Secções cilíndricasEditar
Uma secção cilíndrica é a intersecção da superfície de um cilindro com um plano. São, em geral, curvas e são tipos especiais de seções planas. A seção cilíndrica por um plano que contém dois elementos de um cilindro é um paralelogramo. Tal secção cilíndrica de um cilindro direito é um rectângulo.
Uma secção cilíndrica em que o plano de intersecção se intersecta e é perpendicular a todos os elementos do cilindro é chamada de secção direita. Se uma seção direita de um cilindro é um círculo, então o cilindro é um cilindro circular. Em termos mais gerais, se uma secção direita de um cilindro é uma secção cónica (parábola, elipse, hipérbole) então o cilindro sólido é dito parabólico, elíptico e hiperbólico, respectivamente.
Para um cilindro circular direito, existem várias maneiras de se encontrar um cilindro. Primeiro, planos que intersectam uma base em no máximo um ponto. Um plano é tangente ao cilindro se ele encontra o cilindro em um único elemento. As secções direitas são círculos e todos os outros planos interceptam a superfície cilíndrica numa elipse. Se um plano intersecta uma base do cilindro em exatamente dois pontos, então o segmento de linha que une esses pontos é parte da seção cilíndrica. Se tal plano contém dois elementos, tem um rectângulo como secção cilíndrica, caso contrário os lados da secção cilíndrica são porções de uma elipse. Finalmente, se um plano contém mais de dois pontos de uma base, contém a base inteira e a seção cilíndrica é um círculo.
No caso de um cilindro circular direito com secção cilíndrica que é uma elipse, a excentricidade e da secção cilíndrica e semi-maior a da secção cilíndrica depende do raio do cilindro r e do ângulo α entre o plano secante e o eixo do cilindro, da seguinte forma:
e = cos α , {\displaystyle e=\cos \alpha ,}
a = r sin α . estilo de jogo a=frac {r}{sin alfa }.}
VolumeEditar
Se a base de um cilindro circular tem um raio r e o cilindro tem altura h, então o seu volume é dado por
V = πr2h.
Esta fórmula é válida quer o cilindro seja ou não um cilindro correcto.
Esta fórmula pode ser estabelecida utilizando o princípio de Cavalieri.
Em termos mais gerais, pelo mesmo princípio, o volume de qualquer cilindro é o produto da área de uma base e da altura. Por exemplo, um cilindro elíptico com uma base com eixo semi-maior a, eixo semi-maior b e altura h tem um volume V = Ah, onde A é a área da elipse de base (= πab). Este resultado para cilindros elípticos direitos também pode ser obtido por integração, onde o eixo do cilindro é tomado como eixo positivo x e A(x) = A a área de cada seção transversal elíptica, assim:
V = ∫ 0 h A ( x ) d x = ∫ 0 h π a b d x = π a b ∫ 0 h d x = π a b h . V=int _{0}^{h}A(x)dx=int _{0}^{h}{h}pi abdx==pi abint _{0}^{h}dx==pi abh.}
Usando coordenadas cilíndricas, o volume de um cilindro circular direito pode ser calculado por integração sobre
= ∫ 0 h ∫ 0 2 π ∫ 0 r s d s d ϕ d z {\i}{\i}{\i1}int _{\i}^{\i}}int _{\i}^{\i}}int _{\i} {\i} {\i} dz
= π r 2 h . estilo de jogo =\pi,r^{2},h.}
Área de superfícieEditar
Raio de pouso r e altitude (altura) h, a área de superfície de um cilindro circular direito, orientado para que o seu eixo seja vertical, é composto por três partes:
- a área da base superior: πr2
- a área da base inferior: πr2
- a área da lateral: 2πrh
A área das bases superior e inferior é a mesma, e é chamada de área da base, B. A área do lado é conhecida como área lateral, L.
Um cilindro aberto não inclui nem os elementos superiores nem os inferiores, e portanto tem área de superfície (área lateral)
L = 2πrh.
A área de superfície do cilindro circular direito sólido é composta pela soma dos três elementos: superior, inferior e lateral. A sua superfície é portanto,
A = L + 2B = 2πrh + 2πr2 = 2πr(h + r) = πd(r + h),
onde d = 2r é o diâmetro do topo ou do fundo circular.
Para um determinado volume, o cilindro circular direito com a menor superfície tem h = 2r. Igualmente, para uma dada superfície, o cilindro circular direito com o maior volume tem h = 2r, ou seja, o cilindro encaixa bem num cubo de comprimento lateral = altitude ( = diâmetro do círculo base).
A área lateral, L, de um cilindro circular, que não precisa ser um cilindro direito, é mais geralmente dada por:
L = e × p,
onde e é o comprimento de um elemento e p é o perímetro de uma secção direita do cilindro. Isto produz a fórmula anterior para a área lateral quando o cilindro é um cilindro circular direito.
Cilindro oco circular direito (concha cilíndrica)Editar
Um cilindro oco circular direito (ou concha cilíndrica) é uma região tridimensional delimitada por dois cilindros circulares direitos com o mesmo eixo e duas bases anulares paralelas perpendiculares ao eixo comum dos cilindros, como no diagrama.
Deixe a altura ser h, raio interno r, e raio externo R. O volume é dado por
V = π ( R 2 – r 2 ) h = 2 π ( R + r 2 ) h ( R – r ) . V=\i (R^{2}-r^{2})h=2\i {\i {\i} h=2\i {\i1}esquerda(R+r}{\i}{\i1}direita)h(R-r).}
.
Assim, o volume de um invólucro cilíndrico é igual a 2π(raio médio)(altitude)(espessura).
A superfície, incluindo a parte superior e inferior, é dada por
A = 2 π ( R + r ) h + 2 π ( R 2 – r 2 ) . {\displaystyle A=2\pi (R+r)h+2\pi (R^{2}-r^{2}).}
.
Conchas cilíndricas são utilizadas numa técnica de integração comum para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Na Esfera e CilindroEditar
No tratado com este nome, escrito c. 225 a.C., Arquimedes obteve o resultado do qual se sentiu mais orgulhoso, nomeadamente a obtenção das fórmulas para o volume e área de superfície de uma esfera, explorando a relação entre uma esfera e o seu cilindro circular direito circunscrito, da mesma altura e diâmetro. A esfera tem um volume dois terços do cilindro circunscrito e uma superfície dois terços da superfície do cilindro (incluindo as bases). Como os valores para o cilindro já eram conhecidos, obteve, pela primeira vez, os valores correspondentes para a esfera. O volume de uma esfera de raio r é 4/3πr3 = 2/3 (2πr3). A superfície desta esfera é 4πr2 = 2/3 (6πr2). Uma esfera esculpida e um cilindro foram colocados no túmulo de Arquimedes a seu pedido.