Calculadora de Valor Futuro

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A fórmula de valor futuro é FV=PV(1+i)n, onde o valor presente PV aumenta para cada período no futuro por um fator de 1 + i.

A calculadora de valor futuro usa múltiplas variáveis no cálculo de FV:

  • A soma do valor presente
  • Número de períodos de tempo, tipicamente anos
  • Taxa de juros
  • Frequência de cálculo
  • Pagamentos de fluxo de caixa
  • Anuidades de crescimento e perpetuidades

O valor futuro de uma soma de dinheiro é o valor da soma atual em uma data futura.

Você pode usar esta calculadora de valor futuro para determinar quanto seu investimento valerá em algum momento no futuro devido a juros acumulados e fluxos de caixa potenciais.

Você pode digitar 0 para qualquer variável que você gostaria de excluir ao usar esta calculadora. As nossas outras calculadoras de valor futuro fornecem opções para cálculos de valor futuro mais específicos.

O que está no Cálculo do Valor Futuro

A calculadora de valor futuro usa as seguintes variáveis para encontrar o valor futuro FV de uma soma presente mais juros e pagamentos de fluxo de caixa:

Valor Presente PV Valor presente de uma soma de dinheiro Número de períodos de tempo t – Os períodos de tempo são normalmente um número de anos
– Certifique-se de que todos os seus inputs usam a mesma unidade de período de tempo (anos, meses, etc.))
– Insira p ou perpetuidade para uma anuidade perpétua Taxa de juros R A taxa de juros nominal ou taxa declarada, como porcentagem Composta m – O número de vezes composto ocorre por período
– Entre 1 para composto anual que é uma vez por ano
– Entre 4 para composto trimestral
– Entre 12 para composto mensal
– Entre 365 para composto diário
– Entre c ou contínuo para composto contínuo Montante de pagamento de anuidades de fluxo de caixa PMT O montante de pagamento em cada período Taxa de crescimento G A taxa de crescimento de pagamentos de anuidades por período entrado como uma porcentagem Número de pagamentos q por período – Freqüência de pagamento
– Entre 1 para pagamentos anuais que é uma vez por ano
– Insira 4 para pagamentos trimestrais
– Insira 12 para pagamentos mensais
– Insira 365 para pagamentos diários Quando ocorrem pagamentos de anuidades T – Selecione fim que é uma anuidade ordinária com pagamentos recebidos no fim do período
– Selecione início quando os pagamentos são devidos no início do período Valor Futuro FV O resultado do cálculo FV é o valor futuro de qualquer soma de valor presente mais juros e fluxos de caixa futuros ou pagamentos de anuidades

As seções abaixo mostram como obter matematicamente fórmulas de valor futuro. Para uma lista das fórmulas aqui apresentadas veja a nossa página de Fórmulas de Valor Futuro.

Future Value Formula Derivation

O valor futuro (FV) de uma soma de valor presente (PV) que acumula juros à taxa i durante um único período de tempo é o valor presente mais os juros ganhos sobre essa soma. A equação matemática usada na calculadora de valor futuro é

\( FV=PV+PVi \)

ou

\( FV=PV(1+i) \)

Para cada período no futuro o valor acumulado aumenta por um fator adicional (1 + i). Portanto, o valor futuro acumulado durante, digamos 3 períodos, é dado por

\( FV_{3}=PV_{3}(1+i)(1+i)(1+i)=PV_{3}(1+i)^{3} \)

ou em geral

\( FV_{n}=PV_{n}(1+i)^{n}{n}{1a} \)

e da mesma forma podemos resolver para PV a obter

\( PV_{n}=\dfrac{FV_{n}}{(1+i)^n}{1b}{(1+i)^n}}tag{1b} \)

