do fóton é dado por p=frac{h}{lambda}, onde h é a constante de Planck e λ é o comprimento de onda do fóton. (Note que o momento relativista dado como p = γmu é válido apenas para partículas com massa.)

Vemos que o momento do fotão é pequeno, já que p=\frac{h}{lambda}{h é muito pequeno. É por esta razão que normalmente não observamos o momento do fóton. Nossos espelhos não retrocedem quando a luz reflete deles (exceto talvez em desenhos animados). Compton viu os efeitos do momento fotônico porque ele estava observando raios x, que têm um pequeno comprimento de onda e um momento relativamente grande, interagindo com o mais leve das partículas, o elétron.

Exemplo 1. Elétron e Momento Fóton Comparado

  1. Calcular o momento de um fóton visível que tem um comprimento de onda de 500 nm.
  2. Passar a velocidade de um elétron com o mesmo momento.
  3. Qual é a energia do electrão, e como se compara com a energia do fotão?

Estratégia

Encontrar o momento do fotão é uma aplicação directa da sua definição: p=\frac{h}{\lambda}{\i}{\i}. Se acharmos que o momento fóton é pequeno, então podemos assumir que um elétron com o mesmo momento será não-relativístico, tornando fácil encontrar sua velocidade e energia cinética a partir das fórmulas clássicas.

Solução para a Parte 1

O momento fóton é dado pela equação: p=\frac{h}{\lambda}{h}{\lambda}{h}{\lambda

Entrar os rendimentos do comprimento de onda do fotão dado

>>displaystyle{p}=frac{6.63\\text{-34\text{ J }cdot\text{ s}{500\text{-9}\text{ m}=1.33 vezes10^{-27}text{ kg}cdot{ m/s}text{ m/s}

Solução para a Parte 2

Desde que este momento é de facto pequeno, vamos usar a expressão clássica p = mv para encontrar a velocidade de um electrão com este momento. Resolvendo para v e usando o valor conhecido para a massa de um elétron dá

\displaystyle{v}=\frac{p}{m}=\frac{1.33\times10^{-27}\text{ kg}cdot{ m/s}{9.11 vezes10^{-31}text{ kg}=1460^text{ m/s}approx1460^text{ m/s}

Solução para a Parte 3

O electrão tem energia cinética, que é classicamente dada pelo texto{KE}_e=frac{1}{2}mv^2}.

Thus, {KE}_e=frac{1}{2}esquerda(9.11}vezes10^{-3}texto{ kg}direita){esquerda(1455}texto{ m/s}direita)^2=9.64 vezes10^{-25}texto{ J}.

Convertendo isto para eV multiplicando por {1}frac{1}texto{ eV}{1.602}vezes10^{-19}texto{ J}}produz KEe = 6.02 × 10-6 eV.

A energia do fotão E é

E==frac{hc}{\i}{\i1}frac{1240}text{\i}{\i1}{\i1.602}text{\i}{\i1.500}text{\i}=2.48\texto{ eV},

que é cerca de cinco ordens de magnitude maior.

Discussão

O momento do fotão é de facto pequeno. Mesmo que tenhamos números enormes deles, o momento total que eles carregam é pequeno. Um electrão com o mesmo momentum tem uma velocidade de 1460 m/s, o que é claramente não-relativista. Uma partícula mais maciça com o mesmo momentum teria uma velocidade ainda menor. Isto é confirmado pelo facto de que é necessária muito menos energia para dar a um electrão o mesmo momento que a um fotão. Mas numa escala quântico-mecânica, especialmente para fotões de alta energia que interagem com pequenas massas, o momento do fotão é significativo. Mesmo em grande escala, o momento do fóton pode ter um efeito se houver um número suficiente deles e se não houver nada que impeça o recuo lento da matéria. Caudas de cometas são um exemplo, mas também há propostas para construir velas espaciais que usam enormes espelhos de baixa massa (feitos de Mylar aluminizado) para refletir a luz solar. No vácuo do espaço, os espelhos recuariam gradualmente e poderiam realmente levar as naves espaciais de um lugar para o outro no sistema solar. (Veja Figura 3.)

