No meu post anterior sobre um Saturno flutuante, eu sugeri que eu poderia escrever sobre os métodos que podemos usar para encontrar a densidade de Saturno. Ah, e mais uma vez, a densidade de Saturno é menor que a densidade da água na Terra – mas não flutuaria.
Apenas como lembrete, definimos densidade como:
Isto significa que precisamos realmente de determinar duas coisas. Primeiro, precisamos da massa de Saturno. Segundo, precisamos do volume. Podemos obter o volume se conhecermos o raio de Saturno.
Volume
Tecnicamente, Saturno não é perfeitamente esférico. A distância do centro para o equador é maior que a distância do centro para o pólo. Isto é porque Saturno está girando e não é um objeto rígido. Pense na massa de pizza girando – a mesma coisa, exceto que é Saturno. Você pode realmente medir tanto o raio polar quanto o equatorial usando a mesma idéia – mas eu vou apenas fingir que Saturno é uma esfera.
Se for uma esfera, então o volume seria:
Mas como você obtém o raio (ou diâmetro). O primeiro passo é olhar para o tamanho angular. Se você souber o tamanho angular de um objeto e a distância até esse objeto, você pode encontrar o tamanho. Aqui está uma figura que usei várias vezes que mostra essa relação.
Então, se o objeto estiver longe ou pequeno o suficiente então a altura (ou comprimento) será aproximadamente o comprimento do arco de um círculo com o mesmo raio que a distância. O tamanho do objeto será apenas o tamanho angular multiplicado pela distância do objeto.
Mas como se mede o tamanho angular? Bem, se você tem uma foto você precisa conhecer o campo de visão angular da sua câmera – eu fiz isso experimentalmente com um iPhone. Em dias antes das câmeras, você poderia usar apenas um telescópio. Não é muito difícil medir o tamanho angular com uma lente. Você só precisa determinar o campo de visão angular para a lente e depois colocar algumas marcas para que você possa estimar a fração do campo para o tamanho angular do objeto.
Isso é ótimo, mas depende de algo bastante importante. A que distância está Saturno? É aqui que Johannes Kepler entra na história. Usando os dados disponíveis, Kepler criou três modelos para o movimento de objetos no sistema solar.
- O caminho de um objeto no sistema solar é uma elipse com o Sol em um foco.
- À medida que um objeto se aproxima do Sol, ele vai mais rápido. Kepler foi ainda mais longe e disse que por um determinado intervalo de tempo, o objeto varreria a mesma área não importando onde estivesse em sua órbita.
- O período orbital está relacionado à distância orbital (eixo semi-maior). Na verdade, o quadrado do período é proporcional (mas não igual) ao cubo do eixo semi-maior.
Kepler’s Laws of planetetary motion is not new physics. Se você quiser, você poderia obter o mesmo conjunto de leis usando o princípio do momento e força gravitacional proporcional a uma sobre a distância ao quadrado. No entanto, as leis funcionam e é a última lei que é útil aqui. Se eu conhecer o período orbital de Saturno e da Terra, então eu posso escrever:
O T é o símbolo comum da física para o período e as unidades de tempo não importam realmente. A constante de proporcionalidade, k cancela quando eu divido uma equação pela outra. No final, eu tenho uma expressão para semi-eixo maior para Saturno. Se Saturno estivesse numa órbita circular, este seria o raio e a distância até ao Sol. Ah ha! Mas na verdade não tenho a distância da Terra a Saturno. Posso conseguir a distância a Saturno em termos da distância do Sol à Terra. Só para tornar as coisas mais fáceis, chamamos a isto distância Terra-Sol 1 Unidade Astronómica (UA). Isso é ótimo e tudo, mas se eu usar essa unidade (AU) para o tamanho de Saturno, eu conseguiria a densidade em algumas unidades estranhas – kg/AU3. Para comparar a densidade de Saturno com a água, precisamos da distância em algo útil – como metros ou talvez metros.
