A construção básica nesta secção é o produto ponto, que mede ângulos entre vectores e calcula o comprimento de um vector.
Definição
O produto ponto de dois vectores x,y em Rn é
Pensando x,y como vectores de coluna, isto é o mesmo que xTy.
Por exemplo,
Note que o produto ponto de dois vectores é um escalar.
Pode fazer aritmética com produtos de ponto, na maioria das vezes como de costume, desde que se lembre que só pode colocar dois vectores juntos, e que o resultado é um escalar.
Propriedades do Produto Ponto
Deixe x,y,z ser vectores em Rn e deixe c ser um escalar.
- Comutatividade: x-y=y-x.
- Distributividade com adição: (x+y)-z=x-z+y-z.
- Distributividade com multiplicação escalar: (cx)-y=c(x-y).
O produto ponto de um vector consigo mesmo é um caso especial importante:
Portanto, para qualquer vector x, nós temos:
- x-x≥0
- x-x=0⇐⇒x=0.
Isto leva a uma boa definição de comprimento.
Facto
O comprimento de um vector x em Rn é o número
É fácil ver porque é que isto é verdade para os vectores em R2, pelo teorema de Pitágoras.
Para vetores em R3, pode-se verificar que AxA realmente é o comprimento de x, embora agora isso requer duas aplicações do teorema de Pitágoras.
Notem que o comprimento de um vector é o comprimento da seta; se pensarmos em termos de pontos, então o comprimento é a sua distância da origem.
Facto
Se x é um vector e c é um escalar, então AcxA=|c|-AxA.
Isto diz que escalar um vector por c escalar o seu comprimento por |c|. Por exemplo,
Agora temos uma boa noção de comprimento, podemos definir a distância entre pontos em Rn. Recordemos que a diferença entre dois pontos x,y é naturalmente um vector, ou seja, o vector y-x que aponta de x para y.
Definição
A distância entre dois pontos x,y em Rn é o comprimento do vector de x para y:
Vectores com comprimento 1 são muito comuns nas aplicações, pelo que lhes damos um nome.
Definição
Um vector unitário é um vector x com comprimento AxA=Bx-x=1.
Os vectores de coordenadas padrão e1,e2,e3,… são vectores de unidade:
Para qualquer vector x não nulo, existe um único vector de unidade que aponta na mesma direcção. É obtido dividindo pelo comprimento de x.
Facto
Deixe x ser um vector não nulo em Rn. A unidade vetorial na direção de x é o vetor x/AxA.
Este é de fato um vetor unitário (observando que AxA é um número positivo, portanto CC1/AxACC=1/AxA):