As equações que temos são (1a) o valor futuro de uma soma presente e (1b) o valor presente de uma soma futura a uma taxa de juros periódica i onde n é o número de períodos no futuro. Normalmente esta equação é aplicada com períodos como anos, mas é menos restritivo pensar em termos mais amplos de períodos. Deixando de lado as subscrições de (1b) temos:

Valor Futuro de uma Soma Presente

\( FV=PV(1+i)^{n}\tag{1} \)

Future Value Annuity Formula Derivation

Anuity is a amount of money paid periodically, (at regular intervals). Vamos assumir que temos uma série de valores presentes iguais que vamos chamar de pagamentos (PMT) e são pagos uma vez em cada período por n períodos a uma taxa de juros constante i. A calculadora de valor futuro calculará FV da série de pagamentos 1 até n usando a fórmula (1) para somar os valores futuros individuais.

\( FV=PMT+PMT(1+i)^1+PMT(1+i)^2+…+PMT(1+i)^{n-1}\tag{2a} \)

Na fórmula (2a), os pagamentos são feitos no final dos períodos. O primeiro termo do lado direito da equação, PMT, é o último pagamento da série feito no final do último período, que é ao mesmo tempo que o valor futuro. Portanto, não há juros aplicados a esse pagamento. O último prazo no lado direito da equação, PMT(1+i)n-1, é o primeiro pagamento da série feito no final do primeiro período, que está apenas a n-1 períodos de distância do tempo do nosso valor futuro.

multiplicar ambos os lados desta equação por (1 + i) para obter

\( FV(1+i)=PMT(1+i)^1+PMT(1+i)^2+PMT(1+i)^3+…+PMT(1+i)^{n}{2b} \)

subtraindo a equação (2a) da (2b) maioria dos termos cancelam e ficamos com

\( FV(1+i)-FV=PMT(1+i)^n-PMT \)

pull out like terms on both sides

\( FV((1+i)-1)=PMT((1+i)^n-1) \)

cancelling 1’s on the left then dividing through by i, o valor futuro de uma anuidade ordinária, pagamentos feitos no final de cada período, é

\( FV=\dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1)^tag{2c} \)

Para uma anuidade devida, pagamentos feitos no início de cada período em vez de no final, portanto os pagamentos estão agora 1 período mais distante do VF. Precisamos de aumentar a fórmula em 1 período de crescimento dos juros. Isto poderia ser escrito como

\( FV_{n}=PV_{n}(1+i)^{(n+1)} \)

mas o factor (1 + i)

\( FV_{n}=PV_{n}(1+i)^{n}(1+i) \)

Assim, multiplicando cada pagamento na equação (2a), ou o lado direito da equação (2c), pelo factor (1 + i) dar-nos-á a equação de FV para uma anuidade devida. Isto pode ser escrito mais genericamente como

Valor futuro de uma anuidade

\( FV=\dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1)(1+iT)^tag{2} \)

onde T representa o tipo. (similar às fórmulas do Excel) Se os pagamentos estiverem no final do período é uma anuidade comum e definimos T = 0. Se os pagamentos estiverem no início do período é uma anuidade devida e definimos T = 1.

Valor futuro de uma anuidade ordinária

se T = 0, os pagamentos estão no final de cada período e temos a fórmula para o valor futuro de uma anuidade ordinária

\( FV=\dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1)^tag{2.1} \)

Valor futuro de uma anuidade devida

se T = 1, os pagamentos estão no início de cada período e temos a fórmula para o valor futuro de uma anuidade devida

\( FV=\dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1)(1+i)\tag{2,2} \)

Future Value Growing Annuity Formula Derivation

Pode também calcular uma anuidade crescente com esta calculadora de valor futuro. Em uma anuidade crescente, cada valor futuro resultante, após o primeiro, aumenta por um fator (1 + g) onde g é a taxa de crescimento constante. Modificando a equação (2a) para incluir o crescimento obtemos

\( FV=PMT(1+g)^{n-1}+PMT(1+i)^1(1+g)^{n-2}+PMT(1+i)^2(1+g)^{n-3}+…+PMT(1+i)^{n-1}(1+g)^{n-n}\tag{3a} \)