Figure 3. (a) Velas espaciais têm sido propostas que usam o impulso da luz solar refletindo de velas gigantescas de baixa massa para impulsionar as naves espaciais sobre o sistema solar. Um modelo russo de teste deste (o Cosmos 1) foi lançado em 2005, mas não entrou em órbita devido a uma falha do foguete. (b) Uma versão americana deste, rotulada LightSail-1, está agendada para lançamento experimental na primeira parte desta década. Terá uma vela de 40-m2. (crédito: Kim Newton/NASA)

Relativistic Photon Momentum

Existe uma relação entre o momento fóton p e a energia fóton E que é consistente com a relação dada anteriormente para a energia total relativista de uma partícula como E2 = (pc)2 + (mc)2. Sabemos que m é zero para um fotão, mas p não é, de modo que E2 = (pc)2 + (mc)2 torna-se E = pc, ou p=\frac{E}{c}{c}}{fotões}.

Para verificar a validade desta relação, note que E=\frac{hc}{hc}{lambda}{\i}{\i1}para um fotão. Substituindo isto em p=frac{E}{c}{c}{c}produção

>displaystyle{p}=frac{hc}{c}=lambda}{c=frac{hc},

como determinado experimentalmente e discutido acima. Assim, p=E/c é equivalente ao resultado do Compton p=h/λ. Para uma verificação adicional da relação entre energia e momento do fotão, ver Exemplo 2.

Detectores de fotões

Muitos sistemas de detecção falados até agora – olhos, placas fotográficas, tubos fotomultiplicadores em microscópios e câmaras CCD – baseiam-se nas propriedades granulométricas dos fotões que interagem com uma área sensível. Uma mudança é causada e ou a mudança é em cascata ou zilhões de pontos são gravados para formar uma imagem que detectamos. Estes detectores são utilizados em sistemas biomédicos de imagem, e há uma pesquisa em curso para melhorar a eficiência da recepção de fotões, particularmente através de sistemas de detecção de arrefecimento e redução dos efeitos térmicos.

Exemplo 2. Energia e Momento do Fóton

Mostrar que p=\frac{E}{c}\ para o fóton considerado no Exemplo 1.

Estratégia

Passaremos a energia E encontrada no Exemplo 1, dividimo-la pela velocidade da luz, e veremos se o mesmo momento é obtido como antes.

Solução

Dado que a energia do fotão é 2,48 eV e convertendo isto em joules, obtemos

p=\frac{E}{c}=\frac{\esquerda(2.48\text{ eV}\right)\left(1.60\times10^{-16}\text{ J/eV}\right)}{3.00\times10^8\text{ m/s}}=1.33 vezes10^{-27}text{ kg }cdot{ m/s}}text{ m/s}

Discussão

Este valor de momento é o mesmo encontrado anteriormente (note que valores não arredondados são usados em todos os cálculos para evitar até mesmo pequenos erros de arredondamento), uma verificação esperada da relação p=frac{E}{c}. Isto também significa que a relação entre energia, momento e massa dada por E2 = (pc)2 + (mc)2 se aplica tanto à matéria como aos fótons. Mais uma vez, note que p não é zero, mesmo quando m é.

Problem-Solving Suggestion

Note que as formas das constantes h = 4.14 × 10-15 eV ⋅ s e hc = 1240 eV ⋅ nm podem ser particularmente úteis para os Problemas e Exercícios desta secção.

Secção Resumo

  • Photons have momentum, dado por p=\frac{h}{\lambda}, onde λ é o comprimento de onda do fotão.
  • Energia e momentum do fotão estão relacionados por p=\frac{E}{c}, onde E=hf=\frac{hc}{\lambda}{hc}{\fotão.

Perguntas conceptuais

  1. Que fórmula pode ser usada para o momento de todas as partículas, com ou sem massa?
  2. Existe alguma diferença mensurável entre o momento de um fóton e o momento da matéria?
  3. Por que não sentimos o momento da luz solar quando estamos na praia?