Como você encontra o valor de 1 AU em metros? Há várias maneiras. Uma maneira de encontrar esta distância é o caminho grego. Sim, os astrônomos gregos fizeram isso por volta de 500 AC. Aqui está uma versão curta de como eles fizeram:
- Utilizar sombras em diferentes locais na Terra para determinar o raio da Terra.
- Assumir que a lua se move em círculo ao redor da Terra. Determinar a diferença entre a posição calculada (baseada no centro da Terra) e a posição real (medida a partir da superfície) para determinar a distância (e tamanho) da Lua.
- Medir o ângulo entre o Sol e a Lua quando a fase da Lua é um quarto. Isto faz um triângulo à direita. Com a distância da Terra à Lua já conhecida, você pode obter a distância (e tamanho) da Lua.
Aqui está um poste mais antigo que mostra mais detalhes nestas medidas. Talvez você já consiga ver o problema com este método. Se as suas medições estão desligadas para o tamanho da Terra, então tudo o resto está desligado. A determinação do grego da distância ao Sol não foi muito precisa.
Uma melhor maneira de obter a distância Terra-Sol é usar um trânsito de Vénus. Durante este evento, Vénus passa entre a Terra e o Sol. Se você medir o tempo de início e fim a partir de diferentes locais na Terra, você pode obter um valor para a distância Terra-Sol. Aqui está um exemplo com dados modernos.
Eu gosto das formas acima para encontrar a distância a Saturno porque teoricamente, você mesmo poderia fazer isso. Claro que existem ainda melhores (mais precisas) maneiras de encontrar isso, mas a questão é que você poderia de fato encontrar a distância até Saturno e, portanto, o tamanho. Com o raio, você poderia encontrar o volume.
Massa
Não podemos simplesmente usar as Leis de Kepler para encontrar a massa. Não, precisamos de usar mais alguma física fundamental. Em suma, podemos encontrar a massa de Saturno olhando para uma das luas de Saturno. Se conhecermos a distância orbital e o período orbital de uma das luas, podemos encontrar a massa. Note que isto é diferente do que fizemos acima para encontrar o volume. Nesse caso, usamos o período orbital de Saturno enquanto ele se movia ao redor do Sol para encontrar a distância. Aqui precisamos tanto da distância como do período da lua.
Demos início com alguma física básica. Aqui está um diagrama da maior lua de Saturno, Titã, à medida que orbita.
A força gravitacional depende tanto da massa de Saturno e Titã, como da distância entre eles. A magnitude pode ser escrita como:
Onde G é apenas a constante gravitacional universal. O princípio do momentum diz que esta força gravitacional muda o momentum. Como esta força é perpendicular ao momento (p), então a força muda apenas a direção do momento e não a magnitude. Acontece que posso escrever o princípio de momento em termos da força gravitacional e da velocidade angular de Titã à medida que orbita.
Eu sei que saltei alguns passos mas a questão é que existe uma relação entre a massa de Saturno, o tamanho orbital e a velocidade orbital. Se eu colocar no período ao invés da velocidade angular (período = ω/ω) eu posso resolver para a massa de Saturno.
Agora você só precisa de três coisas: G, o tamanho da órbita, e o período da órbita para Titan. O período é bastante fácil. Você só precisa observar o planeta através de um telescópio por algum tempo e contar os dias até Titan fazer uma viagem completa ao redor do planeta Saturno (cerca de 16 dias). O tamanho orbital também não é muito difícil de conseguir. Essencialmente você faz a mesma coisa para isso que o tamanho de Saturno – use a distância e o tamanho angular.
A constante gravitacional pode ser encontrada com a experiência Cavendish. Basicamente, algumas pequenas massas em uma haste rotativa são atraídas por massas estacionárias maiores. Olhando a torção na haste você pode determinar a força gravitacional e assim G.
E é isso. Uma vez que você tem a massa e o volume, você pode calcular a densidade. Veja, é simples.