Na fórmula (3a), os pagamentos são feitos no final dos períodos. O primeiro termo do lado direito da equação, PMT(1+g)n-1, foi o último pagamento da série feito no final do último período, que é ao mesmo tempo que o valor futuro. Quando multiplicamos por (1 + g) este período tem o aumento de crescimento aplicado (n – 1) vezes. O último termo do lado direito da equação, PMT(1+i)n-1(1+g)n-n, é o primeiro pagamento da série feito no final do primeiro período e o crescimento não é aplicado ao primeiro PMT ou (n-n) vezes.

Multiply FV por (1+i)/(1+g) para obter

\( FV\dfrac{(1+i)}{(1+g)}=PMT(1+i)^1(1+g)^{n-2}+PMT(1+i)^2(1+g)^{n-3}+PMT(1+i)^3(1+g)^{n-4}+…+PMT(1+i)^{n}(1+g)^{n-n-1}\tag{3b} \)

subtraindo a equação (3a) da (3b) maioria dos termos cancelam e ficamos com

\( FV\dfrac{(1+i)}{(1+g)}-FV=PMT(1+i)^{n}(1+g)^{n-n-1}-PMT(1+g)^{n-1})

com alguma manipulação algébrica, multiplicando ambos os lados por (1 + g) temos

\( FV(1+i)-FV(1+g)=PMT(1+i)^{n}-PMT(1+g)^{n} \)

pullling like terms out on both sides

\( FV(1+i-1-g)=PMT((1+i)^{n}-(1+g)^{n}) \)

cancancando os 1’s à esquerda e depois dividindo por (i-g) finalmente obtemos

Futuro Valor de uma Anuidade Crescente (g ≠ i)

\( FV=\dfrac{PMT}{(i-g)}((1+i)^{n}-(1+g)^{n}) \)

Similar à equação (2), para contabilizar se temos uma anuidade crescente devida ou uma anuidade crescente ordinária multiplicamos pelo fator (1 + iT)

\( FV=\dfrac{PMT}{(i-g)}((1+i)^{n}-(1+g)^{n})(1+iT)^tag{3} \)

Valor futuro de uma anuidade crescente (g = i)

Se g = i podemos substituir g por i e você notará que se substituirmos (1 + g) termos na equação (3a) por (1 + i) obtemos

\( FV=PMT(1+i)^{n-1}+PMT(1+i)^1(1+i)^{n-2}+PMT(1+i)^2(1+i)^{n-3}+…+PMT(1+i)^{n-1}(1+i)^{n-n} \)

combining terms we have

\( FV=PMT(1+i)^{n-1}+PMT(1+i)^{n-1}+PMT(1+i)^{n-1}+…+PMT(1+i)^{n-1} ^{n-1})

como agora temos n instâncias de PMT(1+i)n-1 podemos reduzir a equação. Também contabilizando uma anuidade devida ou normal, multiplicar por (1 + iT), e obtemos

\( FV=PMTn(1+i)^{n-1}(1+iT)\tag{4} \)

Futuro Valor de uma Perpetuidade ou Perpetuidade Crescente (t → ∞)

Para g < i, para uma perpetuidade, anuidade perpétua ou perpetuidade crescente, o número de períodos t vai para o infinito, portanto n vai para o infinito e, logicamente, o valor futuro nas equações (2), (3) e (4) vai para o infinito, portanto nenhuma equação é fornecida. O valor futuro de qualquer perpetuidade vai para o infinito.

Future Value Formula for Combined Future Value Sum and Cash Flow (Annuity):

Podemos combinar equações (1) e (2) para ter uma fórmula de valor futuro que inclui tanto uma soma fixa de valor futuro como uma anuidade. Esta equação é comparável às equações subjacentes de valor temporal do dinheiro no Excel.