Problemas & Exercícios

  1. (a) Encontrar o momento de um fotão de microondas de 4,00 cm de comprimento de onda. (b) Discuta porque espera que a resposta a (a) seja muito pequena.
  2. (a) Qual é o momento de um fotão de 0,0100 nm de comprimento de onda que poderia detectar detalhes de um átomo? (b) Qual é a sua energia em MeV?
  3. (a) Qual é o comprimento de onda de um fotão que tem um momento de 5,00 × 10-29 kg – m/s? (b) Qual é a sua energia em eV.
  4. (a) Um fotão de raio γ tem um momento de 8,00 × 10-21 kg – m/s. Qual é o seu comprimento de onda? (b) Calcular a sua energia em MeV.
  5. (a) Calcular o momento de um fotão com um comprimento de onda de 2,50 μm. (b) Encontrar a velocidade de um elétron com o mesmo momento. (c) Qual é a energia cinética do elétron, e como se compara com a do fóton?
  6. Repetir o problema anterior para um fóton com comprimento de onda de 10,0 nm.
  7. (a) Calcular o comprimento de onda de um fóton que tem o mesmo momento que um próton movendo-se a 1,00% da velocidade da luz. (b) Qual é a energia do fóton em MeV? (c) Qual é a energia cinética do próton em MeV?
  8. (a) Encontrar o momento de um fotão de raio X de 100-keV. (b) Encontrar a velocidade equivalente de um nêutron com o mesmo momento. (c) Qual é a energia cinética do nêutron em keV?
  9. Toma a razão da energia de repouso relativista, E = γmc2, para o momento relativista, p = γmu, e mostra que no limite que a massa se aproxima de zero, você encontra \frac{E}{p}=c\\\\\
  10. Constrói o teu próprio problema. Considere uma vela espacial como a mencionada no Exemplo 1. Construa um problema no qual você calcula a pressão da luz na vela em N/m2 produzida pela reflexão da luz solar. Também calcule a força que poderia ser produzida e quanto efeito isso teria sobre uma nave espacial. Entre as coisas a serem consideradas estão a intensidade da luz solar, seu comprimento de onda médio, o número de fótons por metro quadrado que isso implica, a área da vela espacial e a massa do sistema sendo acelerada.
  11. Resultados irrazoáveis. Um carro sente uma pequena força devido à luz que envia de seus faróis, igual ao momento da luz dividido pelo tempo em que é emitido. (a) Calcular a potência de cada farol, se exercerem uma força total de 2,00 × 10-2 N para trás no carro. (b) O que há de irrazoável neste resultado? (c) Que suposições são irrazoáveis ou inconsistentes?

Glossary

Momento de fotão: a quantidade de momento que um fotão tem, calculada por p=\frac{h}{\lambda }=\frac{E}{c}

Efeito de Compósito: o fenómeno pelo qual os raios x espalhados dos materiais diminuíram a energia

Select Solutions to Problems & Exercises

1. (a) 1,66 × 10-32 kg ⋅ m/s; (b) O comprimento de onda dos fótons de microondas é grande, de modo que o momento que eles carregam é muito pequeno.

3. (a) 13,3 μm; (b) 9,38 × 10-2 eV

5. (a) 2,65 × 10-28 kg – m/s; (b) 291 m/s; (c) elétron 3,86 × 10-26 J, fóton 7,96 × 10-20 J, razão 2,06 × 106

7. (a) 1,32 × 10-13 m; (b) 9,39 MeV; (c) 4,70 × 10-2 MeV

9. E = γmc2 e P = γmu, so

\displaystyle\frac{E}{P}==frac{\gamma{mc}}^{2}{\gamma{mu}==frac{c^2}{u}}

> Quando a massa de partícula se aproxima de zero, a sua velocidade u aproximar-se-á c , para que a razão entre energia e momento neste limite seja

>>>lim_{m-to0}frac{E}{P}=frac{c}=c=c

o que é consistente com a equação para a energia do fotão.

11. (a) 3,00 × 106 W; (b) Os faróis são demasiado brilhantes; (c) A força é demasiado grande.

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