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Secção 7-7 : Tipos de Infinito
A maioria dos alunos atravessou o infinito em algum ponto no tempo antes de uma aula de cálculo. No entanto, quando lidaram com ele, era apenas um símbolo usado para representar um número realmente, realmente grande positivo ou realmente, realmente grande negativo e essa foi a extensão do mesmo. Quando entram numa aula de cálculo, os alunos são convidados a fazer uma álgebra básica com infinito e é aqui que se metem em problemas. O infinito NÃO é um número e, na sua maioria, não se comporta como um número. No entanto, apesar disso vamos pensar no infinito nesta secção como um número realmente, realmente, realmente grande que é tão grande que não há outro número maior do que ele. Isto não é correcto, claro, mas pode ajudar na discussão desta secção. Note também que tudo o que vamos discutir nesta secção aplica-se apenas a números reais. Se você mudar para números complexos, por exemplo, as coisas podem e mudam.
Então, vamos começar a pensar em adição com infinidade. Quando você adiciona dois números que não são zero, você recebe um novo número. Por exemplo, \(4 + 7 = 11\). Com o infinito isto não é verdade. Com o infinito você tem o seguinte.
\\
Em outras palavras, um número positivo realmente, realmente grande (\(\\\)) mais qualquer número positivo, independentemente do tamanho, ainda é um número positivo realmente, realmente grande. Da mesma forma, você pode adicionar um número negativo (i.e. {\i1}(a < 0\i}) a um número realmente, realmente grande positivo e permanecer realmente, realmente grande e positivo. Assim, a adição envolvendo o infinito pode ser tratada de uma forma intuitiva se você for cuidadoso. Note também que o {\i1}(a}) NÃO deve ser infinito negativo. Se for, há alguns problemas sérios com os quais precisamos lidar, como veremos em um pouco.
Subtração com infinito negativo também pode ser tratada de uma forma intuitiva na maioria dos casos também. Um número negativo realmente, realmente grande menos qualquer número positivo, independentemente do seu tamanho, ainda é um número negativo realmente, realmente grande. Subtrair um número negativo (i.e. \(a < 0\)) de um número negativo muito, muito grande ainda será um número negativo muito, muito grande. Ou,
Again, \a) não deve ser infinito negativo para evitar algumas dificuldades potencialmente graves.
Multiplicação também pode ser tratada de forma bastante intuitiva. Um número muito, muito grande (positivo ou negativo) vezes qualquer número, independentemente do tamanho, ainda é um número muito, muito grande, só precisamos de ter cuidado com os sinais. No caso da multiplicação temos
\
O que você sabe sobre produtos de números positivos e negativos ainda é verdade aqui.
Algumas formas de divisão também podem ser tratadas de forma intuitiva. Um número realmente, realmente grande dividido por um número que não é muito grande ainda é um número realmente, realmente grande.
\
Divisão de um número por infinito é algo intuitivo, mas há um par de sutilezas que você precisa estar ciente. Quando falamos de divisão por infinito estamos realmente falando de um processo limitador no qual o denominador está indo em direção ao infinito. Então, um número que não é muito grande divide um número cada vez maior é um número cada vez menor. Em outras palavras, no limite que temos,
\
Então, já lidamos com quase todas as operações algébricas básicas envolvendo o infinito. Há dois casos que ainda não resolvemos. Estes são
\
O problema com estes dois casos é que a intuição não ajuda aqui. Um número muito, muito grande menos um número muito, muito grande, pode ser qualquer coisa (-infty), uma constante, ou {\i1}(-infty)). Da mesma forma, um número muito, muito grande dividido por um número muito, muito grande também pode ser qualquer coisa ({\i1}- isto depende de questões de sinal, 0, ou uma constante não zero).
O que temos de lembrar aqui é que há números muito, muito grandes e depois há números muito, muito, muito, muito grandes. Em outras palavras, alguns infinitos são maiores do que outros infinitos. Com adição, multiplicação e os primeiros conjuntos de divisão trabalhámos isto não foi um problema. O tamanho geral do infinito simplesmente não afeta a resposta nesses casos. Entretanto, com os casos de subtração e divisão listados acima, isso importa como veremos.