Valor futuro

\( FV=PV(1+i)^{n}+\dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1)(1+iT)^tag{5} \)

As em fórmula (2.1) se T = 0, pagamentos no final de cada período, temos a fórmula para valor futuro com uma anuidade ordinária

\( FV=PV(1+i)^{n}+\dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1) \)

As em fórmula (2.2) se T = 1, pagamentos no início de cada período, temos a fórmula para valor futuro com uma anuidade devida

\( FV=PV(1+i)^{n}+\dfrac{PMT}{i}((1+i)^n-1)(1+i) \)

Valor futuro quando i = 0

No caso em que i = 0, g também deve ser 0, e olhamos para trás nas equações (1) e (2a) para ver que a fórmula combinada de valor futuro pode reduzir para

\( FV=PV+PMTn(1+iT) \)

Valor futuro com anuidade crescente (g < i)

escrito a partir da fórmula (3)

\( FV=PV(1+i)^{n}+\dfrac{PMT}{(i-g)}((1+i)^{n}-(1+g)^{n})(1+iT)\tag{6} \)

Valor futuro com anuidade crescente (g = i)

escrito a partir da fórmula (4)

\( FV=PV(1+i)^{n}+PMTn(1+i)^{n-1}(1+iT)^tag{7} \)

Nota sobre a composição m, Tempo t, e Taxa r

Fórmula (5) pode ser expandida para contabilizar a composição.

\( FV=PV(1+\frac{r}{m})^{mt}+\dfrac{PMT}{\frac{r}{m}}((1+\frac{r}{m})^{mt}-1)(1+(\frac{r}{m})T)\tag{8} \)

onde n = mt e i = r/m. t é o número de períodos, m é o intervalo composto por período e r é a taxa por período t. (isto é facilmente entendido quando aplicado com t em anos, r a taxa nominal por ano e m os intervalos compostos por ano) Quando escrito em termos de i e n, i é a taxa por intervalo composto e n é o total dos intervalos compostos, embora isto ainda possa ser dito como “i é a taxa por período e n é o número de períodos” onde período = intervalo composto. “Período” é um termo amplo.

Relativo às entradas da calculadora, r = R/100 e g = G/100. Se as freqüências de composição e pagamento não coincidirem nesses cálculos, r e g são convertidos em uma taxa equivalente para coincidir com os pagamentos, então n e i são recalculados em termos de freqüência de pagamento, q. A primeira parte da equação é o valor futuro de uma soma presente e a segunda parte é o valor futuro de uma anuidade.

Valor Futuro com Perpetuidade ou Perpetuidade Crescente (t → ∞ e n = mt → ∞)

Para uma perpetuidade, anuidade perpétua, o número de períodos t vai para o infinito, portanto n vai para o infinito e, logicamente, o valor futuro na equação (5) vai para o infinito, portanto nenhuma equação é fornecida. O valor futuro de qualquer perpetuidade vai para o infinito.

Componente Contínuo (m → ∞)

Cálculo do valor futuro com composto contínuo, novamente olhando para a fórmula (8) para o valor presente onde m é o composto por período t, t é o número de períodos e r é a taxa composta com i = r/m e n = mt.

\( FV=PV(1+\frac{r}{m})^{mt}+\dfrac{PMT}{\frac{r}{m}}((1+\frac{r}{m})^{mt}-1)(1+(\frac{r}{m})T)\tag{8} \)

A taxa efectiva é ieff = ( 1 + ( r / m ) )m – 1 para uma taxa r composta m vezes por período. Pode-se provar matematicamente que como m → ∞, a taxa efectiva de r com composto contínuo atinge o limite superior igual a er – 1. Removendo o m e mudando r para a taxa efectiva de r, er – 1:

fórmula (5) ou (8) torna-se

\( FV=PV(1+e^r-1)^{t}+\dfrac{PMT}{e^r-1}((1+e^r-1)^{t}-1)(1+(e^r-1)T) \)

cancancando 1’s onde possível obtemos a fórmula final para valor futuro com composição contínua