Aqui está uma maneira de pensarmos nesta idéia de que alguns infinitos são maiores do que outros. Esta é uma maneira bastante seca e técnica de pensar sobre isto e os seus problemas de cálculo provavelmente nunca irão usar este material, mas é uma boa maneira de ver isto. Além disso, por favor note que não estou tentando dar uma prova precisa de nada aqui. Estou apenas a tentar dar-lhe uma pequena visão dos problemas com o infinito e como alguns infinitos podem ser considerados maiores do que outros. Para uma discussão muito melhor (e definitivamente mais precisa) veja,
http://www.math.vanderbilt.edu/~schectex/courses/infinity.pdf
Vamos começar por ver quantos inteiros existem. Claramente, eu espero, que haja um número infinito deles, mas vamos tentar entender melhor o “tamanho” deste infinito. Então, escolha quaisquer dois inteiros completamente ao acaso. Comece pelo menor dos dois e liste, em ordem crescente, todos os inteiros que vierem depois disso. Eventualmente chegaremos ao maior dos dois inteiros que você escolheu.
Dependente do tamanho relativo dos dois inteiros, pode levar muito, muito tempo para listar todos os inteiros entre eles e não há realmente um propósito para fazer isso. Mas, isso poderia ser feito se quiséssemos e essa é a parte importante.
Porque poderíamos listar todos esses inteiros entre dois inteiros escolhidos aleatoriamente, dizemos que os inteiros são infinitos. Mais uma vez, não há nenhuma razão real para realmente fazer isto, é simplesmente algo que pode ser feito se nós devemos escolher fazê-lo.
Em geral, um conjunto de números é chamado countably infinito se nós podemos encontrar uma maneira de listá-los todos. Numa configuração matemática mais precisa, isto é geralmente feito com um tipo especial de função chamada bijection que associa cada número do conjunto a exactamente um dos inteiros positivos. Para ver mais detalhes sobre isto veja o pdf dado acima.
Também pode ser mostrado que o conjunto de todas as frações também são contigentemente infinitas, embora isto seja um pouco mais difícil de mostrar e não seja realmente o propósito desta discussão. Para ver uma prova disso, veja o pdf dado acima. Tem uma prova muito boa deste facto.
Vamos contrastar isto tentando descobrir quantos números existem no intervalo \( \i(0,1\i(0,1\i(0,1)direita)). Por números, quero dizer todas as frações possíveis que estão entre zero e uma, bem como todas as decimais possíveis (que não são frações) que estão entre zero e uma. O seguinte é semelhante à prova dada no pdf acima, mas foi agradável e fácil o suficiente (espero) que eu quisesse incluí-la aqui.
Para começar, vamos assumir que todos os números no intervalo {\i1}( {\i1}esquerda(0,1 {\i}direita) {\i}) são consuficientemente infinitos. Isto significa que deve haver uma maneira de listar todos eles. Poderíamos ter algo como o seguinte,
Agora, selecione a opção {x_i}}decimais de {x_i} como mostrado abaixo
e forme um novo número com estes dígitos. Então, para o nosso exemplo, teríamos o número
{x_i}
Neste novo decimal substitua todos os 3 por um 1 e substitua todos os outros números por um 3. No caso do nosso exemplo, isto produziria o novo número
Note que este número está no intervalo {{esquerda(0,1}direita}} e também note que dada a forma como escolhemos os dígitos do número este número não será igual ao primeiro número da nossa lista, {x_1}), porque o primeiro dígito de cada um é garantido não ser o mesmo. Da mesma forma, este novo número não terá o mesmo número que o segundo da nossa lista, (x_2), porque é garantido que o segundo dígito de cada um deles não será o mesmo. Continuando desta forma, podemos ver que este novo número que construímos, (sobre a linha x), é garantido que não estará na nossa lista. Mas isto contradiz a suposição inicial de que poderíamos listar todos os números no intervalo (0,1 à esquerda). Portanto, não deve ser possível listar todos os números no intervalo ( {esquerda(0,1 {direita) }).
Conjuntos de números, como todos os números no intervalo {esquerda(0,1 {direita) }), que não podemos escrever numa lista são chamados incontáveis infinitos.
A razão para rever isto é a seguinte. Um infinito que é infinitamente infinito é significativamente maior do que um infinito que é apenas infinito consutably. Então, se tomarmos a diferença de dois infinitos, temos um par de possibilidades.
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Nota que não colocamos uma diferença de dois infinitos do mesmo tipo. Dependendo do contexto ainda pode haver alguma ambiguidade sobre qual seria a resposta neste caso, mas isso é um tópico totalmente diferente.
Também poderíamos fazer algo semelhante para quocientes de infinitos.
\
Again, evitamos um quociente de dois infinitos do mesmo tipo já que, novamente dependendo do contexto, ainda pode haver ambiguidades sobre o seu valor.
Então, é isso e espero que você tenha aprendido algo com esta discussão. O infinito simplesmente não é um número e porque existem diferentes tipos de infinito, geralmente não se comporta como um número se comporta. Tenha cuidado ao lidar com o infinito.