Valor futuro com composição contínua (m → ∞)

\( FV=PVe^{rt}+\dfrac{PMT}{e^r-1}(e^{rt}-1)(1+(e^r-1)T)\tag{9}

para uma anuidade normal

\( FV=PVe^{rt}+dfrac{PMT}{e^r-1}(e^{rt}-1){e^r-1)}tag{9.1}

para uma anuidade devida

\( FV=PVe^{rt}+dfrac{PMT}{e^r-1}(e^{rt}-1)e^r\tag{9.2} \)

Futuro Valor de uma Anuidade Crescente (g ≠ i) e Composto Contínuo (m → ∞)

Podemos modificar a equação (3a) para composto contínuo, substituindo i’s por er – 1 e obtemos:

\( FV=PMT(1+g)^{n-1}+PMT(1+e^{r}-1)^1(1+g)^{n-2}+PMT(1+e^{r}-1)^2(1+g)^{n-3}+…+PMT(1+e^{r}-1)^{n-1}(1+g)^{n-n} \)

which reduces to

\( FV=PMT(1+g)^{n-1}+PMTe^{r}(1+g)^{n-2}+PMTe^{2r}(1+g)^{n-3}+PMTe^{3r}(1+g)^{n-4}+…+PMT(e^{(n-1)r})(1+g)^{n-n}\tag{10a} \)

Multiplicação (10a) por er/(1+g)

\( \dfrac{FVe^{r}}{1+g}=PMTe^{r}(1+g)^{n-2}+PMTe^{2r}(1+g)^{n-3}+PMTe^{3r}(1+g)^{n-4}+PMTe^{4r}(1+g)^{n-5}+…+PMT(e^{nr})(1+g)^{n-n-1}\tag{10b} \)

subtraindo (10a) de (10b) a maioria dos termos cancela deixando

\( \dfrac{FVe^{r}}{1+g}-FV=PMT(e^{nr})(1+g)^{n-n-1}-PMT(1+g)^{n-1})

multiplicando por (1+g)

\( FVe^{r}-FV(1+g)=PMTe^{nr}-PMT(1+g)^{n} \)

factoring out like terms on both sides then solving for FV by dividing both sides by (er – (1 + g)) we have

\( FV=\dfrac{PMT}{e^{r}-(1+g)}(e^{nr}-(1+g)^{n}) \)

Adicionando o termo para explicar se temos uma anuidade crescente devida ou uma anuidade crescente comum multiplicamos pelo fator (1 + (er-1)T)

\( FV=\dfrac{PMT}{e^{r}-(1+g)}(e^{nr}-(1+g)^{n})(1+(e^{r}-1)T)\tag{10} \)

Futuro Valor de uma Anuidade Crescente (g = i) e Composto Contínuo (m → ∞)

Começar com equação (4) substituindo i’s por er – 1 e simplificando obtemos:

\( FV=PMTne^{r(n-1)}(1+(e^{r}-1)T)\tag{11} \)

Exemplo de cálculos de valores futuros:

Um exemplo que você pode usar na calculadora de valores futuros. Você tem uma poupança de $15.000 e começará a poupar $100 por mês numa conta que rende 1,5% por ano composta mensalmente. Você fará os seus depósitos no final de cada mês. Você quer saber o valor do seu investimento em 10 anos ou, o valor futuro da sua conta poupança.

  • 1 Período = 1 Ano
  • Valor Actual do Investimento PV = 15.000
  • Número de Períodos t = 10 (anos)
  • Taxa por período R = 1.5% (r = 0,015)
  • Composta 12 vezes por período (mensal) m = 12
  • Taxa de crescimento por período G = 0
  • Montante de pagamento PMT = 100,00
  • Pagamentos por período q = 12 (mensal)

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